19. Решение матричных уравнений. Формулы Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

20. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексное число – пара чисел, одно из которых мнимое, числа вида a + ib, где: a,b ∈ R, а i – мнимая единица.

Рассмотрим уравнение 𝑥²−1=0

Оно имеет корни 𝑥=±√1=±1

Теперь рассмотри уравнение 𝑥²+1=0

Его корни 𝑥=±√−1

Поскольку на множестве вещественных чисел нет таких, после взятия корня из которых результатом будет минус один, в математике решили доопределить, что 𝑖=√−1

Алгебраическая запись числа z = (x,y) это z = x + yi, где

x – действительная часть числа, а yi – мнимая.

z’ = x – yi – сопряжённое z число

21. Тригонометрическая форма комплексного числа

Так как комплексное число является парой чисел, мы можем изобразить его как точку на графике: ось X является осью действительных чисел, а ось Y - осью мнимых чисел соответственно.

Грубо говоря, комплексное число z – это радиус вектор из начала координат в точку z.

Чтобы связать нашу систему координат с полярной, можно представить z как вектор длины r с углом φ.

Рассмотрим треугольник OZX: OZ – Гипотенуза, ZX и OX – катеты.

По тригонометрическим формулам:

Из чего получаем, что комплексное число z представимо как

из чего получаем

где

Поскольку cos и sin периодические функции, точка z будет повторяться каждые 2π.

22. Извлечение корня из комплексного числа

Корень комплексного числа вычисляется по формуле

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число w такое, что:

Множество всех корней n-ой степени из z обозначается через:

Доказательство: пусть

число z будем искать в виде

Преобразуем уравнение zn=ω, используя формулу Муавра:

Отсюда вытекают равенства:

Из которых для модуля искомого корня получается определенное значение:

тогда как его аргумент 

может принимать различные значения при разных k.

При этом значениям k = 0, 1, 2, …, n-1 соответствуют различные значения корня, а при k= n значение корня совпадает с его значением при k=0. То есть при k = n+1 получим значение корня, что и при k=1, и так далее.

Таким образом, число различных значений корня равно n - это

что и требовалось доказать.

Все n корней zk лежат на окружности радиусом   с центом в начале координат; они делят окружность на n дуг величиной   каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

23. Корни n-ой степени из единицы

Существует теорема, которая гласит:

Существует ровно n различных корней n-ной степени из единицы, и все они вычисляются по формуле:

где t:

Доказательство: данная теорема является следствием формулы Муавра (о возведении комплексного числа, записанного в тригонометрическом виде в n-нную степень для любого целого n):

Из данной формулы следует и обратная ей, о вычислении корня n-нной степени из ненулевого комплексного числа:

где t:

Добавление 2πt необходимо, чтобы создать n разных чисел таких, что при возведении их в n-нную степень они все давали изначальное число z.

При подстановке:

Из-за того, что 1 не имеет мнимой части, следственно лежит на оси вещественных чисел в комплексной плоскости, угол φ = 0° = 360° = ... = 2πt, где t является целым числом, а расстояние r от (0;0) до 1 будет равно единице.

Значит:

И по формуле по вычислению корня:

где t:

Что на плоскости будет отображаться как правильный n-угольник с центром в точке (0;0), причем одна из вершин будет всегда расположена в точке (1;0).