30. (Геля) Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.

31. (Алина) Производная сложной функции.

1 переменная:f(g(x))'=f '(g(x))*g'(x). n=2. f(x,y) опр. в области X ⊂ . , t ∈ (a,b). (x(t),y(t)) ∈ X. Рассмотрим h(t)=f(x(t),y(t))(функция 1 переменной): t ∈ (a,b) . Теорема 1. Если x(t),y(t) диф. в ∈ (a,b), f(x,y) диф. в т. =(x( ),y( )), то h диф. в т. и h'( ) = Доказательство: Зададим Δt в точке . f(x, ) , получат приращения Δx,Δy. h'( )= Δf( ) = f диф. в точке Δf( )= Δx+ Δy+ Δx+ Δy, где , . = + + + = )x’( )+ y’( ). Ч.т.д. n>=2. t=( ,…, ). x=( ,…, ). = ( ,…, ). … = ( ,…, ). Рассмотрим h(t)=f(x(t)),т.е. f( ,…, ). = ( ,…, ). … = ( ,…, ). Теорема 2. Если диф. в ∈ G. ∀ f диф. в точке =x( ), то h диф. в точке и . Без док.-ва. Следствие(инвариантность формы первого дифференциала). Вид диф.-ла функции f( ,…, ) не зависит от того, является ли ,…, независимыми переменными или функция. = +…+ .(1) Док.-во: а)Если ,…, -независимые переменные (1)-верно. б)Пусть = ( ,…, ). … = ( ,..., ). df(x(t))= * +…+ * = = * = =(1). Ч.т.д.

32. (Карина) Производная по направлению и градиент.

n=2

f(x,y)

f – дифференцируема в точке ( (

(

Движение вдоль Oy

||e||=1

Опр. Если существует , то он называется производной по направлению функции f в точке

Обозначение:

Теорема 1:

Если f дифференцируема в точке , то

Д:

f(x,y)=f( , ,

, чтд.

Опр. Градиентом функции f в точке называется вектором

Следствие (Т1):

Теорема 2:

Пусть f – дифференцируема в точке , тогда наибольшая если (одинаково направлены)

Д: = = , ,

Наибольшее, если cosφ=1

Следствие: gradf( вектор направленный сторону наибольшего роста функции.

33. (Геля) Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.

34. (Алина) Дифференциалы высших порядков.

Зададим новые приращения и вычислим дифференциал от :

Будем считать, что производные второго порядка существуют, а смешанные непрерывны

Опр. Дифференциал от первого дифференциала, вычисленный с теми же приращениями называют дифференциалом второго порядка функции f

Обозначают:

Опр. Дифференциал от дифференциала k-1–го порядка, вычисляемый с теми же приращениями, что и предыдущий, называется дифференциалом k–го порядка функции f.

Обозначают:

Опр. если у функции существуют все частные производные до k-1–го порядка включительно, дифференцируемы в точке , то называется k раз дифференцируемой в точке Если при этом все частные производные k–го порядка непрерывны в точке , то называется k раз непрерывно-дифференцируемой в точке

Теорема:

Если дифференцируема в каждой точке области D, тогда