20. (Карина) Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).

Зафиксируем

Опр. Множества - множество, состоящие из всех упорядоченных наборов х=(х₁,...?...,х_n)

На множестве можно ввести операции:

• Скалярные:

• Умножение на константу:

-линейное пространство (все аксиомы выполняются)

Опр. Скалярное произведение

Свойства скалярного произведения:

Опр. Число - называется нормой элемента х (длиной вектора х)

Свойства норма:

Лемма 1( неравенство Коши-Бунековского-Шварца):

Если

Лемма 2 (неравнество Минковского):

Если

Опр. Расстояние между x и y - число

Свойство расстояния:

Если функция удовлетворяет свойствам , то функция называется метрикой.

21. (Геля) Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса.

22. (Алина) Открытые и замкнутые множества в Rn.

Опр: – называется граничной точкой множества Е, если точка не является не внутренней, не внешней. Множество всех граничных точек множества Е – называется границей множества Е.

Обозначается:

Опр: – называется внутренней точкой множества Е, если . Множество всех внутренних точек множества Е – называется внутреностем множества ЕОбозначается:

Опр: – называется внешней точкой множества Е, если . Множество всех внешних точек множества Е – называется внешностью множества Е

Обозначается:

Опр: Множество Е называется открытым, если не содержит своих граничных точек

Опр: Множество Е называется замкнутым, если все граничные точки принадлежат множеству Е.

Теорема 1: (терема двойственности)

Е – открытым – замкнутое

Свойства открытых и замкнутых множеств:

Е – открытым каждая точка Е является внутренней

Е – замкнутое Е содержит все свои предельные точки

Е содержит все свои точки прикосновения

– предельная точка множества Е

E – замкнутое

E должно содержать все пределы из Е

Конечное объединение замкнутых множеств – замкнутое множество

– замкнутое множество

Замечание: перестаёт быть верным для бесконечного объединения замкнутых множеств

Пересечение любого числа замкнутых множеств, это замкнутое множество

А – некоторое множество индексов

(А =

(А =

Конечное пересечение открытых множеств, это открытое множество

– открытое

Замечание: перестаёт быть верным для бесконечного пересечения открытых множеств

Объединение любого числа открытых множеств, это открытое множество

23. (Карина) Предел функции.

] - определена на ,

а – пред. Точка множества Х

По Коши:

Опр.1 , если

По Гейне:

Опр.2 , если

Теорема 1.

Опр.1 Опр.2

Док-во: доказывается как для ф-ии 1-ой переменной

Св-ва предела функции n переменных такие же как св-ва lim-a 1 переменной.

Св-ва lim-a 1 пер:

1)

2)Предел const равен const

3) const можно выносить за знак предела

4) Предел суммы или разности конечного числа функций равен сумме или разности пределов этих функций , то же самое с умн., делением(lim(g(x) )

5)если

6)пусть функции связаны соотн.

!!! св-ва распространяются и на случай, когда

Теорема 2. (Критерий Больцано-Коши существования предела функции)

Док-во: как для функции одной переменной