33. Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.

Частная производная высшего порядка -частная производная от производной по какой то переменной.Обозначается:

Смешанная производная для двух переменных это или (разница в порядке) но по теореме которую доказывать тут не будем, их можно приравнять в точках где они непрерывны.

Так же полно туть

34. Дифференциалы высших порядков.

Пусть f(x,y) диф в (.) области G R²

df = *dx + *dy

Зададим новые при и и высшими диф от первого дифференциала:

(df) = ( dx + dy)_x' * x + ( dx + dy)_y' * y = dx*δx + dy * x+ dx * y + dy * y

Будем считать, что все частные производные второго порядка существуют, а смешанные - непрерывны Пусть dx = δx dy = δy

Опр: Дифференциалом от df, вынес с теми же приращениями, называется вторым дифференциалом (второго порядка) функции f Обозн: d²f = (dx)² + 2* dy*dy + (dy)² Это можно запомнить как: (a+b)² = a² + 2*ab + b² Опр: Дифференциал от дифференциала k-1 порядка, вычисленный с теми приращениями, что и предыдущие, называется дифференциалом k-го порядка функции f. Обозн: d^kf

Опр: f(x₁...x_n) Если y f существуют производные до k-1 порядка включительно, дифференцируемые в x₀, то f называется k раз дифференцируемой в (.) x₀ Если при этом все частные производные k-го порядка непрерывны в (.) x₀, то f называется k раз непрерывно-дифференцируемой в (.) x₀

Теорема 1: Если f(x;y) дифференцируема в ∀(.) области Δ. Тогда - Как бином Ньютона

35. Формула Тейлора.

Определение: Многочленом Тейлора степени n функции f(x) в точке c называется многочлен вида

Свойство многочлена Тейлора: В точке c совпадают значения функции и ее многочлена Тейлора, а также значения их первых n производных т. е. (c) = f(c), = f’(c), …, = ©

Теорема (формула Тейлора): пусть функция f(x) определена на интервале (a, b) и имеет в точке c ∈ (a, b) производные до порядка n включительно. Тогда ∀x ∈ (a, b) справедлива формула Тейлора n-ого порядка

где - остаточный член формулы Тейлора

36. Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).

Теорема 1(необходимое условие экстремума)

Если х₀ точка экстремума функции f(x) и f/ х_k(х₀), то f/ х_k(х₀)=0

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

Пусть функция f(x) непрерывно-дифференцируема в некоторой точки х₀,где х₀ стационарная точка функции f.

F(t)= , где f’’_xixj(х₀)= a_ij

1) Если F(t) положительно определён, то х₀ строгий минимум;

2) Если F(t) отрицательно определён, то х₀ строгий максимум;

3) Если F(t) не определён, то х₀ не является точкой экстремума.

Следствие (достаточное условие экстремума функции двух переменных)

Пусть f(x,y) 2 непрерывно-дифференцируемые в точке М₀ =(х₀;y₀), М₀ стационарная точка функции

A=f’’_xx (М₀ )

B=f’’_xy (М₀ )

C=f’’_yy (М₀ )

D=AC-B^2

1)Если D>0,A>0, то М₀ строгий минимум

2)Если D>0,A<0, то М₀ строгий максимум

3)Если D<0, то не М₀ является точкой экстремума