26. Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
Линейно-связное множество — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.
Теорема: Если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Следствие: Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой значение функции равно нулю.
27. Компактность и теорема Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса для функции с 1 переменной
Непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значения.
Пусть Х ⊂ R^n
Множество Х называется компактным, если из любой последовательности этого множества можно выделить сходство в Х подпоследовательности:
хn ⊂ Х =>∃{хnk} ⊂ {хn}
хnk → хn
k→∞
Теорема 1:
Множество Х компланарно ⇔ Х замкнуто-ограничено
Теорема 2 (Вейерштрасса):
Непрерывная на компакте функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значения
Следствие (о множестве значений функции непрерывной на линейно-связанном множества):
если функция непрерывна на компактно линейно-связанном множестве Х, то множество её значений равно [m;M], где m = min f(x), M = max f(x) x∊X x∊X
28. Равномерная непрерывность.
f(x) определена на X Rn, то есть X - вектор
Определение: Функция f(x) равномерно непрерывна на Х, если
=
> 0 :
x՝, x՝՝
X,
x՝,
x՝՝) <
Если f равномерно-непрерывна на X (⇍) f непрерывна на Х
Теорема 1 (Кантора):
Непрерывная на компакте (на ограниченном и замкнутом множестве) функция равномерно-непрерывна.
(маленький бонус)
29. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал.
то
он называется частотой произ. ф-и f по
переменной
в
точке Обозначение:
(
)
Если
точке
Главная/ линейная часть полного приращения ф-и f наз. дифференциалом ф-и в точке и обозн. df( )
Теорема:
f
дифференцируема в
Теорема:
Если ф-я дифф. в , то она непрерывна в этой точке.
Теорема:
Если
ф-я дифф. в
,
Следствие:
Если ф-я дифф. в
,
то df(
)=
30. Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.
-)Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину.
-)Геометрический смысл частной производной в точке - тангенс угла между касательной, проведенной в заданной точке к кривой, и положительным направлением оси O x .
31. Производная сложной функции.
Теорема
1: Если x(t), y(t) дифференцируемы в (.)
,
то h(суперпозиция) дифференцируема в
и ее производная равна:
Теорема
2: Если
дифференцируема в
,
,
f дифференцируема в (.)
=
x(
),
то h дифференцируема в
и:
(маленький бонус)
32.
Производная по направлению и градиент.
n = 2
f(x, y)
пояснительная
бригада: справа внизу от верхнего Y
,
внизу после
Движение вдоль OX
Пусть
-типа
альфа
=
cos
xl = cos
yl = cos β
вектор
-
={cos
,
cosβ) - направляющие косинусы
||
||
=
Опр:
Если
существует кон
то
он называется производной по направлению
функции f в точке
и об
Теорема: Если f диф в точке то ∀
существует
Градиентом
функции
f в точке
называют
вектор
