- •Краткий конспект лекций по теории вероятностей Лекция1 Вероятность
- •Действия над событиями.
- •Классификация событий Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в а, обозначим и будем называть противоположным событием.
- •Полная группа событий – это совокупность n событий а1, а2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т.Е. Свойства операций над событиями
- •Правило двойственности (теорема де Моргана)
- •Алгебра событий.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности события
- •Геометрическая вероятность
- •Статистическая вероятность
- •Свойства вероятности
- •Лекция 2 Условная вероятность.
- •Формула вероятности произведения событий (теорема умножения вероятностей). Независимые события
- •Формула вероятности суммы совместных событий (теорема сложения вероятностей)
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса (теорема гипотез)
- •Лекция 3. Случайные величины
- •Лекция 4 Повторные испытания.
- •Распределения, связанные с повторными испытаниями.
- •Лекция 5
- •Лекция 6. Двумерные случайные величины
- •Свойства функции распределения.
- •Свойства плотности.
- •Свойства коэффициента корреляции.
- •Двумерное равномерное распределение
- •Двумерное нормальное распределение
- •Задача линейного прогноза.
- •Лекция 7. Законы больших чисел и центральная предельная теорема. Неравенства Чебышева.
- •Законы больших чисел.
- •Теорема Чебышева
- •Обобщенная теорема Чебышева.
- •Теорема Маркова.
- •Теорема Бернулли.
- •Предельные теоремы.
- •Теорема Ляпунова.
- •Теорема Леви – Линдеберга.
- •Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
- •Лекция 8 Элементы математической статистики
- •Основные задачи статистики.
- •Эмпирические законы распределения.
- •Точечные оценки параметров распределения.
- •Требования к оценкам.
- •2. Несмещенная, состоятельная оценка дисперсии
- •Интервальные оценки.
- •Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения. Доверительный интервал для математического ожидания.
- •Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения .
Свойства плотности.
(функция распределения – неубывающая функция).
(по свойству 5 функции распределения) Справедливо обобщение.
(по свойству 4 функции распределения)
, (Свойство 7 функции распределения)
Независимость случайных величин.
Случайные величины X,Yназываютсянезависимыми, если, где- функции распределения случайных величинX,Y.
Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x,y, получим.
Соотношение поэтому можно считатьопределением независимости непрерывных случайных величин.
Для дискретных случайных величин определение независимости можно записать в виде.
Математическое ожидание.
Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется
в дискретном случае,
в непрерывном случае.
Свойства математического ожидания
(по условию нормировки)
=
для независимых случайных величин.
=.
Ковариация (корреляционный момент).
Ковариациейслучайных величин называют.
Свойства ковариации.
По свойству 1
Если X,Yнезависимы, то, (обратное неверно).
Если случайные величины независимы, то , тогда по свойству 1.
Случайные величины называются некоррелированными,если,из некоррелированности не следует независимость,из независимости следует некоррелированность.
По свойству 1
===
Рассмотрим случайную величину .
.
Заметим, что отсюда следует свойство дисперсии(приa=1)
.
Так как , то. Это возможно только, если дискриминант этого квадратного трехчлена относительноaменьше или равен нулю. Выпишем это требование к дискриминанту:
. Отсюда следует свойство 5.
Для того, чтобы случайные величины были линейно зависимы(Y=aX+b),необходимо и достаточно, чтобы
Необходимость. Пусть Y=aX+b. Тогда
=
Достаточность. Пусть .Тогда (доказательство свойства 5)следовательно,z-детерминированная величина, т.е., поэтому величиныX,Y– линейно зависимы.
Коэффициентом корреляции называется.
Свойства коэффициента корреляции.
Если X,Y– независимы, то
тогда и только тогда, когдаX,Yлинейно зависимы.
Двумерное равномерное распределение
Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в областиD(площадьDравнаS), если его плотность распределения задана так:p(x,y) = 0, еслиxD,p(x,y) = 1/S, еслиxD.
Пример.Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в прямоугольнике 0xa, 0xb.
, аналогично .
, аналогично .
, аналогично .
Следовательно, случайные величины X,Yне коррелированны.
Двумерное нормальное распределение
Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними значениямиm, m2, дисперсиямии коэффициентом корреляции, если ее плотность задана:
Задача линейного прогноза.
Заданы характеристики случайного вектора. Вводится случайная величина – оценка- линейный прогноз. Вычислить, чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности оценки:).
.
За счет выбора можно лишь минимизировать последнее слагаемое, сделав его нулем: .Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от(найти вершину параболы): . Подставляя это значение, найдем
. Вычислим погрешность оценки при этих значениях параметров
.
При линейной зависимости оценка точна, погрешность равна нулю.
Чем меньше коэффициент корреляции, тем грубее оценка. В крайнем случае, при отсутствии корреляции ().