книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1
.pdf
|
Основные формулы и рисунки |
|
Определения |
|||||||
|
|
и замечания |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) Смешанное произведе- |
||
5. |
abc = cab = bca . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ние |
не |
изменится при |
|
|
|
|
|
|
|
|
круговой перестановке |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Перестановка двух со- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
седних |
сомножителей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меняет знак произведе- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ния |
на |
противополож- |
ный abc = −(bac).
6. Даны векторы:
a = ax i + ay j + az k,
b= bx i + by j + bz k,
c= cx i + cy j + cz k,
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
Смешанное произведе- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние векторов, |
заданных |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
abc = |
b |
b |
|
|
b |
. |
|
|
|
(7) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
своими |
|
|
координатами, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
cx |
cy |
|
cz |
|
|
|
|
|
равно |
|
|
определителю |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
третьего порядка, со- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ставленному |
из |
коор- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
динат |
перемножаемых |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютная |
величина |
||||||||
7. |
abc = ± Vпараллелепипеда, |
|
||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смешанного |
произве- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
дения |
|
равна |
объему |
|||||||
|
Vпараллелепипеда = |
|
|
|
|
. |
(8) |
|
||||||||||||||||||
|
|
abc |
|
параллелепипеда, |
по- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строенного на векторах |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
и |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
|
|
81
Основные формулы и рисунки |
|
|
|
|
|
Определения |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и замечания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
Замечание 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= ± |
|
1 |
|
|
= ± |
1 |
|
|
|
Знак |
|
перед |
опрелите- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
.(9) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V |
abc |
|
b |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
лем |
|
должен |
быть |
вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пирамиды |
6 |
6 |
|
|
|
x |
|
y |
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
бран так, |
чтобы объем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V был положительным. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предполагается, |
|
|
|
|
|
что |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, |
b |
|
c |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не лежат в одной плос- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кости (некомпланарны). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1. |
|
Вектор |
|
|
перпендикулярен к векторам |
|
|
|
|
и |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
a |
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
угол между |
|
|
|
и |
|
равен 30°. Зная, |
что |
|
|
|
= 8, |
|
|
|
|
|
|
= 2, |
|
|
|
|
|
= 5, |
||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
b |
a |
|
|
b |
|
|
c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислить abc.
Решение.
Рис. 1 Рис. 2
По условию задачи тройка векторов a, b, c может быть правой (рис. 1) или левой (рис. 2).
82
abc = (a × b) c = a × b c cosϕ = a b sin α c cosϕ ,
где ϕ = (a × b) c, α = a b.
По условию задачи α = 30°.
Угол ϕ = 0° (рис. 1), ϕ = 180° (см. рис. 2), следовательно, cos ϕ = ±1. Тогда abc = ±8 2 sin 30° 5 = ±40.
Задача 2. Определить, какой является тройка векторов a = i, b = k, c = j (правой или левой)?
Решение.
a= i = {1, 0, 0},
b= k = {0, 0, 1},
c= j = {0,1, 0}.
Найдем abc в координатной форме – формула (7):
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
abc = |
0 |
0 |
1 |
= −1 < 0 . |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле (4) тройка a, b, c – левая.
Задача 3. Даны координаты вершин пирамиды A1(5;1; − 4), A2 (1; 2; − 1), A3 (3; 3; − 4) и A4 (2; 2; 2). Определить ее объем.
Решение.
Рассмотрим три вектора: A1 A2 , A1 A3 , A1A4 (рис. 3).
A1A2 = {− 4; 1; 3},
A1A3 = {− 2; 2; 0},
83
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {− 3;1; 6}. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1A4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
объем |
пирамиды |
по |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле (9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− 4 |
1 |
3 |
|
|
|
1 |
(− 24). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
= ± |
|
|
|
− 2 2 0 |
|
= ± |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пирамиды |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vпирамиды = 4 куб.ед. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
В правой части выбран знак минус, т.к. определитель отри- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цателен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Задача 4. Показать, что |
точки A(5; 7; − 2), |
B(3; 1; − 1), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(9; 4; − 4) и D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим три вектора: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {− 2; − 6; 1}, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {4; − 3; − 2}, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {− 4; − 2; 2} (рис. 4). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Находим смешанное произведение векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
− 6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
− 3 |
|
− 2 |
|
= 0 |
(элементы первого |
и третьего |
|||||||||||||||||||||||||
|
AB |
AC |
AD |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
столбцов пропорциональны). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
= 0, |
векторы компланарны, т.е. точки |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
AC |
AD |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
A, B, C, D лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
III.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§1. Метод координат
Основные формулы и рисунки |
Определения |
||||||||||||||||||||||||||||||
и замечания |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x1 ) |
|
|
|||||||||||
1. Расстояние |
d между точками |
Расстояние |
|
|
|
между |
|||||||||||||||||||||||||
и B(x2 ) |
на оси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двумя |
|
точками |
чи- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d = |
|
x2 − x1 |
|
. |
|
|
(1) |
словой оси равно аб- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
солютной |
|
|
величине |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разности |
координат |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x1, y1 ) |
этих точек. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Расстояние d между точками |
Расстояние |
|
|
|
между |
||||||||||||||||||||||||||
и B(x2 , |
y2 ) на плоскости |
|
|
|
двумя данными точ- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
d = |
|
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 |
. |
(2) |
ками плоскости рав- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
но корню квадратно- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
му из суммы квадра- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тов разностей одно- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
именных |
координат |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этих точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Расстояние |
d |
|
между |
|
точками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A(x1, y1, z1 ) и B(x2 , |
y2 , z2 ) в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
d = |
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 |
. (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. Координаты |
точки |
C(x, y), |
делящей |
Назовем отношени- |
|||||||||||||||||||||||||||
отрезок |
|
|
|
|
|
с |
концами |
A(x1, y1 ) |
ем, в котором точ- |
||||||||||||||||||||||
|
|
AB |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка С делит направ- |
||||||||||||
и B(x2 , |
y2 ) в отношении λ, определяются |
||||||||||||||||||||||||||||||
ленный отрезок |
AB |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x = |
x1 + λx2 |
|
, |
y = |
y1 + λy2 |
. |
(4) |
число |
|
λ |
|
= |
|
|
AC |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 + λ |
1 + λ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
|
|
|
|
||||||||||
Если |
λ = 1, |
|
то точка |
C(x, y) |
делит отре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
зок |
AB |
пополам, |
и тогда |
координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
|
Основные формулы и рисунки |
|
|
|
Определения |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
и замечания |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
середины |
|
отрезка |
|
|
|
|
определяются |
Следует запомнить, |
||||||||||||||||||||
|
|
AB |
|
|||||||||||||||||||||||||
соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
каждому |
зна- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чению λ соответст- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x1 + x2 |
|
|
|
y1 + y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x = |
|
, y = |
. |
|
|
(5) |
вует некоторая точка |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
прямой АВ. Исклю- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чение |
представляет |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение λ = −1, |
при |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
котором формулы (4) |
||||||
5. Координаты точки C(x, |
y, z), делящей |
теряют смысл. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Замечание. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
концами A(x1, |
y1, z1 ) |
Если |
λ положитель- |
|||||||||||||||||
отрезок |
AB |
|
|
|
|
с |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но, то точка C(x, y) |
||||||
и B(x2 , y2 , z2 ) в отношении λ, определя- |
||||||||||||||||||||||||||||
лежит между точка- |
||||||||||||||||||||||||||||
ются соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ми А и В. |
|
|
|||||||||||||||||
x = |
x1 + λx2 |
, y |
= |
|
y1 + λy2 |
|
, z |
= |
z1 + λz2 |
|
. (6) |
Если λ отрицательно, |
||||||||||||||||
1 + λ |
|
1 |
+ λ |
1 |
+ λ |
|
|
то точка С лежит на |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой вне |
отрезка |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. Пусть |
даны вершины |
треугольника |
Замечание. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) |
, C(x3, |
y3 ). |
Площадь |
В формуле |
нужно |
|||||||||||||||||||||||
треугольника вычисляется по формуле |
взять |
знак |
«+» |
или |
||||||||||||||||||||||||
|
S = ± |
1 |
|
|
x1 − x3 |
y1 |
− y3 |
|
|
|
|
|
«–», смотря по тому, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
(7) |
будет |
ли определи- |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
x2 − x3 |
y2 |
− y3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тель положительным |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или отрицательным. |
86
Задачи
Задача 1. Определить расстояние между точками A(13; − 1)
и B(− 2; 7).
Решение.
Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле (2):
d = (− 2 − 13)2 + (7 − (− 1))2 = 152 + 82 = 289 = 17 .
Задача 2. Найти координаты точки, делящей отрезок AB ,
где A(3; 5), B(1; − 4), в отношении λ = 1 . 4
Решение.
Точку A(3; 5) будем считать началом отрезка, а точку B(1; − 4) – ее концом. В формулах (4) x и y – искомые координа-
ты точки С, x1 и y1 |
– координаты точки А; x2 и y2 – координа- |
||
ты точки В; λ = |
1 |
. |
|
|
|
||
4 |
|
|
|
Значит, у нас |
x1 = 3, x2 = 1, y1 = 5, y2 = −4. Итак, по фор- |
||
мулам (4): |
|
|
3 + |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 + |
1 |
(− 4) |
||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|||||||||||||
x = |
4 |
|
|
|
= |
; |
y = |
4 |
|
|
|
|
||||||||
1 + |
1 |
|
|
|
5 |
1 + |
1 |
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
||||||
Точка С имеет координаты |
|
; |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
=16 .
5
Задача 3. Один из концов отрезка AB находится в точке
A(5; − 4), его серединой является точка C(0; − 3). Найти координаты другого конца отрезка.
87
Решение.
В формулах (5) координаты середины отрезка обозначены через x и y. По условию задачи x = 0, y = −3. Координаты одно-
го конца отрезка точки А в этих формулах x1 = 5, y1 = −4. Координаты точки В – величины неизвестные, которые мы обозначим через x2 и y2. Тогда по формулам (5) для определения этих неизвестных получаем два уравнения:
0 = 5 + x2 ; − 3 = − 4 + y2 .
2 |
2 |
Отсюда |
|
5 + x2 = 0; |
x2 = −5, |
− 4 + y2 = −6; y2 = −2.
Точка В имеет координаты (− 5; − 2).
Задача 4. На оси аппликат найти точку, равноудаленную от точек A(3; 9; − 1) и B(7; − 3; 9).
Решение.
Поскольку точка лежит на оси аппликат, ее координаты – C(0; 0; z). Найдем расстояние от точки С до точки А:
dAC = (0 − 3)2 + (0 − 9)2 + (z − (− 1))2 = 90 + (z + 1)2 .
Расстояние от точки С до точки В:
dBC = (0 − 7)2 + (0 − (− 3))2 + (z − 9)2 = 58 + (z − 9)2 ,
dAC = dBC .
Следовательно,
90 + (z + 1)2 = 58 + (z − 9)2
или
91 + 2z + z2 = 139 − 18z + z2 , 20z = 48 , z = 12 . 5
88
|
|
12 |
|
|
Точка С имеет координаты |
C 0; 0; |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
5 |
|
Задача 5. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A(2; − 3), B(1; 1), A(− 6; 5).
Решение.
Для решения воспользуемся формулой (7), в которой нуж-
но взять x1 = 2, x2 = 1, |
x3 = −6, |
y1 = −3, |
y2 = 1, |
y3 = 5. |
|||||||||||
Подставляя эти числа в (7), получим |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
2 − (− 6) (− 3 − 5) |
|
1 |
|
8 |
− 8 |
|
1 |
24 = 12 . |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
S = |
|
|
|
1 − (− 6) |
(1 − 5) |
|
= |
|
|
|
7 |
− 4 |
= |
|
|
2 |
2 |
2 |
S= 12 кв. ед.
§2. Прямая на плоскости
Основные формулы |
Определения и замечания |
|||||
и рисунки |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1. Ax + By + C = 0 – общее урав- |
Всякое уравнение первой сте- |
|||||
нение прямой. |
(1) |
пени относительно текущих |
||||
|
|
координат x и y определяет |
||||
|
|
прямую линию. |
|
|
||
|
|
Замечание. |
|
|
||
|
|
|
|
= {A, B} – |
|
нормальный |
|
|
|
N |
|||
|
|
вектор прямой l; |
|
l (рис. 1). |
||
|
|
N |
||||
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
а) C = 0, Ax + By = 0 |
– прямая |
|
|
|
|
|
проходит через начало коорди- |
|
|
|
|
|
|
нат; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
Основные формулы |
|
|
Определения и замечания |
|||||||||||||
|
|
и рисунки |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) A = 0, |
By + C = 0 |
– |
прямая |
Следует запомнить: если пря- |
||||||||||||
параллельна оси OX ; |
|
|
|
мая параллельна какой-нибудь |
||||||||||||
в) B = 0, |
Ax + C = 0 |
– |
прямая |
координатной оси, то в ее урав- |
||||||||||||
параллельна оси OY; |
|
|
|
нении отсутствует член, содер- |
||||||||||||
|
|
|
жащий координату, одноимен- |
|||||||||||||
г) A = 0, |
C = 0, |
y = 0 |
|
– прямая |
||||||||||||
|
ную с этой осью. |
|
|
|||||||||||||
совпадает с осью OX ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) B = 0, |
C = 0, |
x = 0 – прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
совпадает с осью OY. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Каноническое уравнение пря- |
Замечание. |
|
|
|
||||||||||||
мой |
|
|
|
|
|
|
|
Положение прямой l на плос- |
||||||||
|
|
x − x0 = y − y0 . |
(2) |
кости OXY вполне определя- |
||||||||||||
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
ется заданием |
какой-либо ее |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
M0 |
(x0 , |
y0 ) |
и |
вектора |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {m, n}, |
параллельного дан- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной прямой или лежащего на |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ней. Этот вектор называется |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направляющим |
вектором пря- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мой l (рис. 2). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x, y) |
– текущая точка пря- |
|||||
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
мой l. |
|
|
|
|
|
|||||
3. Параметрические уравнения |
Замечание. |
|
|
|
||||||||||||
прямой |
x = x0 |
|
|
|
|
В уравнениях (3) t рассматри- |
||||||||||
|
|
+ mt, |
|
|
|
вается как произвольно изме- |
||||||||||
|
|
|
+ nt. |
|
|
(3) |
няющийся параметр; x, y – как |
|||||||||
|
|
y = y0 |
|
|
|
функции от t. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Уравнение прямой с угловым |
Тангенс |
угла наклона |
прямой |
|||||||||||||
коэффициентом (рис. 3) запи- |
к оси OX |
называется угловым |
||||||||||||||
сывается следующим образом: |
коэффициентом прямой. |
|||||||||||||||
|
|
y = kx + b , |
|
|
(4) |
b – величина отрезка, отсекае- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90