книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1
.pdf(знак минус берется потому, что D = 35 > 0).
Таким образом, нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид
−6 x + 3 y + 2 z − 5 = 0 . 7 7 7
Направляющие косинусы: cos α = − |
6 |
, |
cosβ = |
3 |
, |
cos γ = |
2 |
. |
7 |
|
7 |
|
7 |
|
Длина перпендикуляра из начала координат к плоскости p = 5.
Задача 7. |
|
Определить, какие из уравнений плоскости яв- |
|||||||||||
ляются нормальными: |
|||||||||||||
а) x + y − z + 2 = 0; |
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|||
б) |
2 |
|
x − |
1 |
y − |
1 |
z − 1 = 0; |
||||||
|
|
3 |
|||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) − |
6 |
x + |
6 |
y + |
7 |
z − 4 = 0. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
|
|
11 |
11 |
Решение.
Условия нормального уравнения плоскости:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
− ρ ≤ 0.
Вуравнении (а) второе условие не выполняется, т.к. свободный член (− ρ)= 2 > 0.
Вуравнении (б) сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна
|
|
2 2 |
|
|
1 2 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
+ |
− |
|
|
+ |
− |
|
|
= |
|
≠ 1. |
|
|
|
|
3 |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||||
В уравнении (в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
(− p)= −4 < 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
|
|
6 2 |
|
6 2 |
|
7 |
2 |
|||
2) |
− |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
= 1. |
|
|
|
||||||||
|
|
11 |
|
11 |
|
11 |
|
Уравнение (в) является нормальным.
|
|
Задача 8. Даны точки M1(− 3; 7; − 5 ) |
и M 2 (− 8; 3; − 4 ). Со- |
||||||||||||
ставить уравнение плоскости, |
проходящей через |
точку M1 |
|||||||||||||
и перпендикулярной вектору |
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
N |
M1M 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем координаты |
нормального |
вектора |
|
|
Имеем |
||||||||
N. |
|||||||||||||||
|
|
= {− 5; − 4;1}. |
Подставляя в уравнение (4) значения |
A = −5, |
|||||||||||
|
N |
||||||||||||||
|
B = −4, C = 1, |
x1 = −3, y1 = 7, |
z1 = −5, получим искомое урав- |
||||||||||||
нение: − 5(x + 3)− 4(y − 7)+ (z + 5) = 0 или 5x + 4y − z − 18 = 0. |
|||||||||||||||
|
|
Задача 9. Составить уравнение плоскости, проходящей че- |
|||||||||||||
рез три точки: M1(1; − 3; 4 ), |
M2 |
(0; − 2; − 1) |
и M3 (1; 1; − 1 ). |
|
|||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании равенства (5) искомое уравнение имеет вид |
|||||||||||||
|
|
|
|
x − 1 |
y + 3 z − 4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− 1 |
1 |
|
− 5 |
|
= 0 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
4 |
|
− 5 |
|
|
|
|
|
|
Раскрывая этот определитель, получим
15(x − 1)− 5(y + 3)− 4(z − 4) = 0 или 15x − 5y − 4z −14 = 0.
Задача 10. Найти острый угол между плоскостями
7x − 11y + 8z + 19 = 0 и x + 4y − 10z − 5 = 0.
Решение.
Используя формулу (6), получим:
112
cos ϕ = |
|
7 1+ (− 11) 4 + 8 (− 10) |
|
= |
117 |
|
= |
1 |
|||||
|
|
|
|||||||||||
72 + |
(− 11)2 + 82 |
12 + 42 + ( |
−10)2 |
234 |
117 |
2 , |
|||||||
откуда ϕ = π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 11. Через |
точку |
пересечения |
плоскостей |
||||||||||
2x − 4y + 5z − 21 = 0, x − 3z + 18 = 0, |
6x + y + z − 30 = 0 провести |
||||||||||||
плоскость, параллельную плоскости 3x − y − 5z + 6 = 0. |
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
− 4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку определитель ∆ = |
|
1 |
0 |
− 3 |
|
= 87 ≠ 0 , данные |
|||||||
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
три плоскости пересекаются в одной точке. Решив систему уравнений, получим точку M (3; 5; 7 ). Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости 3x − y − 5z + 6 = 0, в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор N = {3; − 1; − 5} данной плоскости. Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно данно-
му |
вектору |
|
|
, получаем 3(x − 3)− (y − 5)− 5(z − 7) = 0 или |
|
N |
|||
3x − y − 5z + 31 = 0. Это и есть искомое уравнение. |
||||
|
Задача 12. Одна из граней прямоугольного параллелепипе- |
|||
да |
лежит в |
плоскости 3x + 4y − z + 12 = 0. Найти уравнение |
плоскости, в которой лежит перпендикулярная ей грань, если известно, что она проходит через точки M1(− 1; − 3;− 4 )
и M2 (4; − 5; 3).
Решение.
Приведем два способа решения задачи.
113
Способ первый.
Запишем уравнение искомой плоскости в виде
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0.
Поскольку плоскости перпендикулярны, |
3A + 4B − C = 0. |
Искомая плоскость проходит через точки M1 |
и M 2 , следова- |
тельно, получаем второе условие 5A − 2B + 7C = 0.
3A
5A
откуда C = − A, B = − A.
Искомое уравнение
A(x + 1)− A(y + 3)− A(z + 4)
+4B − C = 0,
−2B + 7C = 0,
плоскости записывается в виде
= 0 или x − y − z − 6 = 0.
Способ второй. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Запишем |
|
|
уравнение |
искомой |
|
плоскости |
в виде |
||||||||
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0, где |
(x0 , y0 , z0 ) |
– координаты |
|||||||||||||
любой из данных точек M1 |
или M2 , а {A, B,C}= |
|
– нормаль- |
||||||||||||
N |
|||||||||||||||
ный вектор искомой плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Значит, |
|
|
|
|
= {5; − 2; 7} и |
|
|
|
|
|
= |
|
{3; 4; − 1} – |
||
|
|
M1M2 |
|
||||||||||||
N |
N |
N1 |
|
нормальный вектор данной плоскости.
Следовательно, нормальным вектором искомой плоскости
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
= {− 26; 26; 26} |
||
можем быть вектор |
|
= |
|
× |
|
= |
5 |
− 2 |
7 |
|||||
N |
M1M2 |
N1 |
||||||||||||
|
3 |
4 |
− 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или N = {1; − 1; − 1}. Искомое уравнение плоскости 1 (x + 1)−
− 1 (y + 3)− 1 (z + 4) = 0 или x − y − z − 6 = 0.
Задача 13. На оси OY найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: 3x − 4y + 2z − 9 = 0 и 4x + 2y − 3z − 21 = 0.
114
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку точка расположена на оси OY , |
следовательно, |
|||||||||||||||||
ее координаты M (0; y; 0). |
На основании формулы (10) |
имеем: |
||||||||||||||||
d = 3 0 − 4 y + 2 0 − 9 , |
|
|
d |
2 |
= 4 0 + 2 y − 3 0 − 21 , |
d = d |
2 |
, |
||||||||||
1 |
+ 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
42 + 22 + (− |
3)2 |
1 |
|
|||||
32 + (− 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
следовательно, |
|
|
− 4y − 9 |
|
= |
|
2y − 21 |
|
, |
откуда |
4y + 9 = 2y − 21, |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
4y + 9 = −2y + 21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая каждое |
из полученных |
уравнений, находим, что |
||||||||||||||||
y1 = −15, y2 = 2, |
|
M1 |
(0; − 15; 0), |
M 2 (0; 2; 0). |
|
|
|
|
Задача 14. Найти расстояние между параллельными плос-
костями 5x + 3y − 4z + 15 = 0 и 15x + 9y − 12z − 5 = 0.
Решение.
Возьмем на какой-нибудь из этих плоскостей произвольную точку. Например, на первой плоскости возьмем точку, для которой y = 0, z = 0, и определим абсциссу x этой точки. По-
лучим 5x + 3 0 − 4 0 + 15 = 0, x = −3. Итак, на первой плоскости взята точка (− 3; 0; 0). Определив ее расстояние до второй плос-
кости по формуле (10), получим d = 5 2 . Найденное расстоя- 3
ние d и будет расстоянием между данными плоскостями.
§ 4. Прямая в пространстве |
|||
|
|
|
|
Основные формулы и рисунки |
Определения |
||
и замечания |
|||
|
|
||
1. Общее уравнение прямой в прост- |
Прямая в пространстве |
||
ранстве |
|
рассматривается как ли- |
|
A1x + B1 y + C1z + D1 |
= 0, |
ния пересечения двух |
|
|
(1) |
плоскостей. |
|
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. |
|
115
Основные формулы и рисунки |
|
|
Определения |
||||||||||||||
|
|
и замечания |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Канонические уравнения прямой, |
Каждый не равный нулю |
||||||||||||||||
проходящей через точку M0 (x0; y0 ; z0 ) |
вектор, лежащий на дан- |
||||||||||||||||
и параллельной вектору |
|
= {l; m; n} |
ной прямой |
или |
парал- |
||||||||||||
S |
|||||||||||||||||
(рис. 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
лельный ей, |
называется |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
направляющим вектором |
|||||||||
|
x − x0 |
|
y − y0 |
|
z − z0 |
|
|
||||||||||
|
= |
= |
. |
(2) |
|
|
= {l; m; n} этой прямой. |
||||||||||
|
|
S |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
l |
m |
|
|
n |
|
Замечание. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
α, β и γ |
– |
углы |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между прямой и коор- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
динатными |
осями |
OX , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OY и OZ, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α = ± |
l |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 + m2 + n2 |
|||
|
|
|
Рис. 1 |
|
cosβ = ± |
m |
|
; (3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 + m2 + n2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos γ = ± |
n |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 + m2 + n2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α, |
cosβ, |
cos γ |
назы- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ваются |
направляющими |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
косинусами прямой. |
||||||
3. Параметрические |
уравнения |
пря- |
Замечание 1. |
|
|
||||||||||||
мой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
В уравнениях (4) |
t рас- |
|||||||
|
x = x0 + lt, |
|
сматривается как произ- |
||||||||||||||
|
|
= y0 |
+ mt, |
(4) |
вольно |
изменяющийся |
|||||||||||
|
y |
||||||||||||||||
|
|
|
+ nt. |
|
параметр; x, |
y, |
z |
– как |
|||||||||
|
z = z0 |
|
функции от t. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметрические |
урав- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения |
прямой |
удобно |
116
Основные формулы и рисунки |
|
|
Определения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и замечания |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применять в тех случаях, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда |
требуется |
найти |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку |
пересечения пря- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мой с плоскостью. |
||||||||
4. Уравнение |
прямой, |
проходящей |
Следует запомнить: че- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
через две данные точки |
M (x1; y1; z1 ) |
рез |
две |
точки |
можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
и N (x2 ; y2; z2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
провести |
единственную |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − x1 |
|
|
|
|
|
|
|
y − y1 |
|
|
|
z − z1 |
|
|
|
прямую. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
. |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x2 − x1 |
|
|
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. Угол между прямыми |
|
|
|
|
|
|
Углом между |
прямыми |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x − x1 |
= |
|
y − y1 |
= |
z − z1 |
|
|
|
|
|
в |
пространстве |
будем |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
называть |
любой |
из уг- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
лов, образованных двумя |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {l1; m1; n1}, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
прямыми, |
проведенными |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − x2 |
|
|
|
y − y2 |
|
|
|
z − z2 |
|
|
|
|
через произвольную точ- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
= |
, |
|
|
ку |
параллельно |
данным |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
прямым. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = {l2 ; m2; n2} |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
Замечание 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
За |
угол |
ϕ между пря- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
мыми |
можно |
принять |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ± |
|
|
|
|
l1l2 + m1m2 + n1n2 |
|
|
|
|
2 . |
(6) |
угол |
между их |
направ- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ляющими векторами S1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
l |
2 + m 2 + n |
2 l |
2 |
+ m 2 + n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и S 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
формуле (6) |
можно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ставить любой знак, что |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствует |
|
выбору |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одного из двух различ- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных углов между дан- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ными прямыми. |
|
|
|
|
117
|
|
Основные формулы и рисунки |
|
|
Определения |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
и замечания |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
|
l1 |
= |
m1 |
|
= |
|
|
n1 |
– условие параллель- |
Замечание. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
l2 |
m2 |
|
|
|
n2 |
|
Это условие можно по- |
||||||||||||||||||||
ности двух прямых. |
(7) |
лучить, заметив, что |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы |
|
|
1 = {l1; m1; n1} |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
2 = {l2 ; m2; n2} колли- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неарны. |
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
|
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 – условие пер- |
Замечание. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
пендикулярности двух прямых. (8) |
Прямые перпендикуляр- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ны, если скалярное про- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изведение |
|
|
направляю- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щих векторов |
|
|
|
1 = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {l1; m1; n1} и |
|
|
2 = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {l2 ; m2 ; n2} равно нулю. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Составить канонические уравнения прямой, про- |
|||||||||||||||||||||||||
ходящей |
через |
точку |
A(− 5; 8; − 3) |
и параллельной |
вектору |
|||||||||||||||||||||||
|
= {2; 4; −1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Воспользуемся формулами (2) при x0 = −5, |
y0 = 8, |
z0 = −3, |
|||||||||||||||||||||||
l = 2, |
|
m = 4, n = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 5 |
= |
|
y − 8 |
= |
z + 3 |
– это и есть канонические уравнения |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
− 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Задача 2. Определить направляющие косинусы |
прямой |
||||||||||||||||||||||||
x |
|
= |
y − 7 |
= |
z + 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
9 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
Решение. |
(3), полагая l = 12, m = 9, |
n = 20, будем |
||||
По формулам |
||||||
иметь cosα = ± |
12 |
= ± 12 ; cosβ = ± |
9 |
; cos γ = ± |
20 |
|
|
25 |
|
||||
122 + 92 + 202 |
25 |
25 |
|
или cos γ = ± 4 . 5
Острые углы, составляемые прямой с координатными осями, будут следующими: α ≈ 61°18′; β ≈ 68°54′; γ ≈ 36°52′.
Задача 3. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A(− 1; 2; 3) и B(5; − 2;1). Лежат ли на этой прямой точки
K (− 7; 6; 5), L(2; 0;1), M (− 4; 4; 4)?
Решение.
Используя формулы (5), при x1 = −1, y1 = 2, z1 = 3, x2 = 5, y2 = −2, z2 = 1, получим искомые канонические уравнения пря-
мой l: |
x + 1 |
= |
y − 2 |
= |
z − 3 |
или |
x + 1 |
= |
|
y − 2 |
= |
|
z − 3 |
. Подставляя |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 |
|
− 4 |
− 2 |
3 |
|
|
− 2 |
− 1 |
|
|||||||||||||||
в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно на- |
||||||||||||||||||||||||
ходим: − 7 + 1 = |
6 − 2 |
= |
5 − 3 |
= −2; |
|
2 + 1 |
= |
0 − 2 |
≠ |
1− 3 |
; |
− 4 + 1 = |
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
− 2 |
|
−1 |
|
|
− 2 |
|
− 1 |
3 |
=4 − 2 = 4 − 3 = −1.
−2 − 1
Следовательно, K l, M l, а L l.
Задача 4. Общие уравнения прямой
3x + 3y + z − 1 = 0, |
|
|
(9) |
2x − 3y − 2z − 6 |
= 0 |
преобразовать к каноническому виду.
119
Решение.
Первый способ.
Наметим такой план решения задачи: из системы (9) исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим x и выразим z теперь уже через y.
Для того, чтобы из системы (9) исключить y, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что
x − 7
5x − z − 7 = 0, откуда z = 5x − 7, z = |
5 |
. |
|
1 |
|||
|
|
5
Умножая первое уравнение системы (9) на 2, а второе на (–3) и складывая их почленно, получим 15y + 8z + 16 = 0, откуда
|
|
|
|
y + |
16 |
|
|
||
16 |
|
|
|||||||
|
15 |
|
|||||||
8z = −15 y + |
|
|
или z = |
|
. |
||||
15 |
|
|
|||||||
|
|
− |
8 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Сравнивая найденные значения z, получаем уравнения прямой в каноническом виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
7 |
|
|
|
y + |
16 |
|
|
|
|
x − |
7 |
|
|
y + |
16 |
|
|
|
z − 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z = |
|
|
|
|
|
5 |
= |
|
|
|
15 |
|
|
или |
5 |
= |
|
|
15 |
|
= |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
8 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − |
7 |
|
|
|
|
y + |
16 |
|
|
|
|
|
z − 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
лучим |
5 |
= |
|
|
|
|
15 |
= |
. Прямая |
проходит |
через точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
− 8 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
|
; − |
|
|
; 0 |
и имеет направляющий вектор S = {3; − 8;15}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ.
Найдем направляющий вектор S = {l; m; n} прямой. Поскольку он должен быть перпендикулярен нормальным векто-
120