книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
Определения и замечания |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
13. Произведение матрицы на число. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пусть |
A = (a ) |
, k – |
число. Тогда B = (b ) |
|
такая, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
ij |
m×n |
|
|
|
|
|
ij m×n |
|
|
|
|||||
|
что bij |
= kaij ( i = |
|
, |
j = |
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1, m |
1, n |
|
|
|
(17) |
|
||||||||||||
|
Обозначения: B = k A или B = A k . |
|
|
|
(18) |
|
|||||||||||||
|
14. Справедливы следующие свойства: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) 1 A = A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А, В – матрицы, |
|||
|
б) α (A + B) = αA + αB; |
|
|
|
|
|
|
(19) |
α, β – числа. |
||||||||||
11 |
в) (α + β)A = αA + βA; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) α(βA) = (αβ)A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
15. Произведение матриц. |
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: операция умножения |
||||||||||
|
Пусть |
A = (a ) |
, B = (b |
|
) |
. Тогда C = |
(c |
) |
|
, та- |
двух матриц вводится только для случая, |
||||||||
|
|
|
|
ij |
m×n |
|
|
jk |
n× p |
ik |
m× p |
|
когда число столбцов первой матрицы |
||||||
|
кая, что |
= ai1b1k + ai2b2k |
+ ....... + ainbnk , |
|
|
|
(20) |
равно числу строк второй матрицы. |
|||||||||||
|
|
|
cik |
|
|
|
Следует запомнить: из определения про- |
||||||||||||
|
i = |
|
, j = |
|
|
k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изведения матриц следует, что элемент |
||
|
1, m |
1, n |
, |
1, |
p . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Произведение матрицы А на матрицу В обозначают |
матрицы АВ, стоящий в i-й строке и k-м |
|||||||||||||||||
|
столбце, равен сумме произведений эле- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = AB. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
ментов i-й строки матрицы А на соответст- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вующие элементы k-го столбца матрицы В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
|
|
|
|
|
Замечание 1. |
|
|
Если матрицы А и В квадратные одного |
|
|
размера, то произведения АВ и ВА всегда |
|
|
существуют. |
|
|
Замечание 2. |
|
|
Если матрицу А можно умножить на мат- |
|
|
рицу В, а В можно умножить на А, то, во- |
|
|
обще говоря, AB ≠ BA . |
|
|
|
16. Справедливы следующие свойства умножения |
|
|
матриц: |
|
|
а) (AB) C = A(BC) ; |
|
|
б) α (AB) = (αA) B = A(αB); |
(22) |
|
в) (A + B) C = AC + BC ; |
|
А – квадратная матрица, Е – единичная |
г) AE = EA = A . |
|
|
|
матрица того же порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
||
Задача 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 1 |
|
1 |
− 1 |
= |
2 + 1 |
|
1 − 1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
. |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
3 + 1 |
− 2 + 1 |
4 |
− 1 |
||
Задача 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 − 1 |
|
5 |
1 1 − 4 |
|
4 0 |
1 |
||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
− 2 3 |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
− 2 |
2 |
|
2 |
− 1 1 |
||||
Задача 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти матрицу 3А – 2В, если |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
−1 |
3 |
|
6 |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 4 |
|
0 |
2 , |
|
B = − 1 |
|
1 − 6 . |
|
||
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
1 |
|
3 |
|
2 1 |
|
||
Решение. |
|
6 − 3 9 |
|
12 |
2 0 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем 3A = |
12 |
0 |
6 , |
2B = − 2 |
2 − 12 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 − 6 3 |
|
6 |
4 2 |
|
6 − 12 |
|
|
3A − 2B = 12 − (− 2) |
|
|
− 3 − 6 |
|
− 3 − 2 |
9 − 0 |
|
− 6 − 5 |
9 |
||
|
|
|
|
|
− 2 |
|
0 − 2 6 − (− 12) |
= 14 |
18 . |
||||
− 6 − 4 |
3 − 2 |
|
|
− 9 |
− 10 |
|
|
|
1 |
Задача 4. |
|
|
|
5 1+ 3 (− 2) |
|
(− 3)+ 3 |
1 |
|
||||
5 |
3 |
|
1 |
− 3 |
5 |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
− 4 1+ 1 (− 2) |
|
|
|
|
|
1 |
|
− 2 |
1 |
|
− 4 (− 3)+ 1 1 |
|
|||||
|
−1 |
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Задача 5.
1 2 1 |
|
|
1 |
3 |
|
8 |
|
5 |
||||
|
|
4 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 5 |
− 3 2×3 |
|
|
− 1 |
2 |
|
26 |
3 2×2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
3×2 |
|
|
|
||
Задача 6. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(3 4) |
|
|
|
= (3 |
+ 8) = (11) |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
1×2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1×1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2×1 |
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. Определители
|
|
Основные формулы |
|
Определения |
||||||||
|
|
|
и замечания |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Определитель второго порядка: |
|
Определителем |
||||||||||
|
a11 |
a12 |
|
= a |
a |
− a |
21 |
a . |
(1) |
2-го порядка на- |
||
|
|
|||||||||||
|
a21 |
a22 |
|
11 |
22 |
|
12 |
|
зывают число, ко- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
торое получается |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадратной мат- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по указанному |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правилу. |
|
|
2. Обозначение определителя: |
|
|
Определитель |
|||||||||
|
|
∆(A)илиdet A. |
|
(2) |
матрицы А также |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называют |
ее |
де- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
терминантом. |
14
Основные формулы |
Определения |
|
и замечания |
||
|
||
Свойства определителя второго |
порядка |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
Величина опре- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
11 |
12 |
|
|
= |
|
|
|
11 |
|
21 |
. |
|
|
|
(3) |
делителя не из- |
||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
a12 |
a22 |
|
|
|
|
|
менится, если его |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строки поменять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
местами с соот- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветствующими |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбцами. |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
При перестанов- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
11 |
12 |
|
|
= − |
|
|
|
21 |
|
22 |
. |
(4) |
ке двух строк |
|||||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
(или столбцов) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определитель из- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менит знак на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
противополож- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ный. |
|
a |
ka |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
Общий множи- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
11 |
12 |
|
= k |
|
|
11 |
|
12 |
|
. |
(5) |
тель всех элемен- |
||||||||
|
a21 |
ka22 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
тов строки (или |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца) можно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выносить за знак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определителя. |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если все элемен- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
(6) |
ты какой-либо |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строки (или |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца) равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю, то опреде- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
литель равен ну- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
Определения |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и замечания |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
с двумя одинако- |
|||||
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выми строками |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(или столбцами) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен нулю. |
|
|
|
|
a |
|
a |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
Определитель, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
у которого эле- |
||||||||
|
|
|
|
ka11 |
|
ka12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менты двух строк |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(столбцов) соот- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветственно про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порциональны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен нулю. |
9. |
|
a11 |
a12 + b |
|
= |
|
a11 |
|
a12 |
|
+ |
|
a11 |
b |
|
. |
(9) |
Если элементы |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a21 |
a22 + c |
|
|
a21 |
|
a22 |
|
|
a21 |
c |
|
какого-либо |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца (или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строки) определи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теля представля- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ют собой суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двух слагаемых, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
может быть раз- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ложен на сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двух соответст- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вующих опреде- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лителей. |
16
PNRPU
|
|
Основные формулы |
|
Определения |
||||||||||||||||
|
|
|
и замечания |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
|
a11 |
a12 |
|
= |
|
a11 + λa12 |
a12 |
|
. |
(10) |
Если к элементам |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
какой-либо стро- |
||||||||||||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
a21 + λa22 |
a22 |
|
|
|
ки (или столбца) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определителя |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прибавить соот- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветствующие |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементы другой |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строки (или |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца), умно- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
женные на одно |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и то же число, то |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина опреде- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лителя не изме- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нится. |
||||
11. Определитель третьего порядка: |
|
aij – элементы |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
определителя |
||||||
|
|
|
∆ = |
a21 |
|
a22 |
a23 |
|
. |
|
|
|
(11) |
(i = |
|
|
|
). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 3, j = |
1, 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
Следует запом- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нить, что эле- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менты a11, a22 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a33 |
образуют |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главную диаго- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наль определите- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ля, элементы a31, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 , |
a13 состав- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляют его побоч- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ную диагональ. |
17
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения |
|||
|
|
|
|
и замечания |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычисление |
определителя третьего |
по- |
Данное правило |
|||||
рядка по правилу треугольников: |
|
заключается |
||||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
в том, что первые |
|
|
|
|
|||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
= a11a22a33 + a12a23a31 + |
|
три слагаемых |
|
|
|
(12) |
в правой части |
|||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
равенства (12) |
|||
+ a21a32a13 − a31a22a13 − a32a23a11 − a21a12a33. |
|
|||||||
|
вычисляются так, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
как это показано |
|
|
|
|
|
|
|
|
на рис. 1. Они |
|
|
|
|
|
|
|
|
представляют со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
бой произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов, стоя- |
|
|
|
|
|
|
|
|
щих на главной |
|
|
|
|
|
|
|
|
диагонали и вер- |
|
|
|
Рис. 1 |
Рис. 2 |
|
шинах двух тре- |
||
|
|
|
|
угольников, у ко- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торыходна изсто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
рон параллельна |
|
|
|
|
|
|
|
|
главной диагона- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ли. Остальные |
|
|
|
|
|
|
|
|
три слагаемых |
|
|
|
|
|
|
|
|
правой части ра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
венства (12) вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
числяются анало- |
|
|
|
|
|
|
|
|
гично (рис. 2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
только за основу |
|
|
|
|
|
|
|
|
взята побочная |
|
|
|
|
|
|
|
|
диагональ. При- |
|
|
|
|
|
|
|
|
чем эти слагае- |
|
|
|
|
|
|
|
|
мые берутся с об- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ратным знаком. |
18
|
Основные формулы |
Определения |
||
|
и замечания |
|||
|
|
|
||
13. |
Минор данного элемента |
определителя |
Минором данного |
|
третьего порядка. |
|
элемента опреде- |
||
|
Mij . |
(13) |
лителя третьего |
|
|
|
|
порядка называ- |
|
|
|
|
ется определи- |
|
|
|
|
тель второго по- |
|
|
|
|
рядка, получен- |
|
|
|
|
ный из данного |
|
|
|
|
определителя вы- |
|
|
|
|
черкиванием |
|
|
|
|
строки и столбца, |
|
|
|
|
на пересечении |
|
|
|
|
которых стоит |
|
|
|
|
данный элемент. |
|
14. |
Aij – алгебраическое дополнение данного |
Алгебраическое |
||
элемента определителя третьего порядка. |
дополнение дан- |
|||
ного элемента – |
||||
|
Aij = (− 1)i+ j Mij . |
(14) |
||
|
это минор, взя- |
|||
|
|
|
тый со знаком |
|
|
|
|
«плюс», если |
|
|
|
|
сумма i + j – |
|
|
|
|
четное число, |
|
|
|
|
и со знаком «ми- |
|
|
|
|
нус», если эта |
|
|
|
|
сумма нечетная. |
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
Здесь i означает |
|
|
|
|
номер строки, |
|
|
|
|
а j – номер |
|
|
|
|
столбца, на пере- |
|
|
|
|
сечении которых |
|
|
|
|
находится дан- |
|
|
|
|
ный элемент. |
19
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
Определения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и замечания |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Разложение |
|
определителя |
по |
элементам |
Определитель |
||||||||||||||
строки (или столбца). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен сумме |
|||||||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведений |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∆ = |
a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
= a |
A |
+ a |
A |
+ a |
A |
; (15) |
элементов какой- |
|||||
|
|
|
|
|
11 |
11 |
12 |
12 |
|
|
13 |
13 |
либо строки (или |
||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца) на их |
|||||||
|
|
|
∆ = a21A21 + a22 A22 + a23 A23 ; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
алгебраические |
||||||||||||||
|
|
|
∆ = a31A31 + a32 A32 + a33 A33 ; |
|
|
дополнения. |
|||||||||||||
|
|
|
∆ = a11A11 + a21A21 + a31A31 ; |
|
|
Замечание. |
|||||||||||||
|
|
|
∆ = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 ; |
|
|
Формула (15) – |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
это разложение |
||||||||||||||
|
|
|
∆ = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
определителя |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по элементам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первой строки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все свойства оп- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределителей вто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рого порядка ос- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таются справед- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ливыми для опре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делителей треть- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
его и более высо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
Определитель |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16. |
|
|
|
|
∆ = |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
. |
|
|
(16) |
n-го порядка. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20