- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава I. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
- •§ 1. Некоторые гипотезы и принципы механики твердых деформируемых тел
- •§ 2. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений
- •§ 1. Соотношения между напряжениями и деформациями в линейно-упругом теле
- •Глава III. МЕХАНИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
- •§ 1. Пластическая деформация и разрушение
- •§ 3. Классические теории прочности
- •§ 4. Энергетические теории прочности
- •§ 5. Новейшие энергетические теории
- •§ 6. Развитие деформационных теорий и теорий напряжений
- •§ 7. Теории, основанные на моделировании механизма разрушения
- •§ 2. О форме предельной поверхности механического критерия прочности
- •§ 3. Два аспекта прочности твердого тела
- •§ 4. Обобщенный критерий прочности
- •§ 5. Геометрическая интерпретация обобщенного критерия прочности
- •§ 6. О критерии прочности структурно неоднородных (дефектных) материалов
- •Глава V. ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА
- •§ 4. Влияние градиента напряжений и масштабного фактора
- •Глава VI. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЧНОСТИ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
- •§ 1. Основные направления экспериментальных исследований
- •§ 2. Экспериментальная проверка гипотез теорий пластичности
- •§ 4. Экспериментальное исследование предельных напряженных состояний
- •§ 5. Влияние температуры на предельное напряженное состояние материала
- •§ 6. Результаты длительных статических испытаний при сложном напряженном состоянии
Пока нет достаточного экспериментального обоснования для применения в расчетной практике и других объединенных теорий прочности.
Некоторыми авторами [10, 257, 259, 411] рассматривался вопрос о введении в расчетные формулы, вытекающие из различных ги потез прочности, поправочных коэффициентов. Однако эта попытка устранить несоответствие теории с опытными данными, приводив шая, как правило, к увеличению числа констант, подлежащих экспериментальному определению, оказалась мало эффективной и не получила серьезного развития.
Таким образом, если для пластичных изотропных материалов за условие наступления предельного напряженного состояния с достаточным приближением может быть принято условие Мизеса— Генки, то для хрупких материалов пока трудно отдать предпочтение какой-либо из рассмотренных выше теорий. Исследование крите риев разрушения материалов, по-разному сопротивляющихся ра стяжению и сжатию, остается одним из актуальнейших вопросов механики деформируемых тел.
§ 2. О форме предельной поверхности механического критерия прочности
Обобщение накопившегося экспериментального материала и анализ геометрической интерпретации предложенных теорий прочности позволяют высказать некоторые априорные соображения о рацио нальной форме и основных свойствах предельной поверхности, а также выявить основные расчетные показатели, которые могут быть приняты в качестве параметров инвариантной к напряжен ному состоянию функции при разработке новых критериев.
Для изотропных материалов предельная поверхность должна представлять собой равнонаклоненную к осям <ти оа, а3 простран ственную фигуру, симметричную к направлениям главных напря жений. Исходя из того, что условие прочности не может зависеть от системы координат, в которой рассматривается тело, некоторые авторы [247, 295] пришли к выводу, что компоненты тензора напря жений должны входить в это условие только в виде независимых инвариантов, симметричных относительно индексов 1, 2, 3. Такой же концепции фактически придерживались авторы работ [9, 23, 177, 326].
Указанные ограничения, наложенные на параметры инвариант ной функции, равносильны требованию симметричности предельной поверхности по отношению к пространственной диагонали. Отсюда следует, что предельная поверхность должна быть поверхностью вращения. Однако легко заметить, что условию симметрии поверх ности к направлениям olt аг, а3 удовлетворяют критерии и более общего вида.
Для выявления параметров напряженного состояния, определя ющих форму поверхности, удобно воспользоваться цилиндрической системой координат. Для этого предварительно повернем главные оси таким образом, чтобы одна из них совпала с диагональю. Если такой осью является ось х, то переход к новой системе координат можно осуществить по формулам
01 = — |
X -4- — ■ у |
“|---- j=r Z\ |
|
/ 3 |
У 2 |
|
/ 6 |
|
1 |
2 |
,. |
°° = |
7 i x ~ W |
1' |
|
03 ~ у Т х ~~ у ¥ у |
|
у ъ г> |
Рис. 40. Переход от декартовых коор динат к цилиндрическим.
из которых легко получить
х = ^ - ( а 1 + аа + Оз);
1
У = V2 f a — 03);
Тогда, как это видно из рис. 40, цилиндрические координаты I, т и а будут соответственно равны:
I = х = у = (О! + 02 + 03);
г = |
V У 2 + |
22 = |
у= - V fa — 02)2 + |
(а2 — 0 3)2 + (cr3 _ Од)2; (IV. 1) |
а = |
arcctg f |
= |
arcctg (J= ~ |
. |
Из полученных соотношений видно, что координаты введенной цилиндрической системы имеют четкий механический смысл.
Координата / связана с октаэдрическим нормальным напряже нием
0окт = "д" |
“Ь 02 |
0з). |
т. е. с энергией объемной деформации, а координата г — с окта эдрическим касательным напряжением
Токт = - j V (01 — 02)2 + (02 — 0з)2 f (08 — 0i)a.
т. е. с энергией формоизменения или с любой другой величиной,
которая пропорциональна октаэдрическому касательному напряже нию (см. § 4 гл. III).
Угол а , связанный с параметром Лоде — Надаи
2<г3 — — д9
Gi — сг3 ’
характеризует вид девиатора напряжений.
Таким образом, форма предельной поверхности, а следователь но, и ее свойства полностью определяются тремя параметрами на
пряженного состояния Т о к т » о ОКт , |
Р о - |
Уравнение этой поверхности |
|
запишем в виде |
Р о . т{) = 0. |
|
|
/ (Токт) <7окт> |
(IV.2) |
||
Можно найти и обратную связь |
между параметрами Токт» 0 скт |
и р0, входящими в уравнение (IV.2), и главными компонентами тензора напряжений. Решая совместно известные выражения для параметра Лоде — Надаи и октаэдрического нормального напря жения, находим:
|
|
„ |
— |
„ |
3 Ра _ |
|
|
|
|
||
|
|
4 l |
^окт |
|
g |
«шах» |
|
|
|
||
откуда, имея в виду, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
01 |
стз |
|
|
|
(<Г| —о3) т(ОКТ |
|
|
|
||
Тщах — |
|
|
Vo* + ol+oj—O |
|
|
|
0°1а33 — |
||||
|
|
|
|
j < r 2 |
— |
0 2 |
|||||
|
|
(«г, — а3) т,ОКТ |
|
|
|
|
Зт,ОКТ |
|
|||
|
О |
У3 (0!— 03) -ф- (2<г2— oi — (T3)a |
^ 2 ^ 3 + |
иа |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о. = |
о,ОКТ ’ |
Pff — |
3 |
|
|
|
(1V.3) |
||
|
|
|
|
lOKT* |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
V z V з + 4 |
|
|
|
|
||
Подставляя |
выражение |
(IV.3) |
в |
выражения |
для ттах и Оо*, |
||||||
и решая |
полученные уравнения |
относительно |
<г2 и Сз. получаем |
||||||||
|
|
сг2 = |
Оокт 4 “ |
/ 2 |
Ра |
^OKTJ |
|
|
|
(IV.За) |
|
|
|
^ з Т й |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ра + |
3 |
|
|
|
(IV.36) |
|
|
|
03 *= Оокт— 77=- |
|
—- ^окт* |
|
|
■р4
Из уравнения (IV.2) видно, что перспективные, по мнению многих авторов, энергетические теории прочности, интерпрети рующиеся в пространстве напряжений поверхностями вращения,
укладываются в известную гипотезу А. Надаи [183], так как урав нения, соответствующие этим теориям, являются функциями толь
ко |
нормальных или касательных октаэдрических напряжений и |
не |
учитывают *влияния вида девиатора напряжений. |
|
Такая концепция, основанная на широко используемой в тео |
риях пластичности гипотезе о подобии девиатора напряжений и деформаций, окончательно утвердилась в литературе после работ Ю. И. Ягна .[326], П. П. Баландина 19], М. М. Филоненко-Боро- дича [295] и др. [23, 177, 260, 333, 335, 349], хотя надежных опытных данных в подтверждение указанной гипотезы фактически не име ется.
Действительно, из пропорциональности девиаторов
|
01 — 00 |
£ > н = |
0 |
|
0 |
следует
0 |
0 |
|
|
81 — |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 Q о |
0 |
9 |
Д д = |
0 |
83 ' EQ |
0 |
0 |
СГ3— |
0 0 |
|
0 |
0 |
83 — 80 |
|
8р |
~— вр |
S3 ——вр |
|
|
|
01— 00 |
02 — 0о |
0з — 0о |
|
|
откуда
^2 ^1 |
02 |
01 . |
^2 — 83 |
02 — 03 |
|
ei — eg |
Gi — 03 |
’ |
Si — 83 |
Gj — G3 |
|
Складывая эти пропорции, |
получаем |
|
|||
2е2 |
8J — 83 |
—■0з |
|||
£1 —е>, |
~ |
ах —03 |
’ |
||
т. е. |
|
(Аа = |
|Ц- |
|
|
|
|
|
Геометрически это выражается подобием кругов деформаций и кругов напряжений на диаграмме Мора, а в координатах ре, Ро— прямой линией.
Опыты над сталью 1Х18Н9Т показали [142], что этот закон пластичности не выполняется. Систематическое отклонение экспе риментальных точек от прямой ре — Ра наблюдалось также Лоде, Дэвисом и другими исследователями [178, 183, 281, 308]. При этом было отмечено, что наблюдаемое отклонение тем больше, чем силь нее упрочнение материала в процессе деформирования. На целе сообразность учета параметра р0 при разработке критериев проч ности обращали внимание также авторы работ [279, 308, 329]. Все это дает основание прийти к выводу, что вид девиатора напря жений оказывает заметное влияние на сопротивление материалов деформированию, которое должно учитываться критериями проч ности.
Интересно отметить, что учет вида девиатора напряжений экви валентен предположению о том, что наступление предельного на-
пряженного состояния материала определяется не только окта эдрическим касательным напряжением, критическое значение ко торого в свою очередь зависит от уровня октаэдрического нормаль ного напряжения (шарового тензора), но и от ориентации окта-
|
Рис. 41. Напряжения на |
Рис. 42. Сечение предельной по |
|||
|
октаэдрической площад |
верхности |
девиаторной |
пло |
|
|
ке. |
|
скостью х= Ор_ |
||
|
|
|
|
V |
? |
эдрического нормального напряжения по отношению к направле |
|||||
ниям |
главных нормальных |
напряжений, т. е. зависит |
от |
угла у |
|
(рис. |
41). |
|
|
|
|
Из |
изложенного следует, |
что предельная |
поверхность |
механи |
ческого критерия прочности должна представлять собой равнона-
клоненную к главным осям пространственную фигуру, имеющую |
||
в сечении, перпендикулярном к ее оси, не окружность |
(поверхности |
|
вращения), а более сложную замкнутую |
кривую, |
инвариантную |
к направлениям ох, 02, <т3. |
изменим |
напряженное |
Для выяснения характера этой кривой |
состояние таким образом, чтобы параметр аокт (шаровой тензор) оставался постоянным, т. е. переход от одного напряженного со
стояния к другому осуществим за счет изменения |
компонент деви- |
|||||||||
атора |
напряжений. При |
этом |
параметр |
|
будем |
изменять так, |
||||
чтобы координата а монотонно возрастала. |
|
|
в пределах |
|||||||
Поскольку |
параметр |
Лоде — Надаи |
изменяется |
|||||||
— 1 < |
|Jtcr < + |
1 > то |
величина |
|
JJ, |
должна |
удовлетво- |
|||
а = arcctg —^ |
||||||||||
|
|
л* |
|
« |
V 3 |
|
|
|
тс |
|
рять |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
неравенству - у < а С у it. Введя новую координату а' |
= а —у» |
|||||||||
запишем последнее выражение |
соотношений (IV. 1) в виде |
|
||||||||
Углы |
а и а ' |
видны |
на |
рис. 42, где показан |
вид |
системы |
коорди |
|||
нат а1г 02, 0з и ху у, |
г, |
если |
смотреть со |
стороны |
оси |
Ох. |
При дальнейших рассуждениях будем исходить из того, что для пластичных материалов, не обладающих деформационным упроч нением, справедливо условие Мизеса — Генки. Предположим, что пластичный материал, для которого предельные напряжения при растяжении и сжатии равны, претерпевает такие изменения, что
о |
СУр |
в каждый новый момент времени отношение |
— уменьшается за |
ч |
Ос |
счет увеличения <тс. Тогда предельная поверхность будет, естествен но, расширяться в направлении лучей р0 = + 1 (рис. 42). При этом очевидно, что общей точкой конгруэнции линий пересечения пре дельной поверхности с девиаторной плоскостью будет точка, лещажая на лучах р0 = — 1, так как этот луч с точностью до шарового тензора соответствует одноосному растяжению, при котором пре дельные напряжения, как мы условились, оставались неизмен ными.
На участке, определяемом неравенством 0 < |
а' |
< ^ . которому |
1 |
г = |
Да') благодаря |
удовлетворяет величина а', кривая т0КТ = |
очевидной постепенности изменения предельной поверхности при постепенном изменении соотношений между компонентами девиатора напряжений должна быть плавной [9], а в соответствии с по стулатом Друккера [79] — в то же время выпуклой. Следовательно, по мере увеличения а' исследуемая кривая будет монотонно при
ближаться к окружности т0КТ = const и касаться ее при а = ^
Отсюда следует, что в направлении луча ра = — 1 на предельной кривой не может быть угловой точки.
Из требования симметричности предельной поверхности к глав-
я |
, |
< |
2 |
след этой по |
ным осям следует, что на участке ^ < а |
|
|
верхности должен быть зеркальным отображением следа на участке
зх
О < а' < g , а из требования инвариантности предельной поверх
ности для изотропных материалов к направлениям главных осей следует инвариантность кривой к направлениям аи а2, а3. На рис. 42 сплошными линиями показан след предельной поверхности на де виаторной плоскости для материала, по-разному сопротивляюще гося растяжению и сжатию. Из рисунка видно, что форма этого следа представляет собой криволинейный треугольник, инвари антный к направлениям главных осей. Штриховыми линиями пока заны след цилиндра Мизеса и треугольник, соответствующий теории максимальных нормальных напряжений.
Значительный интерес представляет также исследование харак тера изменения девиаторного сечения предельной поверхности с