§4 |
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ |
191 |
(Re z > 0, Im z > 0) на правую половину ОА\АчО' прямоуголь ника (рис. 6.15), при котором положительная часть мнимой оси плоскости z перешла в отрезок 00'. Тогда на основании прин ципа симметрии (см. с. 166) функция, являющаяся аналитиче ским продолжением fi(z) в область (Re z < 0, Im z > 0), осу ществляет конформное отображение данной области на левую часть исходного прямоугольника. При этом в вершины А\ и переходят соответственно симметричные точки действительной оси z. То же имеет место для вершин Ач и A 3. Поэтому можем установить следующее соответствие точек:
ai(z = |
1) |
Ai(w = |
о), |
|
( |
л\ |
A f |
\ |
( 6 . 7 3 ) |
a±{z = —1) -* Ацги = |
— а). |
|
Кроме того, очевидно, должно иметь место соответствие |
|
z = |
0 —>• w = 0. |
|
(6-74) |
Соотношения (6.73), (6.74) устанавливают соответствие трех граничных точек. Поэтому произвольно задать точку ач на дей ствительной оси z, переходящую в вершину Ач прямоугольни ка, уже нельзя. Положим, что в вершину Ач переходит точка ач
действительной оси z, имеющая координату р значение которой
будет определено в дальнейшем. Очевидно, 0 < к < 1 .
Итак, функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на заданный прямоугольник, может быть представлена в виде
|
|
|
|
‘ (с + |)5 |
‘ (С+1)*_Ч + |
|
|
|
z |
|
<K |
|
|
+ |
Ci |
|
|
+ Ci. (6.75) |
|
c f |
|
|
|
|
- |
V O - |
C2)(l - *2<2) |
|
|
|
ZQ |
|
|
|
|
Положив Z Q = 0 и использовав |
соотношение |
(6.74), получим |
|
Ci = 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
dC |
|
(6.76) |
|
o f |
V(1 - |
<2)(1 - |
*2C2) ’ |
|
- |
|
Остается определить постоянные С и А; из соответствия точек а\ и ач действительной оси z вершинам А\ и А4. Отметим, что ин теграл (6.76) не выражается в элементарных функциях. Это так
называемый эллиптический интеграл х) I рода}который обычно
192 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ГЛ. 6
обозначается
|
dC |
|
|
F[z,k) = J V ( i - C 2)(i-A;2C2) |
(6.77) |
|
|
|
О |
|
|
Условия (6.73) дают |
|
|
dC |
(6.78) |
|
л/(1-С 2)(1 -fc2C2) |
|
|
Интеграл, стоящий справа, так называемый полный эллиптиче
ский интеграл I рода
1
K(k) = f |
rfC |
(6.79) |
|
v ' d - ^ x i - ^ c 2) ’ |
|
является хорошо изученной и табулированной функцией. Соот
ветствие точек °2 |
( 2 “ |
** ^ ( ^ |
= |
а + ib) позволяет записать |
|
|
|
|
|
l/fc |
|
|
|
a+ ib = <7 |
|
|
<*С |
+ |
/У |
|
dC |
(6.80) |
V(1 —C2)(l —Ас2С2) |
V ( 1 - C 2)(1-A:2C2) |
откуда, учтя (6.78), получим |
|
|
|
|
|
|
|
1/к |
|
|
|
|
|
|
, |
c |
j |
<К |
|
|
= |
C F ( i f e ) , |
(6.81) |
|
|
|
|
|
V(C2 - l ) ( l - i 2C2) |
|
|
где через |
|
обозначен |
интеграл |
в формуле |
(6.81). Из |
(6.78) и (6.81) при заданных величинах о и Ь можем, решив трансцендентное уравнение
o F ( i k\ = b K ( k ) , |
(6.82) |
определить значения постоянных к и С. Тем самым функция (6.76) , осуществляющая конформное отображение верхней по луплоскости Im z > 0 на заданный прямоугольник плоскости w, полностью определена. С другой стороны, если в формуле (6.76) заданы величины & и <7, то эта функция осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на
w, (12 а \1
прямоугольник плоскости отношение сторон — которого
определяется формулой (6.82), а абсолютная величина сторон — постоянной С. Произвольно изменяя значение этих постоянных, можно получить конформное отображение верхней полуплоско сти Im z > 0 на любой прямоугольник плоскости w.
Г Л А В А 7
ПРИМ ЕНЕНИЕ АН АЛ И ТИ Ч ЕСК И Х ФУНКЦИЙ
К РЕШ ЕНИЮ КРАЕВЫ Х ЗАДАЧ
Методы теории функций комплексной переменной весьма широко и эффективно применяются для решения большого чис ла математических задач, возникающих в различных областях естествознания. В частности, применение аналитических функ ций дает во многих случаях достаточно простые способы реше ния краевых задач для уравнения Лапласа, к которым приво дятся различные задачи гидро- и аэродинамики, теории упруго сти, электростатики и т.д. Это определяется тесной связью, су ществующей между аналитическими функциями комплексной переменной и гармоническими функциями двух действительных переменных. В настоящей главе мы остановимся на некоторых общих вопросах применения аналитических функций к реше нию краевых задач для уравнения Лапласа и приведем ряд при меров решения физических и механических задач.
§1. Общие положения
1.Связь аналитических и гармонических функций.
Пусть в области Q комплексной плоскости z задана аналити ческая функция f(z) = и(х7у) 4- iv(x,y). Тогда всюду в этой
области функции и и v связаны условиями Коши-Римана:
du _ |
dv_ |
ди _ |
dv |
(7 1) |
дх |
ду1 |
ду |
дх’ |
' |
Так как аналитическая функция имеет в области Qпроизводные всех порядков, то и действительные функции и(х,у) и v(x,y) имеют в соответствующей области плоскости ху частные произ водные любого порядка. Это позволяет дифференцировать вы ражения (7.1) по переменным х, у любое число раз. Продиф ференцировав первое из равенств (7.1) по х, второе — по у и
7 А.Г. Свеш ников, А .Н . Тихонов
194 |
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
ГЛ. 7 |
сложив их, получим |
|
|
ох£ ау£ = 0, x,yeQ . |
(7.2) |
Аналогично продифференцировав первое из равенств (7.1) по у, второе — по х и вычтя одно из другого, получим
(7.3)
откуда следует, что функции и(х,у) и v(x, у) являются гармони ческими в данной области плоскости ху. Итак, действительная и мнимая части функции f(z), аналитической в области G, яв ляются гармоническими функциями в соответствующей области плоскости ху. При этом данные гармонические функции связа ны условиями (7.1). С другой стороны, если в области Qплоско сти ху заданы две гармонические функции w(rc, у) и v(x, у), удов
летворяющие в этой области условиям (7.1), то функция f(z) = = и(х, у) + iv(x, у) комплексной переменной z = x + iy является аналитической в соответствующей области плоскости z. Тем са мым необходимым и достаточным условием аналитичности функции f(z) = и(х,у) +iv(x,y) в области Q является тре бование, чтобы функции и(х,у) и v(x,y) были гармоническими и удовлетворяли условиям (7.1) в соответствующей области плоскости ху. В гл. 1 (см. с. 37) было показано, что заданием лишь одной действительной (или одной мнимой) части анали тической функции комплексной переменной последняя опреде ляется с точностью до постоянного слагаемого. Отсюда следу ет, что все аналитические функции комплексной переменной, для которых заданная гармоническая функция двух действи тельных переменных является действительной (или мнимой) ча стью, различаются только на аддитивную постоянную.
Установленная связь между аналитическими и гармониче скими функциями позволяет использовать для изучения раз личных свойств гармонических функций свойства аналитиче ских функций. Так, например, из формулы среднего значения аналитической функции (см. гл. 1 , с. 52) непосредственно полу чается формула среднего значения для гармонической функции
(7.4)
•О
где точка жо>2/о является центром круга CRQ радиуса RQ, цели ком лежащего в области гармоничности функции и(х,у).
2 . Сохранение оператора Л апласа при конф ормном отображении. Пусть в области Qплоскости ху задана гармо ническая функция и(х,у)-, т. е.
§1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 195
С помощью невырожденного преобразования независимых пе ременных
( = ((х,р), |
Ч= Ф ,у), |
(7.6) |
Ш ) ф0’ |
х' у е д ' |
(7-7) |
отобразим область Qплоскости ху на новую область Qплоскости £г). Заметим, что задание двух действительных функций (7 .6), двух действительных переменных я, у, эквивалентно заданию в области Q комплексной плоскости z одной функции £ = f(z) = = £(я, т/) + г‘77(я, У) комплексной переменной z — я + гу. При этом функция f(z) осуществляет отображение области Qкомп лексной плоскости z на область Q1 комплексной плоскости £. В силу условия (7.7) уравнения (7.6) однозначно разрешимы отно сительно старых переменных, и тем самым в области Q\ плоско сти £77 определена функция U(£, у) = м[я(£, ту), ?/(£, 77)]. Выясним, при каких условиях на преобразование (7.6) функция Н(£, 77) бу дет гармонической функцией переменных £, 77. Предполагая, что функции (7.6) дважды непрерывно дифференцируемы в области Q, выразим частные производные второго порядка от функции
|
и(х, у) |
по старым переменным через производные от функции |
|
Н(£, 77) по новым переменным: |
|
д2и |
! ^ г (6е)2 + 2 |
+ Щ^хх + ^Vxx, |
|
дх2 |
|
|
(7.8) |
|
д2и |
d2U |
|
d2U |
|
ду2 |
д£2 (ty) + 2d£fc,tyVy + |
Подставив эти выражения в (7.5), получим следующее уравне ние для функции £/(£,77):
! ^ г(£2 + Ф + 2 |
+ Ф + |
|
|
+ -^(^хх + £уу) + ~faj(r)xx %у) ^ |
(7-9) |
Для того чтобы это уравнение было уравнением Лапласа, долж ны выполняться следующие соотношения:
£хх "Ь £уу = 0? |
Ухх “Ь Ууу — 6? |
(7*10) |
€хУх + |
£yVy = |
0 |
(7.11) |
Й + £ у = ^ 2 + ^ |
0 . |
(7.12) |
Соотношения (7.10) означают, что функции £(я, у) и 77(я,у) должны быть гармоническими в области Q. Перепишем (7.11) в виде
196 |
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
ГЛ. 7 |
где д(ж, у) — некоторая, пока неизвестная функция. Тогда соот ношение (7.12) дает
й + & ,= |
+ ч1 ] = nl + nl Ф 0. |
Отсюда р2 (х,у) = 1 при ж, у Е G- Таким образом, неизвестная |
функция р(х,у) определена: р = |
± 1 . При р = 1 соотношения |
(7.13) дают |
|
|
£х = |
"Hyi |
= ~VXJ |
т.е. гармонические в области Q функции £ и Г} должны удовле творять в этой области условиям Коши-Римана. Это означа ет, что функция f(z) = £(ж, у) + гу(ж, у) должна быть аналити ческой функцией в области Q комплексной плоскости z. Заме тим, что из (7.7) и (7.12) следует, что отображение области Q на Q' должно быть взаимно однозначным, а производная функции f(z) должна удовлетворять условию f'{z) ф 0 всюду в области Q. Тем самым отображение области Q плоскости z на область G' плоскости £, осуществляемое функцией f(z), должно быть конформным.
При р = —1 соотношения (7.13) дают = ~ <Пу-> iy —Vx-
Как легко видеть, в этом случае функция f(z) = £(ж, у)—гг}(х, у) должна быть аналитической, а отображение, осуществляемое функцией f(z) = £(ж,у) 4- гу(ж,у), должно быть конформным отображением II рода.
Итак, мы получили окончательный ответ на вопрос, постав ленный в начале этого пункта. При отобраэюении области G плоскости z на области Q’ плоскости £, осуществляемом функ цией f(z) = £(ж,у) +ir]{x,y), уравнение Лапласа для функции и(х,у) перейдет в уравнение Лапласа для функции ?/(£, 77) = = и[х(£,г]),у(£,г))] лишь в том случае, если данное отображе ние является конформным отображением I или II рода. За метим, что при данных отображениях оператор Лапласа А ху
переходит в оператор \f(z)\2A ^ = — где г = ) -
обратная функция, осуществляющая конформное отображение области Q1 на область Q. Тем самым даже простейшее уравне ние эллиптического типа с постоянными коэффициентами А и +
+ си = |
0, с = const Ф 0, при конформном отображении перей |
дет, вообще говоря, в уравнение с переменным коэффициентом |
Д {,,£А + с И С )|2и = 0. |
3. |
Задача Д ирихле. Полученные в предыдущем пункте |
результаты позволяют применить метод конформных преобра зований к решению краевых задач для гармонических функций.
Рассмотрим основную идею этого метода на примере решения задачи Дирихле.
Пусть требуется найти функцию u(x,z), удовлетворяю щую уравнению Лапласа
Аи = О |
|
в области Q, непрерывную в замкнутой области Q = |
Q+ Г и |
принимающую заданные значения на границе Г: |
|
и(Р) |г = а(Р), |
(7.14) |
где а{Р) - заданная непрерывная функция точки Р контура Г.
Как известно1), решение этой задачи методом разделения пере менных может быть получено лишь для ограниченного класса областей Q с достаточно простой границей Г.
Метод конформных преобразований дает достаточно универ сальный алгоритм решения задачи Дирихле для плоских обла стей. Начнем с решения задачи Дирихле для круга радиуса а. Введем полярную систему координат г,(р с началом в центре круга. Тогда функция а(Р) будет функцией лишь переменной <р. Постараемся выразить значение неизвестной функции u(r,ip) в произвольной внутренней точке (го, <ро) круга через ее гранич ные значения а(ср). Для этого построим конформное отображе ние заданного круга на единичный круг |гу| < 1 плоскости гу, при котором точка го, (ро перейдет в центр w = 0. Решение этой задачи легко получить с помощью дробно-линейной функции, рассмотренной в гл. 6 (см. § 2). Отображающая функция имеет вид
w = / И = |
а |
= Xz - |
аTf V0, |
(7.15) |
|
z —— |
z ------e’V’o |
|
|
ZQ |
|
го |
|
где постоянная Л выбирается из условия, чтобы граничные точ ки z = аег(рзаданного круга перешли в граничные точки \w\ = 1 единичного круга плоскости ги; при этом |А| = a argA, опре
деляющий поворот круга |ги| 1 вокруг его центра w = 0, мо жет быть выбран произвольным. В результате произведенного преобразования искомая функция и(г,(р) перейдет в функцию U(pi'ip) = где р, ф — полярные координаты на плоскости w, связанные с координатами г, (р соотношением (7.15). При этом заданная граничная функция a(ip) перейдет в функцию А(ф) = а[у?(1 , ф)]. Так как функция Щр^ф) являет ся гармонической функцией своих переменных, то ее значение в центре круга может быть найдено по формуле среднего значе-
0 См. А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
198 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГЛ. 7
ния (7.4), откуда
27Г |
|
u(r0 ,<po) = и \ю=о = _27Г1_ J А(,ф)<1 'ф. |
(7.16) |
о |
|
Из (7.16) мы получим явное выражение решения задачи Дирихле для круга, если выразим функцию А(ф) через первоначально заданную функцию a(ip). Заметим, что для соответствия гра
ничных точек круга \z\ ^ а и круга |ш| < |
1 формула (7.15) дает |
|
_ а аё* —roetVO |
|
(7.17) |
|
С — |
|
|
s |
1 |
|
го |
|
|
а . |
|
|
|
ае1? ----- |
|
|
откуда |
|
|
|
го |
|
|
|
а |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
dip = |
|
|
—г0 |
|
dip. |
а2 + г о —2aro cos(y> — ipo) |
Поэтому, сделав в интеграле (7.16) замену переменной интегри рования ф = ф(<р), где связь переменных ф и ip определяется формулой (7.17), получим
27Г |
|
« ( г о , vo) = £ Jа2 + г § _ а21 г~ с1 ( у _ ы ° ( У ) Лр. |
( 7 . 1 8 ) |
О
Формула (7.18) и дает явное аналитическое выражение решения задачи Дирихле для круга радиуса а через функцию граничных условий a(ip). Эта формула, носящая название интеграла Пуас сона, может быть получена и рядом других способов, например методом разделения переменных или с помощью функции ис точника1).
Полученные результаты позволяют в принципе решить зада чу Дирихле для любой области Q, которую можно конформно отобразить на единичный круг |ги| ^ 1 плоскости w. Действи тельно, при конформном отображении уравнение Лапласа со храняется, а решение задачи Дирихле для круга нами получе но. Совершив в интеграле (7.18) или (7.16) замену переменной интегрирования, исходя из связи граничных точек области Q и единичной окружности \w\ = 1 при данном конформном отобра жении, мы и получим выражение решения задачи Дирихле во внутренних точках области через граничную функцию (7.14).
П р и м е р 1. Решение задачи Дирихле для полуплоско сти. Пусть требуется определить ограниченную на бесконечно сти функцию и(х,у), гармоническую в верхней полуплоскости
у > 0, непрерывную при у ^ 0 и принимающую значения: |
|
и (х70) = а(х) при у = 0. |
(7.19) |
Отобразим конформно верхнюю полуплоскость Im z > 0 на внутренность единичного круга |tu| < 1 так, чтобы заданная точка ZQ = XQ + гуо {уо > 0) перешла в центр w = 0 этого круга. Как легко видеть, это преобразование осуществляется дробно линейной функцией:
|
w = S(z) = z —Zо |
(7.20) |
При этом граничные точки связаны соотношением |
|
|
егу = fJLfO |
(7.21) |
|
X —ZQ |
А(ф) = |
и |
граничная функция а(х) переходит в функцию |
= |
а[х(ф)], где х(ф) определяется из соотношения (7.21). Заме |
тим, что соотношение (7.21) дает |
|
|
7----- % — ,dx. |
(7.22) |
|
{х - Х0)2 + Уо |
|
Значение искомой функции и(х, у) в точке хо, уо определяется интегралом (7.16). Произведя в нем замену переменной интегри рования по формулам (7.21), (7.22), получим
ОО |
|
«<*<>■ уо) = \ ] (х_ хУ^ + у1 Ф ) dx, |
(7.23) |
—ОО что и дает решение поставленной задачи. Формула (7.23), даю
щая решение задачи Дирихле для полуплоскости, носит также название интеграла Пуассона.
4. Построение ф ункции источника. Методы конформ ного отображения позволяют построить функцию источника первой краевой задачи для уравнения Лапласа в плоской обла сти (7, которую можно конформно отобразить на единичный круг |io| < 1 плоскости w. Как известно, функция источника G(MQ,M) данной задачи определяется следующими условиями:
1) |
A M G{M0,M) = 0 |
при U Ф Мо; |
(7.24) |
|
2) |
в окрестности точки Мо |
|
|
|
G(M0, М) = ±- In — |
+ «(М0, М ), |
(7.25) |
27Г T'MQM
где функция v(Mo, М ) является гармонической функцией точки
Мвсюду в области Q\ 3)
<3(М0,М ) | м € Г = 0, |
(7.26) |
где Г — граница области Q. Имеет место следующая теорема. |
Теорема 7 .1 . Если функция w = f(zo,z) |
осуществляет |
конформное отображение заданной области Q плоскости z на внутренность единичного круга |го| < 1 так, что точка Z Q G G
200 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГЛ. 7
переходит в центр w = 0 этого круга, то функция
является функцией источника первой краевой задачи для урав нения Лапласа в области Q. Здесь координаты точки М € Q суть х, у и z = х + гу.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства теоремы проверим, что функция, определенная формулой (7.27), удовле творяет условиям (7.24)-(7.2б). Функция f(z, ZQ), осуществляю щая данное конформное отображение, является аналитической функцией, причем f(z,zo) ф 0 при z ф ZQ. Отсюда следует, что и функция
In f{z, ZQ) = In If(z, z0)\+ i a.Tgf(z, ZQ)
является аналитической функцией всюду в области Q, за исклю чением точки ZQ. Так как действительная часть аналитической функции есть функция гармоническая, то условие (7.24) выпол нено. Поскольку f'(z,zo) ф 0 всюду в области Q, включая и точку z = ZQ, a f{z,zo) = 0, то точка ZQ является нулем первого порядка данной функции, т. е. в окрестности’ этой точки имеет место разложение
f(z,zo) = ( z - z 0)<p(z,zQ),
где tp(z,zo) — аналитическая в окрестности точки ZQ функция, причем IP\ZQ, ZQ) ф 0. Отсюда следует выполнение условия (7.25) для функции (7.27). Наконец, так как f{z,ZQ)\r = 1, то функция (7.27) удовлетворяет и условию (7.26). Теорема доказана.
Приведем пример применения доказанной теоремы.
П р и м е р 2. Построить функцию источника первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе —оо < т < о о , 0 < у < 7г.
Согласно только что доказанной теореме для решения задачи надо построить конформное отображение данной полосы плос кости z на внутренность единичного круга |w| < 1, при котором заданная точка ZQ переходила бы в центр круга w = 0. Как лег ко видеть, функция, осуществляющая требуемое отображение, имеет вид
/ Ы 2) = fn r p f - |
(7 -28) |
Поскольку имеет место соотношение
\ez —ez° \= {(ехcos у —еХоcosi/o)2 + (е1 sin у —еХоsinyo)2} 1^2 =
= exp |
) V2 {ch (х - х0) - cos (у - уо)}1/2, |
то после элементарных преобразований получим искомую функ цию в виде
G(M 0,M ) = i l n ^ |
J_ 1л ch (х - хо) - cos (у + Уо) |
(7 90ч |
|
47Г ch (х —хо) —cos (у - уо)' |
' |
* |