книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdfПТеРМПКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра динамика и прочности машин
А.А«П03ДЕЕВ, А «В«ШВЕЦОВ
Утверждено на заседании кафедры
26/I-I973 г!
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Часть I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД.
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Курс лекций для студентов специальности
"Динамика и прочность машин11
Пермь • 1974
Пособие по курсу теории упругости, предназначенное для сту дентов специальности "Динамика и прочность нашив» приборов и аппаратов", является переработанным курсом лекции, прочитанным авторами в Пермском политехническом институте. Пособие нонет быть полезно отудентам других специальностей, инженерно-техни ческим работникам, занимавшимся прикладными вопросами математичеокой теории упругости.
Курс лекций соотоит из двух частей. В I часть вопли основ ные уравнения механики сплошной среды и вариационные методы ре шения задач. Во П части излагаются задача Сеы-Венана и плоская задача теории упругости.
Авторы приносят искреннюю благодарность доценту кафедры ДЛИ ППИ,' канд. физ.-метем. наук А.А.Лежневой за просмотр рукопи си пособия и ряд замечаний.
§0.1» Механика деформируемого деда
иразличные ветви ее
Всвязи с бурным развитием общей механики от иее отпочковались дисциплины, имеющие отноиееие только к расчету сооружений и магя»; на прочность. Одна Н8 таких научных дисциплин - механика деформируемого тела. Рассмотрим комплекс диоциплив, являющихся ветвями механики деформируемого тела, и определим место тео рии упругости в этом комплексе.
1.Реология - наука о течении вещества. Изучает законы образования и развития во времени деформаций любого вещества (твердое, жидкое, упругое, пластичное, вязкое и т.д.) в различ ных термодинамических и физико-химических условиях (температур ные поля, статическое или динамическое приложение нагрузок, аг рессивные среды и т.д.). Из указанной формулировки следует, что решение некоторых задач оказывается весьма сложным. Поэтому в практических расчетах прибегают к идеализированным схемам нагру жений, сознательно отбрасывая второстепенные свойства тела и сохраняя основные. Такой подход вполне допустим ж часто исполь зуется в инженерной практике.
2.Теория упругости - ветвь механики деформируемого тела,
вкоторой твердое тело идеализируется и ему приписывается свойство идеальной упругости. Такая идеализация существенно облегчает расчеты: отпадают вопросы влияния наследственности, явлений ползучести, рехакоацин и т.д.
Всем твердым телам свойственна упругость. Тело называется упругим, если его конфигурация однозначно определяется дейст вующими на него силами. Если к упругому телу прикладываются на грузки в любой последовательности, а потом снимаютоя, тело каждый pas возвращается в'Походное состояние.
Наука, изучающая действие сил.на упругие тела и определяю щая возникающие при этом напряжения и деформации в состоянии
равновесия или в движении, называется теорией упругости.
- 4 -
Такие же задачи изучаются в сопротивлении материалов« иднако теория упругости отличается от сопромата прежде всего исход ными предпосылками, допущениями и методами решения задач. С точ ки зрения сопромата назначение теории упругости двоякое:
а) дать оценку точности решения задач, которые приближен но решены методами сопромата;
б) найти решения задач, которые не могут быть решены ме тодами сопромата.
Например, при изучении изгиба в сопромате вводится гипоте за Бернулли о том, что поперечные сеченин, бывшие плоскими до деформации, остаются плоскими после деформации. Нормальные на пряжения считаются изменяющимися по линейному закону. Эта >ч$ротеаа не нужна в теории упругости. Наоборот, методами теории упругости можно проверить правильность гипотезы Бернулли. Ока зывается, гипотеза приемлема только в тех случаях, когда размеры сечения балки налы по сравнению с пролетом. В балках-стенках напряжения при изгибе не меняются до линейному закону, решение такой задачи под силу только теории упругости.
Выводы теории упругости широко используются в различных областях .техники. В сейсмологии по результатам изучения рас пространения упругих волн в земной.коре вычисляются координаты очага землетрясения. Инженеры-строители используют методы теории упругости для расчета напряженно-деформированного состоя ния (НДС) строительных конструкций. Инженеры-механики занимают ся этими же вопросами в машиностроении. Физики широко использо вал! теорию упругости при разработке волновой теории свата. Наконец, решение многих задач газодииамики, гидро- в аэродина мики, не имеющих прямого отношения к расчетам на прочность, сво дится к ра.«смотрению уравнений, близких к уравнениям теории упругости-иди общих сними.
Теория упругости делится на линейную и нелинейную, £ линейвой теории упругости диаграммы растяжения - сжатия в координатах
3 = f( < * ) представляются |
наклонной прямой линией, выходящей из |
||||||
начала координат. Эху |
зависимость между в- и |
<5 можно |
записать |
||||
так: <f= <о/£ ; она выражает закон Гука. Для |
стали, |
например, |
|||||
£ |
2«10б кг/см2; £ ) |
при которой сохраняется линейная зави |
|||||
симость, равна 0,IfI5&. Если тело не подчиняется закону Гука и |
|||||||
диаграмма растяжения |
его является |
кривой линией, |
а процесс раз |
||||
грузки |
происходит по |
той же кржвой |
М приходит в |
начало координат, |
- 5 -
to такое тело будет‘’нелинейно-упругий. Теория, устанавливающая законы обраеования деформаций в такой теле, называется нелиней ной теорией упругости.
3. Теория пластичности. Для многих материалов снятию нагрузки соответствует "прямая разгрузка", в результате чего те ло не приходит в исходное положение: имеют место остаточные пластические деформации.
Наука, устанавливающая общие законы образования пластичес ких деформаций и возникновения напряжений на всех стадиях плас тического деформирования, называется теорией пластичности. Она тесно связана с нелинейной теорией упругости.
4,. Теория ползучести. В теории упругости принимается, что если не изменяются нагрузка и температура, то не изменяется и НДС тала. При деформировании большинства полимерных конструкций и мегвдляческих деталей в условиях высоких температур может происхо дить изменение го времени-НДС тела. Одна сторона этого явления — изменение деформаций при постоянной нагрузке, называется ползу честью, другая - изменение напряжений при постоянной деформации — релаксацией. Ветвь механики деформируемого тела, изучающая обе стороны, объединяемые обычно термином "ползучесть", называется теорией ползучести. В последнее время интерес к теории ползучести заметно возрос из-за внедрения в промышленность бодьпого числа деталей из полимеров.
§ 0.2. Основные гипотезы теории упругости
Теория упругости, |
отличаясь от |
сопромата большей строгостью в |
решении задач, вынуждена также |
прибегать к ряду гипотез. |
|
1. Гипотеза |
о сплошности строения упругого тела. Тело, |
непрерывное до деформации, остается непрерывным после деформа ции; деформации и перемещения точек тела очитаются непрерывными функциями координат. Молекулярным строением тела при решении практических задач можно пренебречь.
2. Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии тела. Начальные напряжения в теле, существуете до приложения поверх ностных нагрузок, счжтаются равными нулю. Характер и величина этих напряжений зависят от истории возникновения тела.
-б -
Очевидно, что игнорирование в технических расчетах началь ных напряжений и предположение об идеальной сплошности компен сируютсятек, что установление механических характеристик мате риала / &в и т.д.) производится экспериментально также без учета неравномерности заполнения веществом всего геометри ческого объема испытуемого образца и без учета начальных на пряжений.
3. Гипотеза об идеальной упругости шаровой изотропии, со вещенной однородности механических свойств и линейной зависи мости между деформациями и напряжениями. Для микрообъема стали и для технических сплавов упругие свойства, конечно, не одинако
вы в разных направлениях. Однако беспорядочное расположение крис таллов в микросбъеме создает квазиизотропию материала; поэтому применительно к макрообъему материал во всех направлениях обла дает одинаковыми свойствами.
4. Гипотеза автономной прочности. На прочность материала в данной точке влияет не градиент напряжений, а лишь напряжение в этой точке.
Кроме этих гипотез, в теории упругости применяется принцип локальности эффекта самоуравновешенных внешних нагрузок (прин цип Сен-Венана). Согласно этому принципу, если в какой-либо ма лой части тела приложена уравновешенная оистема сил, то она вызовет в теле напряжения, очень.быстро убывающие по мере удале-- ния от этой части.
Наконец, в классической теории упругости (линейная теория упругости для изотропного тела) принимается следующее:
а) перемещения тела малы по сравнению с линейными раз мерами тела;
б) относительные деформации и относительные сдвиги пре небрежимо малы по сравнению с единицей;
в) углы поворота (девиации) малы по сравнению с едини цей, а квадраты углов поворота правебрежиыо малы по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами.
§ QJ.T 9. РД9.ШН, ТДОДИ ■1ПРУ.Г9СТР
Изложение теории упругости в учебниках, методически продуманное и стройное, на всегда дает возможность почувствовать,- сколько
- 7 -
труда было затрачено поколениями учёных, чтобы дойти до совре- - менных удобных и надежных методов расчета деталей и сооружений на прочность, сколько на этом пути пришлось преодолеть ошибок и заблуждений. Однако инженеру-исоледователю полезно знать об истории многолетних исканий, плодом которых явилась, знакомая
расчетная формула. Это знакомство не только полезно, но и необ ходимо для сознательного применения методов теории упругости. Без знания истории развития науки о прочности нельзя оценить современное состояние теории упругости. Это знание, обязатель но, если мы хотим избежать повторения-старых ошибок, которые в былое время тормозили научный прогресс. Так, например, амери канские инженеры, заинтересовавшись преимуществами в расчете
статически-определимых ферм, встали во второй половине XIX ве ка на своеобразный и глубоко неверный путь приближения конст рукции ферм к их расчетной схеме и заменили жесткие узлы (свар ка, клепка) болтовыми соединениями. Разумеется, такие фермы обладали пониженной жесткостью и работали неудовлетворительно, поскольку их узлы постоянно расстраивались и требовали непре рывного наблюдения и ухода, но тем не менее они применялись в США очень упорно. В.истории науки о прочности ато один на наи более ярких, но немногих примеров неправильного понимания взаим ной связи между конструкцией и расчетной охемой.
При изучении истории-известный интерес могут представлять методы, в свое время отброшенные, так как в них обнаруживаются интересные подходы, приемы, которые 'можно с успехом применять в наше время, на изменившемся уровне развития науки. Так профес сор Бернштейн С.А. более 20 дет назад, приступив к изучению исследований по строительной механике, выполненных учеными ХУП-ХУШ веков, с удивлением обнаружил, что их методы расчета,
забракованные в XIX веке, имеют неожиданное сходство с некоторы ми новейшими современными методами, основанными на учете плас тических деформаций. Это было теы более неожиданно, что в ту далекую эпоху ученые не только не имелн понятия о пластических деформациях, но и свойство упругости еще не умели использовать при расчетах на прочность. И несмотря на это, те методы, кото рые наука выдвинула за последнее десятилетие как принципиальное новшеохво, оказалноь в известном смысле воокреоними давно за бытыми методами ХУШ века.
,В настоящем методическом руководстве из-за ограниченности объема не рассматриваются этапы развития учения о прочности, не освещается роль различных ученых, внесших вклады в науку о проч ности. Подробно ознакомиться с этими вопросами можно прочитав написанные для широкого круга читателей книги С.А.Бернштейыа
[Ъ] и С.П.Тимошенко (M-J .
ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1.1» Скаляр, вектор, тензор
Аппарат тензорного анализа является естественный в механике сплошной среды и, в частности, в теории упругости. В большин стве случаев задачи теории упругости решается в ортогональных декартовых координатах; при рассмотрении некоторых аадач ока зываются более удобными криволинейные координаты. Однако поч ти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах - цилиндрической или сферической для пространственных задач, криволинейной ортогональной сетке, порождаемой конформ*
ыыы отображением, для плоских задач.
Факт однородности и изотропности пространства приводит к требование независимости физических величин от частного выбора системы координат. Эта независимость может быть обеспечена определенным-законом преобразования чисел или функций, описы вающих физическую величину. Зак<№ каждый раз должен отражать свойства данной физической величины. Различие в законах преоб разования компонент величин приводят к понятие тензоров различ ных рангов.
Простейшим объектом является скаляр - физическая величи на, задаваемая ее численным значением, однмм ■ тем же во всех системах отсчета. К скалярным величинам относятся плотность, температура, кинетическая энергия.
Следующий по сложности объект - вектор. Это физическая величина, которой помимо ее численного значения приписывается некоторое направление. Таковы скорость, ускорение, сила. Для обозначения вектора используется или жирный шрифт и обычно отрбчные буквы латинского алфавита, или простой нрифт и строч ные буквы со стрелкой (чертой) над ники.
Рассмотрим правило преобразования проекций вектора при преобразовании (повороте) ортогональной декартовой системы
10
координат. При пользовании декартовыми ортогрнальными координа тами исчезает разница между ковариантными и контраваризнтными
величинами, |
поэтому |
будем пользоваться>преимущественйс |
ш н ш н |
||||
индексами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть 0 X, A2XJ |
- исходная система осей А |
; 0 х ' х г‘ |
х'3 - полу |
|||
чающаяся из |
нее преобразованием |
поворота система л" . Через |
|||||
с'$ |
и с'л обозначим единичные векторы, |
задающие направление но |
|||||
вой оси Эх3 |
и старой Ох^ ; через |
=//•£- |
косинус угла меж |
||||
ду этими осями. Тогда вектор d |
может быть задан его проекция |
||||||
ми |
CL6' и а к на оси новой и старой систем: |
|
|
;i.i)
Повторяющийся индекс называется пнемыми и знак суммирован:;;; по нему опускается, если противное но оговорено» "Немой" индекс, не изменяя смысла форыул, ыржно менять. Наприиер, 4
a 63 ~ а . б г г о £>, >■ |
, |
и девять - во второй: |
|
Неповторяющмесн индексы называются свободными, им поочеред но припнсываютоя значения 1,2,3. Свободные индексы в обеих час тях равенства должны иметь одинаковые наименования. Например, запись^=<?л представляет три равенства, %t '-cmnr(6
вять равенств и девять слагаемых в правой части каждого;
S/л?