книги / Теория функций комплексной переменной
..pdf§2 |
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ |
111 |
уже невозможно. Точка z — 1, являющаяся границей области аналитичности функции F(z), представляет собой в определен ном смысле особую точку этой функции. Поведение аналити ческой функции в окрестности таких точек заслуживает более подробного изучения, что и будет проведено в дальнейшем.
5. Правильные и особые точки аналитической функ ции. Пусть функция f(z) задана в области Q, ограниченной
контуром Г. Точка ZQ £ Q называется правильной точкой функции /(-г), если существует сходящийся степенной ряд
ОО
cn{z~zо)п, который в общей части области Qи своего круга
71=0
сходимости \z —zo\ < P {ZQ) сходится к функции f{z). На значе ние числа p(zo) накладывается единственное ограничение: p(zo)
строго больше нуля. Точки z 6 £?, не являющиеся правильными точками функции /(г), называются ее особыми точками. Ясно,
что если f(z) — аналитическая в области Q, то все внутренние точки этой области суть правильные точки функции f(z). Точки границы Г могут быть как правильными, так и особыми точками аналитической функции f(z). Очевидно, что все точки границы Г, лежащие внутри круга \z —ZQ\ < p(zo) с центром в некоторой
правильной точке ZQ € также являются правильными точка ми функции f(z). Так, в рассмотренном выше примере все точки границы \z\ = 1 области первоначального определения функции
ОО
fi(z) = z11, за исключением точки z = 1, являются правиль-
71=0
ными точками. Единственной особой точкой этой функции мо жет быть лишь точка z = 1. Она же является и особой точкой
функции F(z) — — , аналитического продолжения функции
JL Z
fi (z) на расширенную область. Аналогично точки z = 0, оо яв ляются особыми точками функций y/z и Lnz, рассмотренных в п. 3.
Пусть аналитическая функция f\{z) первоначально задана
вобласти Qi, и пусть все точки связного участка Г7 границы
Гэтой области являются правильными точками функции f\(z).
Тогда из проведенных выше рассмотрении следует, что функ ция fi(z) может быть аналитически продолжена через Г' на
бблыпую область. Может оказаться, что все точки границы Г области Q\ первоначального задания аналитической функции f(z) являются правильными. В этом случае функцию f(z) бу
дем называть аналитической в замкнутой области Qi. Из пре дыдущих рассмотрений следует, что функцию, аналитическую
в замкнутой области Qi, MOOICHO аналитически продолжить на большую область Q, содержащую область Q\.
112 |
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ |
ГЛ. 3 |
Аналитическое продолжение через участок границы, содер жащий лишь особые точки функции fi(z), очевидно, невозможно.
Приведем пример аналитической функции, заданной в ограниченной области, которую невозможно продолжить на бблыную область.
П р и м е р 4. Рассмотрим аналитическую функцию f(z), заданную степенным рядом
ОО
(з-7 1)
п=0
Как легко определить с помощью простейших признаков, ряд (3.71) сходится внутри круга \z\ < 1. При действительном
ОО
х —>1 сумма х2Пнеограниченно возрастает, тем самым точка
71=0
z —1 является особой точкой f(z). Покажем, что и точки Zk>m=
= exp J гДе m = 1 , 2 , 3 , .. . , 2*, а к — любое натуральное
число, являются особыми точками функции f(z). Для этого рас
смотрим точку Zk,m = Р ехр |
(0 < р < 1) и представим |
|
значение функции f(z) в этой точке в виде |
|
|
f(h,m) = |
C m + 5 Z Cm - |
(3 -72) |
n=0 |
п —к |
|
Первое слагаемое в (3.72), являющееся суммой конечного числа слагаемых, по абсолютной величине ограничено, а второе, в силу выбора точки 5*>т, может быть преобразовано к виду
ОООО
Х ) С т |
= Х У ” - |
(3.73) |
п —к |
п = к |
|
При р —У1 сумма выражения, стоящего справа в (3.73), неогра ниченно возрастает. Это и доказывает, что точки ^,тп являются
особыми точками функции f(z). Но при к —> оо эти точки всюду
плотно1) расположены на окружности \z\ = 1. Отсюда следует, что функция (3.71) действительно непродолжима ни через ка кую дугу этой окружности.
Строя аналитическое продолжение функции F(z) = ------ с
J. —* Z
помощью степенных рядов, мы видели, что граница круга схо димости каждого ее элемента fk{z) проходит через точку z = 1,
1) То есть в любой е-окрестности каждой точки окружности \z\ = 1 най дутся точки последовательности {zk,m}-
§2 |
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ |
113 |
особую точку этой функции. Тем самым на границе круга схо димости любого из построенных степенных рядов лежит особая точка аналитической функции, к которой этот ряд сходится. Это свойство является общим следствием следующей теоремы.
Теорема 3.3. На границе круга сходимости степенного ря да лежит хотя бы одна особая точка аналитической функции F(z), к которой сходится данный ряд.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что все точки
оо
окружности Со круга Ко сходимости ряда f{z)= X Cn{z —zo)n n=О
являются правильными, т. е. для любой точки г 6 Со существу ет такое p(z) > 0, что в общей части круга KQ и своего круга
ОО
сходимости \Z —Z \ < p(z) соответствующий ряд X cn(z)(z —z)n n=О
сходится к f(z). Пусть радиус круга KQесть RQ.
Рассмотрим функцию p(z), определенную на окружности СоПокажем, что для любых двух точек z\ и z2 на окружности Со
выполнено условие |
|
\p(zi) - p(z2)| < \zi - z21. |
(3.74) |
Действительно, предположим, что это условие не выполнено, на
пример, |
\p{z2) —p{z\)\ = |
\z\ —z2\+ |
6, где S > 0. Тогда круг |
|
\z — z\\ |
< p(zi) |
сходимости |
|
|
ОО |
- zi)n |
= |
|
|
ряда X) Cn{zi)(z |
|
|||
n—О |
|
|
|
|
= fi(z) |
лежит внутри круга |
|
||
\z—z2\ < p{z2) сходимости ря- |
|
|||
оо |
|
|
|
|
да X) Cn(z2)(z - z2)n = f2 (z) |
|
|||
n—О |
|
|
|
|
(рис. 3.11). В общей части |
|
|||
этих кругов и круга Ко оба |
|
|||
ряда сходятся к одной и той |
|
|||
же функции f(z). Следова |
|
|||
тельно, функция f2 (z) явля |
Рис. 3.11 |
|||
ется аналитическим продол |
|
жением функции fi(z). Это означает, что в круге \z —z\\ <
< p{z\) + 6 определена аналитическая функция f2 (z), совпада ющая с fi(z) в круге \z —z\\ < p(z\)- В силу теоремы Тейлора
ОО
отсюда следует, что радиус сходимости ряда X Cn(^i)(^ - £i)n n—0
не меньше чем p{z\) + 5, что противоречит исходным данным. Итак, условие (3.74) установлено.
114 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ГЛ. 3
Из этого условия следует равномерная непрерывность функ ции p(z) на кривой CQ. Действительно, соотношение \p(z{) —
—/9(22)1 < £ выполняется для любого наперед заданного е > О, если только выполнено условие \z\ — 221 < £• Так как функция p(z) > 0, то она ограничена снизу и в силу непрерывности дости гает на Со своей точной нижней грани*) p(z) ^ P (ZQ) = ро > 0. Последнее неравенство имеет место, потому что для всех z € Со выполняется строгое неравенство p(z) > 0.
В силу единственности аналитического продолжения можно утверждать, что в круге \z —201 < RQ + ро определена одно значная аналитическая функция F(z), совпадающая с функци ей f(z) в круге \z —2о| < R0. Следовательно, радиус сходимости
ОО
исходного степенного ряда Cn(z —zo)n должен быть Ro + ро,
п=0
ане Ro. Но это противоречит условию теоремы. Итак, предпо
ложение, что все точки границы круга сходимости правильные, приводит к противоречию. Теорема доказана.
Из теоремы 3.3 следует, что радиус круга сходимости сте пенного ряда определяется расстоянием от центра сходимо сти до ближайшей особой точки той аналитической функции,
ккоторой сходится данный ряд.
6.Понятие полной аналитической функции. Преды
дущие рассмотрения позволили построить аналитическое про должение функции / 1 (2), заданной в области C/i, на большую
область Q = Q\ + Q2 или соответствующую риманову поверх ность. Как мы видели, можно рассматривать аналитическое продолжение вдоль цепочки областей Qi, Q2 ,. . •, Qn, имеющих общие части £/^+ 1, в которых совпадают аналитические функ
ции fi(z), / 2(2),..., fn(z), заданные в областях £ 1 , ^ 2,- - - > Qn• При этом мы получим в области Q = Q\+ Qi Л------ 1- Qn или на
соответствующей римановой поверхности R однозначную ана литическую функцию F(z), являющуюся аналитическим про должением функции
Если аналитическая функция / 1 (2) первоначально задана в области £/i, то, строя различные цепочки областей, выходящие из области Qi, мы можем получить аналитическое продолжение функции / 1 (2) на различные области, содержащие область Q\. При этом существенным является понятие полной аналитиче ской функции.
Функция F(z), полученная путем аналитического продол жения вдоль всевозможных цепочек областей, выходящих из
*) См. вып. 1.
§2 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 115
области Gi первоначального задания аналитической функции fi(z), называется полной аналитической функцией. Ее область определения R называется естественной областью существо вания полной аналитической функции.
Согласно только что проведенным рассмотрениям естествен ная область существования R полной аналитической функции F(z) может быть римаиовой поверхностью. Отметим, что ана литическое продолжение функции F(z) за границу Г ее есте ственной области существования R уже невозможно. При этом все точки этой границы являются особыми точками функции F(z). Это легко доказать. Предположим, что точка ZQ Е Г яв ляется правильной точкой функции F(z). В таком случае, по определению правильной точки, внутри круга \z —zo\ < p(zo) существует некоторая аналитическая функция Ф(.г), совпадаю щая с F(z) в общей части данного круга и области Q. Но круг \z —ZQ\ < P (ZQ) заведомо выходит из области G, поэтому Ф(г) является аналитическим продолжением полной аналитической функции через границу ее естественной области существования, что невозможно.
В рассмотренных в предыдущих пунктах примерах мы по строили ряд полных аналитических функций и их естествен ные области существования. Так, естественными областями су ществования полных аналитических функций \fz и Ln z явля ются соответственно n-листная и бесконечнолистная римановы поверхности; естественной областью существования полной ана
1 литической функции ----------полная комплексная плоскость с
1 —2
выброшенной точкой z = 1 ; естественной областью существова ния функции (3.71), рассмотренной в примере 4, — единичный круг \z\<l.
При этом в последнем примере область G\ первоначального задания аналитической функции f\{z) такова, что невозмож но аналитическое продолжение функции fi{z) за границу Гх области Q\. Это и означает, что fi{z) — полная аналитическая функция и Gi — ее естественная область существования. Ес ли же область Gi такова, что возможно аналитическое продол жение fi(z) на большую область, то функцию fi(z) называют
элементом полной аналитической функции F(z). Аналитиче ское продолжение /2(2) функции f\(z), заданной в области G\,
на область G2, имеющую с Gi общую часть Gn, будем назы вать непосредственным аналитическим продолжением функ ции fi(z).
Г Л А В А 4
Р Я Д Л О Р А Н А И И З О Л И Р О В А Н Н Ы Е О С О Б Ы Е
ТО Ч К И
Вэтой главе будет изучено поведение однозначной анали тической функции в окрестности ее изолированных особых то чек. Знание этого поведения не только позволяет глубже про никнуть в природу аналитических функций, но и находит пря мое практическое применение в многочисленных приложениях теории функций комплексной переменной.
Впредыдущих главах мы видели, какую большую роль игра ют степенные ряды и, в частности, ряд Тейлора в изучении свойств аналитических функций в области, где отсутствуют осо бые точки исследуемых функций. Аналогичную роль при изу чении свойств аналитических функций в окрестности их изоли рованных особых точек играет ряд Лорана.
§ 1. Р я д Лорана
1. Область сходимости ряда Лорана. Рассмотрим ряд вида
ОО
(4.1)
71= —ОО
где ZQ — фиксированная точка комплексной плоскости, Сп — некоторые комплексные числа, а суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным значениям индекса п. Ряд (4.1) носит название ряда Лорана. Установим область схо димости этого ряда. Для этого представим выражение (4.1) в виде
ОО |
ОО |
ОО |
(4.2)
§ 1 РЯД ЛОРАНА 117
Очевидно, областью сходимости ряда (4.1) является общая часть областей сходимости каждого из слагаемых правой части (4.2).
|
ОО |
Областью сходимости ряда |
cniz ~ zo)n является круг с цен- |
|
71=0 |
тром в точке zo некоторого радиуса R\ (как было установлено в гл. 2, значение R\ может, в частности, равняться нулю или бесконечности). Внутри круга сходимости этот ряд сходится к некоторой аналитической функции комплексной переменной
ОО
fi(z) = ^ 2 cn(z - zo)ni |
\z-z0\<Ri. |
(4.3) |
||
n=0 |
|
оо |
с_ |
|
|
|
сделаем |
||
Для определения области сходимости ряда |
~ z°)n |
|||
|
г |
Ti=i |
|
|
замену переменной, положив £ = |
------ . Тогда этот ряд примет |
|||
оо |
z -z 0 |
|
|
вид с-пСп. То есть он представляет собой обычный степенной
71=1
ряд, сходящийся внутри своего круга сходимости к некоторой аналитической функции </?(£) комплексной переменной £. Обо значим радиус сходимости полученного степенного ряда через
4-* Тогда
2 ОО
<р(С) = £с-»С ", |
ICI<i- |
(4.4) |
71=1 |
|
|
Возвращаясь к старой переменной и полагая <р(С(г)) = /2(2), |
||
получим |
|
|
ОО |
|
|
М г) = £ ( Т Г ^ р |
|г - z0| > Л2. |
(4.5) |
71=1 |
|
оо |
|
|
|
Отсюда следует, что областью сходимости ряда |
т— “!Чг п0 |
|
отрицательным степеням разности |
71=1 \2 ~ 20) |
|
(z — ZQ) является область, |
||
внешняя к окружности \z —zo\ —R2 |
(так же как и Ri, значение |
|
R2 может, в частности, равняться нулю или бесконечности). |
Итак, каждый из степенных рядов правой части (4.2) схо дится в своей области сходимости к соответствующей аналити ческой функции. Если R2 < Ri, то существует общая область
сходимости этих рядов - |
круговое кольцо R2 |
<\z —zo\ < i£i, в |
котором ряд (4.1) сходится к аналитической функции |
||
|
ОО |
|
/ М = /1W + /2(2) = |
53 ^ ~ *о)п» |
< \ z - ZQ\ < Ri. |
71= — 0 0 |
|
(4.6)
118 |
РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ |
ГЛ. 4 |
Так как ряды (4.3) и (4.4) являются обычными степенными ря дами, то в указанной области функция f(z) обладает всеми свой ствами суммы степенного ряда. Это означает, что ряд Лорана
(4.1) сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции f{z), аналитической в данном кольце.
Если # 2 > JRI , то ряды (4.3) и (4.5) общей области сходи мости не имеют. Тем самым в этом случае ряд (4.1) нигде не сходится к какой-либо функции.
2. Разложение аналитической функции в ряд Лора на. Теперь естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической в некотором круговом кольце, сопоста вить ряд Лорана, сходящий ся к этой функции в данном кольце? Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема.
Теорема 4 .1. Функция f(z), аналитическая в круго вом кольце В.2 < \Z - ZQI < < i?i, однозначно предста вляется в этом кольце схо дящимся рядом Лорана.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
|
Фиксируем |
произвольную |
||
|
точку z внутри кольца # 2 < |
|||
|
< \z — zo\ < |
Ri |
и построим |
|
Рис. 4.1 |
окружности £7# |
и Сл' с цен |
||
трами в zo, радиусы которых |
||||
|
удовлетворяют условиям R2 < R'2 < R{ < R\, Щ < \z— ZQ\ < R[
(рис. 4.1). Согласно формуле Коши для многосвязной области имеет место соотношение
(4.7)
На Сд/ |
выполняется неравенство |
Z — Zo |
< |
q < 1. |
Поэтому, |
||
|
|
|
С-Zo |
|
|
|
|
представив дробь — |
в виде |
|
|
|
|
|
|
1 _ |
_______1_______ |
_ 1 |
1 |
_ |
оо |
( z - |
^ |
1 |
Z(An |
||||||
z |
(С - Zo) - (z - Zo) |
C~Zo |
z —ZQ |
|
£ - ZQ2-*/ |
- |
ZoJ |
|
|
|
C z0 |
|
n=0 |
|
|
и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу рав номерной сходимости ряда по переменной £ (подробнее см. гл. 2),
§1 РЯД ЛОРАНА 119
получим
h{-) =h |
Г |
( i f |
; |
оо |
£ |
> ( |
* - * o8)n , |
|||
/ |
|
<*< = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п=О |
|
|
(4. |
|
|
г? |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп |
= J _ |
[ |
|
Д О |
|
с/£, |
п ^ |
0. |
(4.9) |
|
|
27и |
J |
(С “ 2o)n+l |
|
|
|
|
|||
Так как на C R'2 выполняется неравенство IС —-г0 |
< 1, то ана- |
|||||||||
логично предыдущему имеем |
оо |
|
2 |
20 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
J _ |
= |
___ 1 |
у * (<-*>)” |
|
|
||||
|
— Z |
|
Z — ZQ |
\ Z — ZQ ) |
|
|
||||
В результате почленного интегрирования этого ряда получим |
||||||||||
|
|
|
|
г |
|
|
00 |
|
|
|
'* < * > |
= |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
<4 Л ° ) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C- " |
= |
~ 2 S |
I |
Ж |
Ж |
- о Г Ч |
- |
(4.11) |
Изменив направление интегрирования в (4.11), перепишем это выражение в виде
п > 0 - |
(4 1 2 ) |
Сnt
R2
Заметим, что подынтегральные функции в (4.9) и (4.12) являют
ся аналитическими в круговом кольце R2 < \z—zo\ < Ri- Поэто му в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегри рования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет объединить формулы (4.9) и (4.12):
" = 0 ,± 1 ,± 2 , ... , |
(4.13) |
С
где С — произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R2 < \z — ZQ\ < R\ и содержащий точку zo внутри. Возвратив шись к формуле (4.7), получим
оо |
оо |
оо |
/(г) = 5 3 ‘**(г |
- *»)" + 5 3 ( 7 Г ^ Г = |
5 3 <=«(*-*»)“ > (4.14) |
п—О |
п=1 |
п=—оо |
120 |
РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ |
ГЛ. 4 |
где коэффициенты Сд для всех значений индекса п определяют ся единообразной формулой (4.13). Так как z — произвольная точка внутри кольца R2 < \z —Z Q \ < RI , то отсюда следует, что
ряд (4.14) сходится к функции f(z) всюду внутри данного коль
ца, причем в замкнутом кольце i?2 < R2 ^ \z—zo\ ^ R I < RI ряд сходится к функции f(z) равномерно. Остается доказать един
ственность разложения (4.14). Предположим, что имеет место другое разложение:
ОО
/ ю = Е c«(z - *о)п,
п = —ОО
где хотя бы один коэффициент с'п ф с„. Тогда всюду внутри кольца R2 <\z —z0\ < R\ имеет место равенство
ОО |
ОО |
|
Cn{z - zo)n = |
c'n( z - z 0)n. |
(4.15) |
n= —00 |
n= —00 |
|
Проведем окружность C R радиуса JR , точке zo. Ряды (4.15) сходятся на C R
на (z —zo)~m~1,
R2 < R < R i, с центром в равномерно. Умножим их
тегрируем почленно. Рассмотрим f {z —z^)n~m~l dz. Положив
z —ZQ = Relip, получим |
CR |
|
|
||
|
27Г |
|
0, |
n / m , |
|
f |
( z - zo) " - " 1' 1 dz = R"~mi f |
dip = |
|||
2 TTi, |
n —m. |
||||
C R |
0 |
|
|||
|
|
|
Учтя (4.16), найдем, что после указанного интегрирования вы ражения (4.15) отличными от нуля окажутся лишь по одному слагаемому из бесконечных сумм в левой и правой частях этого выражения. Отсюда получим: Сщ = с'т. Так как га — произ вольное число, то это и доказывает единственность разложения (4.14). Теорема полностью доказана.
Из полученных результатов следует, что точной областью сходимости ряда Лорана (4.1) является круговое кольцо R2 < < \z —ZQ\< Ri, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции f(z), к которой сходится ряд (4.1). Последнее утверждение является следствием теоре мы 3.3.
§ 2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции
Точка zo называется изолированной особой точкой функ ции f(z), если f(z) — однозначная и аналитическая в круговом