книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf2) T + 14 ~ ^ = - h 5 x + 2z + 5 = 0,
3) ^ - Ç + ^ = l ,3 x - 1 2 y - 4 Z + 54 = 0.
5.5.32.Доказать, что плоскость 4я —5у —10z — 20 = 0 пересекает од-
2 2 2
нополостный гиперболоид + —^- = 1 по прямолинейным
образующим. Составить уравнения этих образующих.
5.5.33.Доказать, что плоскость 2х — 12у — z + 16 = 0 пересекает ги перболический параболоид 2z = х2 — 4у2 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямых.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Начало отрезка АВ находится в точке А(2; - 3 ; 4). Точка М (-1 ; 2; 5) отсекает от него четвертую часть (AM АВ = 1 4). Найти коор динаты точки В.
2. Какие поверхности определяются уравнениями: 1) х2 + у2 + z2 - 10æ + 8у - 8 = 0;
2)у = 4z2?
3.Составить уравнения плоскости, проходящей через:
1)ось Oz и точку А(2\ —3; 4);
2)точку А параллельно плоскости Оху.
4. Треугольник |
АВС образован пересечением плоскости 2я + 3у + |
+ 4г — 12 = |
0 с координатными осями. Найти уравнения средней |
линии треугольника, параллельной плоскости Оху.
5.Найти уравнения перпендикуляра к плоскости x —2y+z—9 = 0, про ходящего через точку Л(—2; 0; —1), и определить координаты осно вания этого перпендикуляра.
Вариант 2
1. |
На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух точек А(3; —1; 2) |
|||||
|
и В (4 ;1 ;- 1 ). |
|
|
|
|
|
o u |
/ я 2 -I- у2 + Z2 = |
64, |
- о найти точку: |
|||
2. |
На линии N 0 , |
0 , |
о |
« |
||
|
|
+ ?/" + г- - |
2я = |
58 |
||
|
1) |
абсцисса которой равна 4; |
|
|||
|
2) |
аппликата которой равна 2. |
|
|||
3. |
Составить уравнение |
касательной плоскости к сфере (х — I)2 + |
||||
|
+ (у + 2)2 + (z - |
2)2 = |
27 в точке Мо(2; - 1 ; - 3 ) . |
4.Даны три последовательные вершины параллелограмма: >1(2; 4; 3),
В(—3; 0; 6), С7(—4; 2; 1). Найти уравнения стороны AD и диагонали
BD.
5. Найти расстояние оси точки Л(0; 2; 5) до прямой |
= 1 = |
• |
Вариант 3
1.Найти центр шара радиуса R = 5, который расположен в пятом
октанте и касается всех трех координатных плоскостей.
2.Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек >li(3; 2; 1) и Л2( - 4 ; - 2 ; 1).
3.Найти угол между плоскостью х + у = 0 и плоскостью, проходящей через точку М(3; —1; —1) и содержащую ось Ох.
4.Через точку М (2 ;1 ;—4) провести прямую, параллельную биссек трисе координатного угла Oyz.
5.Найти проекцию точки А(2\ —1; 3) на плоскость 5х — 2т/-f z + 15 = 0.
Вариант 4
1. Отрезок АВ разделен на 5 равных частей точками С, D, Е , F {АХИ = CD = DE = E F = F В). Найти координаты точек D и (7, если известны точки А(2; 2; 5) и В {—3; 1;0).
2.Составить уравнение линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке (7(4; - 3 ; 2) и радиус равен 10.
3.На оси Ох найти точку, равноудаленную от точки А(1;2\/2;0) и от плоскости х + у — 5 = 0.
4.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точ
ку М (5; — 7; 9) параллельно прямой
|
|
|
|
f х —Зу + 2z —б = |
0, |
|
|
|
|
|
|
[2х —у + 4z + 17 = 0. |
|
|
|
5. Найти |
расстояние |
между прямыми |
х ^ - |
= Z |
и |
||
х 4- 5 _ У + 3 _ z + 6 |
|
|
|
||||
8 ~ |
- 4 |
” |
12 |
* |
|
|
|
□
Глава 6. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
□
§1. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Определение функции
Везде далее в этом параграфе под множествами будут пониматься числовые множества, т. е. множества, состоящие из действительных чи сел.
Множество всех действительных чисел будет обозначаться буквой К.
^Пусть каждому числу х из некоторого множества X поставлено в соответствие одно и только одно число у. Тогда говорят, что на множестве X задана функция.
Способ (правило), с помощью которого устанавливается со ответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: /, g, h, tp,... Если, например, выбрана буква
/ , то пишут
У = Дя)- Переменная х при этом называется независимой перемен
ной (или аргументом), а переменная у — зависимой. Множество X называется областью определения данной
функции и обозначается D (f ), а множество всех чисел у, соот ветствующих различным числам х £ Аг, — областью значений этой функции и обозначается E (f).
^Если числу хо из области определения функции f{x) соответ ствует некоторое число уо из области значений, то уо называ ется значением функции в точке XQ (или при х = хо).
График функции
^Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функ ция у = f{x). Графиком функции f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х ;/(х )), где х € D (f).
Множество точек на координатной плоскости является графиком не которой функции в том и только в том случае, когда каждая вертикаль ная (т. е. параллельная оси Оу) прямая пересекает его не более чем в одной точке.
График функции у = f(x ) зачастую можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.
В частности:
1* График функции у = /(ж) + а, получается из графика функции У = /(ж) сдвигом вдоль оси Оу на \а\ единиц (вверх, если о > 0, и вниз, если а < 0);
2. График функции у = f(x - b) получается из графика функции У = /(ж) сдвигом вдоль оси Ох на \Ь\единиц (вправо, если b > 0, и влево,
если 6 < 0);
3. График функции |
у = kf(x) |
получается |
из |
графика |
функции |
||
У ~ |
f{x ) |
растяжением (сжатием) вдоль оси Оу в к раз (1/к |
раз), если |
||||
* > 1 |
(fee |
(0,1)); |
у = /(тж ) |
|
|
|
|
4. График функции |
получается |
из |
графика |
функции |
У = /(;х) сжатием (растяжением) по оси Ох в т раз (1/т раз), если т > 1
( т е |
(0,1)); |
функции у = -/(ж ) |
|
|
5. |
График |
получается из графика |
функции |
|
У = f(x ) симметричным отражением относительно оси Ох; |
|
|||
6. |
График |
функции у = /(-ж ) |
получается из графика |
функции |
У = f{x) симметричным отражением относительно оси Оу. |
|
Четность, нечетность и периодичность функции
^Функция называется четной, если:
1) множество D (f) симметрично относительно нуля (т.е. Vx £ 6 D (f) = ï - x € D(f))-,
2) для любого х е D (f) справедливо равенство /(-ж ) = f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Оу.
^Функция f(x ) называется нечетной, если:
1)множество D (f) симметрично относительно нуля;
2)для любого х G D (f) справедливо равенство / ( —ж) = -/(ж ).
График нечетной функции симметричен относительно начала коор динат.
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функ цией общего вида.
^Функция f{x ) называется периодической, если существует чи
сло Т ф 0, что для любого ж G D (f) справедливы условия:
1) * + Г 6 !> (/); 2) А * + Г ) = /(* ) .
Число Т называется периодом функции /(ж). Если Т — период функ ции /(ж ), то числа ± Т , ±2Т , ± 3 Т ,... также являются периодами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из
ееположительных периодов (основной период), если таковой существует. Если функция f(x ) периодическая с периодом Т, то ее график пере
ходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на Т единиц влево или вправо.
Сложная функция. Элементарные функции
^Пусть область значений функции у = /(х ) содержится в обла сти определения функции д(у). Тогда функция
* = 0(/(я))| x e D { f )
называется сложной функцией или композицией функций / и g и обозначается до f.
Основными (или простейшими) элементарными функциями назы ваются: постоянная функция у = с; степенная функция у = ха , a G К; показательная функция у = ах, а > 0; логарифшическая функция у =
= logrt х, а > 0, а ф 1; |
тригонометрические функции у = sin я, у = |
cos ж, |
|
у = tgx, |
2/ = ctgx, |
у = secx (где secx = —-— ), у = cosecx |
(где |
cosecх = |
—7^— ); обратные тригонометрические функции у = arcsinx, |
||
|
Sill X J |
|
|
у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx.
На рисунках 68,а и 68,£ приведены соответственно графики функций у = arcsinx и у = arctgx.
б
Рис. 68
^Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью
конечного числа арифметических операций |
и ком |
позиций (т.е. образования сложных функций). |
|
Монотонная, обратная и ограниченная функция
^Функция /(х ) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X Ç £>(/), если для любых значений x i,x 2 Е X таких, что Х\ < Х2, справедливо неравенство /( х i) ^ /( х 2) (соответственно, f{x i) ^ /(я 2)).
^Функция /(ж) называется монотонной, если она невозрастаю щая или неубывающая.
^Функция /(ж) называется возрастающей (убывающей) на мно
жестве X Ç D (f), если для любых значений х\,Х2 € X таких,
что Ж1 < ж2, справедливо неравенство /(ж 1) < /(хо) (соответ ственно, f(x i) > /(ж2)).
^Функция /(ж) называется строго монотонной, если она возра стающая или убывающая.
^Пусть для любых различных значений Ж1,ж2 G D (f) справед ливо, что /(.ci) ф / ( ж2). Тогда для любого т/ G £ ( / ) найдется
только одно значение ж = 0(2/) G £ ( / ) , такое, что 2/ = /(т). Функция ж = Q(2/)j определенная на Е (/), называется обрат ной для функции /(ж).
Отметим, что £(#) = £>(/).
Если функция /(ж) имеет обратную функцию, то каждая горизон тальная прямая у = с пересекает ее график не более чем в одной точке.
Пусть функция ж = д(у) (иногда ее обозначают ж = f~ 1(y)) — обрат ная для функции у = / ( ж). Если обозначить аргумент этой функции через ж, то ее можно записать в виде у = д{х). Тогда
g(f{x)) = х Для всех ж G £>(/), f(g{x)) = ж для всех ж G £ ( / ) .
Иными словами, если функция </(ж) — обратная для функции /(ж), то функция /(ж) — обратная для функции у(х); поэтому обе эти функции называют еще взаилюобратными.
Пусть функция у = /(ж) вырастает (убывает) на отрезке [а; 6]. Тогда на отрезке [/(a); /(&)] (соответственно, [/(&);/(а)]) определена возраста ющая (убывающая) функция д(ж), обратная для функции /(ж).
График функции д(ж), обратной для функции /(ж), симметричен гра фику /(ж) относительно прямой у = ж.
^Функция у = /(ж) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X С D (f), если существует такое число М, что
|
/(ж) ^ М (/(ж) ^ М) для всех ж G X . |
^ |
Функция 2/ = /(ж) называется ограниченной на множестве |
|
X С D (f)yесли существует такое число М > 0, что |
|
|/(ж)| ^ М для всех ж G X . |
Гиперболические функции
Гиперболическими функциями называются следующие четыре функ
ции: |
|
1) гиперболический синус 2/ = sh ж, где shx = е |
— (график этой |
нечетной возрастающей функции изображен на рис. 69,а);
2) гиперболический |
косинус у = |
d ix, |
где chx |
= е |
~^е— |
(график |
этой четной функции см. на рис. 69,б); |
|
|
|
|
||
3) гиперболический |
тангенс у = |
thrr, |
где thx |
= |
= |
е^х ~ е_х |
(график этой нечетной возрастающей функции см. на рис. 69,в);
4) гиперболический котангенс у = cthx, где cthx = sh х = е-~—-ее „
(график этой нечетной убывающей функции см. на рис. 69,г).
У
1
y= thx
О х
-1
в
Для гиперболических функций имеют место формулы, аналогичные (с точностью до знака) соответствующим формулам для обычных триго нометрических функций:
ch2 х — sh2 х = 1, ch 2х = ch2 х + sh2 х , ch(æ ± у) = ch х ch у ± shxshy,
sh(a- ± у ) = sh х ch y ± ch a; sh y и т. д.
Неявные и параметрически заданные функции
Формула у = f(x) определяет явный способ задания функции. Одна ко во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.
^Пусть данная функция определена на множестве D. Тогда, если каждое значение х £ D и соответствующее ему значе ние функции у удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F (x ; у) = 0, то говорят, что эта функция задана не явно уравнением F (x ; у) = 0. Сама функция в этом случае на зывается неявной функцией.
^Графиком уравнения F(x;y) = 0 называется множество всех точек координатной плоскости Оху, координаты которых удов летворяют этому уравнению.
Пусть на некотором множестве X С R заданы две функции х = x(t) и у = y(t). Тогда множество всех точек на плоскости Оху с координа тами (x(t),y(t)), где t G X , называется кривой (или линией), заданной параметрически.
Если кривая, заданная параметрически, является графиком некото рой функции у = f(x ), то эта функция также называется функцией, за данной параметрически (или параметрически заданной).
6 .1 .1 . |
Найти области определения функций: |
||||
|
! ) /( * ) = â f i l ; |
|
|||
|
2) f(x ) = у/Ъ - Зх; |
|
|||
|
3) /(х ) = 1п(х + 2). |
|
|||
|
О |
1) Дробь Щ |
} |
определена, если ее знаменатель не ра- |
|
|
|
|
х |
— 1 |
|
|
вен нулю. Поэтому область определения данной функции на |
||||
|
ходится из условия х2 - 1 ф 0, т.е. х ф ±1 . Таким образом, |
||||
|
D (f) = (—оо; - 1 ) U ( - 1; 1) U (1; +оо). |
||||
|
|
2) Функция /(х ) |
= у/Ъ —Зх определена, если подкоренное |
||
|
выражение неотрицательно, т.е. 5 — Зх ^ 0. Отсюда х ^ |, и, |
||||
|
значит, D (f) = |
(-о о ; |]. |
|||
|
|
3) Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно |
|||
|
быть положительным, поэтому функция 1п(х + 2) определена в |
||||
|
том и только в том случае, когда х + 2 > 0, т. е. х > —2. Значит, |
||||
|
£ ( / ) = ( - 2; +оо). |
• |
|||
6 .1.2 . |
Найти области определения функций: |
||||
|
1) |
f i x) = |
2 * + arcsin |
+ |
|
|
2) |
/(® ) = |
з/п ^ |
9 |
^COS 2х. |
|
|
|
V 2х - |
х2 |
|
О 1) Функция а®, а > 0 определена при всех действительных |
|
значениях я, поэтому функция 2 * определена в точности при |
|
тех значениях я, при которых имеет смысл выражение —, т.е. |
|
при я ф 0. |
|
Далее, область определения второго слагаемого находим из |
|
двойного неравенства — 1 ^ -- |
^ 1. Отсюда —3 ^ я 4- 2 ^ 3, |
т.е. —5 ^ я ^ 1. |
|
|
|
Область определения функции /(я ) есть пересечение обла |
||||||||||
|
стей определения обоих слагаехмых, откуда £ )(/) = [—5; 0)U (0; 1]. |
|||||||||||
|
|
2) |
Функция 7 cos 2я определена при всех действительных |
|||||||||
|
значениях я, а функция |
3/ ^ |
— лишь при тех значени- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
V 2я — я2 |
|
|
|
|
||
|
ях я, при которых 2я — я2 ф 0, т. е. при я ф 0, я ф 2. |
|
|
|||||||||
|
|
Таким образом, D (f) = (-о о; 0) U (0; 2) U (2; 4-оо). |
• |
|||||||||
Найти области определения функций: |
|
|
|
|
|
|
||||||
6.1.3. |
/( * ) |
- |
|
|
|
6 .1 .4 . |
/ ( l ) |
= |
sinR ^ 2 ‘ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.1.5. |
f(x) = log3(—ж). |
6 .1 .6 . |
f(x) = |
</x2 - 7 x |
+ 10. |
|
||||||
6.1.7. |
f(x) = x2 + tgæ. |
6 .1 .8 . |
f(x ) = \/x —7 + |
\/10 - x. |
|
|||||||
6Л’9 - |
f{x) = T ^ 2 \ - |
6 Л Л 0 - |
№ |
= < Æ + î + ÿ ^ - |
|
|||||||
6.1.11. |
/(я ) |
= |
e |
•log2(2 - Зя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1.12. |
/(я ) |
= |
агссоБ(я - 2) - 1п(я - 2). |
|
|
|
|
|
||||
6.1.13. |
Найти множества значений функций: |
|
|
|
|
|||||||
|
1) f(x) |
= X2 + 4 я + 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2) / ( я ) = 2*2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) /(я ) |
= |
3 - 5 cos я. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
1) Так как я2 4- 4я + 1 = |
(я 4- 2)2 - |
3, а (я + 2)2 ^ 0 для |
||||||||
|
всех значений я, то /(я ) |
^ - 3 |
для всех я. Поскольку к тому |
|||||||||
|
же функция (я 4- 2)2 принимает все значения от 0 до оо, то |
|||||||||||
|
£ ( / ) = |
[-3;+ o o ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2) Е {я2) = |
[0;+оо), поэтому множество значений функции |
||||||||||
|
2х |
совпадает с множеством значений функции 2х при я ^ |
0. |
|||||||||
|
Отсюда E (f) = |
[1; 4-оо). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) Е (cos я) |
= [—1; 1], откуда E |
( - 5 COS.T ) = [-5 ; 5]. Так как |
|||||||||
|
/(я ) |
= |
- 5 |
cos я 4- 3, то E (f) = [ - 2; 8]. |
|
|
|
• |
Найти множество значений функций:
6 .1 .14 . |
/(я ) |
= |
ж2 - |
8я + 20. |
6.1.15. |
f ( x ) = 3-** |
||
6 .1 .16 . |
f(x) = |
2 sin х —7. |
6.1.17. |
/ ( i ) = |
i + 4. |
|||
6 |
.1 .18 . |
f(x) |
= |
ia rc tg x . |
6.1 .19 . |
/(я ) = |
\/5 — ж + 2. |
|
6 |
.1.20. |
Для функции f(x) = |
^ найти: |
|
|
|||
|
|
1) / ( 0); |
|
' |
2) / ( - 2); |
|||
|
|
3) |
fW 2); |
|
|
4) /( - я ) ; |
||
|
|
5 ) /( А ) ; |
|
|
6) Д а + 1); |
|||
|
|
7) |
/(а ) + |
1; |
|
8) / ( 2.т). |
О1)-3). Подставляя значение х = 0 в аналитическое выраже-
АI О
ние для данной функции, получим: / ( 0) = |
= —3. Ана- |
||
логично находим / ( - 2) = |
= ^> Д \/2) = |
^ ^ 2^ |
= |
=\/2 + 3.
4)-6). Для того, чтобы найти / ( —ж), надо формально заме
|
нить х в формуле для /(.т) на —я. Тогда f ( —x) = |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
(“ ®)“ - 1 |
|
|
= А — |
Точно так же найдем f ( - ) |
= |
-д ^ ^ |
1 —•£*" |
||||
|
X** — 1 |
|
|
|
2» |
(~) |
_ 1 |
||
|
7) Д а) + 1 |
_ о 4- 3 1 2 _от а |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
а- - |
1 |
а2 —1 |
|
|
|
|
|
8) / ( 2х) = |
2я + 3 |
_ |
2х + 3 |
|
|
|
|
|
|
(2х)2 - |
1 |
4я^ - 1 ' |
|
|
|
|
||
|
Для функции /(я ) = я3 •2х найти: |
|
|
|
|
||||
|
1) / ( 1); |
|
|
|
2 ) / ( - 3 ) ; |
|
|
||
|
3) H - V 5 ); |
|
|
4) / ( - * ) ; |
|
|
|||
|
5) Д ЗД ; |
|
|
|
6 ) /(!> |
|
|
||
|
Г) |
|
|
|
8) / ( 6 - |
2). |
|
|
|
|
Ш ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 .1.2 2 . |
Для функции <p(t) = |
|
найти: |
|
|
|
|
||
|
1) Д -1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Д -5 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Д §); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Д г + 3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) tp(2t - |
1). |
|
|
|
|
|
|
|