книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdfВариант 3
1. Найти координаты центра и радиус окружности, проходящей через точку А(—10; 4) и касающейся оси Ох в точке В (—6;0).
2.Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—2; 1) на рас стоянии 1 от начала координат.
3. При каких значениях А и С прямая Ах -h Зу + С = 0: а) параллельна прямой За; — у + 8 = 0; б) перпендикулярна прямой у = 5а;; в) проходит через точки (2;2) и (—1; 4);
г) пересекается с прямой Ах — 2у + 7 = 0*.
4.Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 5а;2 + 9у2 — 180 = 0, а две другие совпадают с концами его малой оси.
5.Найти длину диаметра эллипса (хорды, проходящей через центр эл липса) 9а;2+ 27у2 = 225, перпендикулярного к асимптоте гиперболы х2 —у2 = 4, проходящей через первую и третью четверти.
Вариант 4
1.Площадь треугольника АВС с вершинами А(—2; 1), В(2;2), С(4;у) равна 15. Найти ординату вершины С.
2.Через точку пересечения прямых 2а;—у = 0 и х+Зу—1 = 0 проведена прямая, перпендикулярная прямой у = 3 — х. Найти ее уравнение.
3.Даны две смежные вершины А(—2; 4), В(2; 2) параллелограмма ABCD и точка М(1; —1) пересечения его диагоналей. Найти урав нения сторон ВС и CD параллелограмма.
4.Окружность проходит через точки M i(l;5) и М2(5; 3), а центр ее лежит на прямой ^ ^ = 1. Найти уравнение окружности.
2?,2
5.Дан эллипс —г + ^ = 1. Найти уравнение гиперболы, вершины
которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.
□
5.1.5.
5.1.6.
5.1.7.
5.1.8.
5.1.9.
5.1.10.
Дана точка А(3; —4; 2). Найти координаты точки, симметрич ной данной относительно координатных плоскостей, осей коор динат, начала координат.
Дан треугольник с вершинами в точках >1(5; 2; 4), В (—3; 6; 0), С(3; 2; - 4 ) . Найти длину его медианы, проведенной из вершины
А.
В точках A i ( х х ; у \; z x) , А 2 ( х 2 ; у 2; z 2) , А г (я з; У зï * з ) >А 4 ( х 4 ; y 4 ; z 4)
сосредоточены соответственно массы m i, тп2% тпз, тп4 . Найти
координаты центра тяжести системы этих масс.
О Как известно из курса физики центр тяжести масс mi и m2, помещенных в точках А и В , делит отрезок АВ на части, обратно пропорциональные массам, сосредоточенным на кон цах отрезка (Л = Исходя из этого, найдем сначала центр
тяжести Mi (ж'; у1] z') системы двух масс mi и m2, помещенных в точках Ai и А2:
х ' = |
mi |
1 _ |
XiTThï |
|
1 + mi |
mi 4- m2 |
|||
|
||||
/ _ y iT ïli + 7/2 m |
2 |
zimi 4- z2m2 |
||
mi 4- m2 * |
m i 4- m2 |
Центр тяжести системы трех масс mi, m 2 и т з находим ана
логично (Л = — |
— ): |
|
|
|
|
|||
|
|
|
mi 4* m2J |
|
|
|
|
|
|
|
х " |
= Х ' + |
Wi+ma'-Х з |
_ |
x i m |
i |
+ X 2 m 2 + Х3ТП 3 |
|
|
|
1 + ïïrr+^ |
|
mi + т 2 + m3 |
|||
y |
» |
2/i mi + р2т 2 + 2/зт3 |
„ |
— |
zimi + z2m2 + z3m3 |
|||
|
=; — |
- -- |
|
- |
2, |
■ ■ ■— |
||
|
|
|
mi + m2 + m3 |
’ |
|
|
mi + m2 + m3 |
Находим, наконец, центр тяжести системы трех масс mi, m2,
m3 и m4 (Л = |
----- --------------); |
|
|||
4 |
|
mi + m2 + m3’ |
|
||
т _ |
|
+ |
|
aim! + x>m2 + a:3m3 + aum4 f |
|
|
1 |
+ |
|
— |
4- m*> 4* тз 4- 7724 |
|
+ т Г+т^+тз |
7711« + m2 + m3 + ТП4 |
|||
|
|
|
У _ |
2/1m i 4- у2т |
2 + т/37п3 + y4m 4 |
|
|
|
|
m1 4- m2 4- m3 + m4 |
|
|
|
|
z = |
Ziïïii 4*z2m2 + Z3TH3 + Z4TTL4 |
|
|
|
|
--------------------- --------------------- |
||
|
|
|
|
mi + m2 + m3 4*rn4 |
|
Показать, |
что |
треугольник с |
вершинами в точках >1(8,0, б), |
В (2; —4; 2), С (6; - 6 ; - 2 ) прямоугольный.
Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках >1(2; 5; 0), В (11;3;8), С (5;1;12).
Центр тяжести однородного стержня находится в точке М (1; —1; 5), один из его концов есть А ( - 2 ;- Г , 7). Найти координаты другого конца стержня.
Дополнительные задачи |
|
|
|
|||
5.1.11. |
Найти |
координаты |
точки на оси |
Ол, удаленной от точки |
||
|
М (—2; —1; 4) на 3 единицы. |
|
|
|||
5.1.12. |
Даны |
вершины |
треугольника |
>1(1; — 1; 3), |
J5(—5; 2; —6), |
|
|
(7(2; 1; - 2 ) . Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при |
|||||
|
вершине А. |
|
|
|
||
5.1.13. |
Лежат |
ли на одной прямой точки |
Л (2 ;-3 ;1 ), |
Б(0; —11; 3) и |
||
|
<7(4; 5 ;- 1 )? |
|
|
|
||
5.1.14. |
В каких октантах могут быть расположены точки, координаты |
|||||
|
которых удовлетворяют одному из следующих условий: |
|||||
|
1) х - у = 0; |
|
|
|
||
|
2 ) x + z = 0; |
|
|
|
||
|
3) |
ху > |
0; |
|
|
|
|
4) |
xyz < 0? |
|
|
|
|
5.1.15. |
Найти центр и радиус сферы, которая проходит через точку |
|||||
|
>1(4; —1; —1) и касается всех трех координатных плоскостей. |
|||||
5.1.16. |
Найти расстояние от точки А(3; —4; 5) до начала координат и |
|||||
|
до осей координат. |
|
|
|
||
5.1.17. |
Даны |
две вершины параллелограмма ABCD: >1(1; 1 ;— 1), |
||||
|
В { - 2; 3; 0) и точка пересечения его диагоналей М (4; 0; 3). Най |
|||||
|
ти координаты вершин С и D. |
|
|
|||
Контрольные вопросы и более сложные задачи |
|
|||||
5.1.18. |
Найти радиус сферы, проходящей через точки (0; 0; 0), (2; 0; 0), |
|||||
|
(0; 3; 0), |
(0; 0; 6). |
|
|
|
|
5.1.19. |
Проверить, что три данные точки |
>1(1;-5; 3), |
Б (5 ;-1 ;7 ) и |
|||
|
(7(6; 0; 8) лежат на одной прямой. |
|
|
|||
5.1.20. |
Доказать, что прямые, соединяющие середины противополож |
|||||
|
ных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в |
|||||
|
ней пополам. |
|
|
|
||
5.1.21. |
Где расположены точки >1(0;0;z), B(x\0;z) 1 C{0]y\z)? |
|||||
5.1.22. |
Чему равно расстояние от точки >1(—12; —3;4) до оси Ох? |
|||||
5.1.23. |
Ребро куба равно 1. Найти длину отрезка, соединяющего сере |
|||||
|
дины двух скрещивающихся ребер. |
|
|
|||
5.1.24. |
Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса |
|||||
|
точки М равняться 1? 2? |
|
|
|||
5.1.25. |
Как расположена точка в прямоугольной системе координат, |
|||||
|
если одна ее координата равна нулю? две ее координаты равны |
|||||
|
нулю? |
|
|
|
|
Уравнение поверхности и кривой в пространстве
^ |
Уравнением поверхности в пространстве |
Oxyz называется |
|
уравнение F(x] у; z) —0, которому удовлетворяют координаты |
|
|
каждой точки поверхности и только они. |
|
|
Поверхность может быть задана уравнением |
|
|
F(x;y,z) = 0, |
(1.4) |
или, например, уравнением z = f{x\y) (у = ip(x-,z), х = ф{у,г)). |
||
|
Уравнение вида |
(1.5) |
|
F(x;y) = 0 |
определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующи ми параллельными оси Oz и направляющей, лежащей в плоскости Оху й заданной в ней уравнением F(x;y) = 0. Уравнение поверхности соста вляется по схеме составления уравнения линии на плоскости.
Кривую (линию) в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей; тогда она задается системой двух урав
нений |
0, |
\Fx(x\y\z) = |
|
IFo(ж; у\ z) = |
(1.6) |
0 |
Если кривую рассматривать как траекторию движения точки, то она за дается параметрическими уравнениями
|
|
х = x(t), у = y(t), |
z = z(t), |
t G [a; b]. |
(1.7) |
5.1.26. |
Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке 0\ (а; 6; с). |
||||
|
О |
В прямоугольной системе координат Oxyz |
точка 0\ — |
||
|
центр сферы — имеет координаты а, Ьи с. Пусть M(x\y\z) — |
||||
|
произвольная точка сферы. Тогда 0\М = R, или (см. (1.1)) |
||||
|
|
у/(х - а) 2 + |
(у - Ъ) 2 + (z - с)2 = R . |
|
|
|
Окончательно получаем уравнение сферы |
|
|||
|
|
(х - а)2 + (у - b)2 + (z - |
с)2 = R2 |
• |
|
5 .1 .27 . |
Найти координаты центра и радиус сферической поверхности, |
||||
|
заданной уравнением х2 -Ь у2 + z2 — 2 х 4- 6z —6 = 0. |
||||
5 .1 .28 . |
Как расположены т^чки >1(0; 5; 7), В (—3;4; 0), С (0;0;6) относи |
||||
|
тельно сферы х2 + у2 + z2 + 2х — Ay — 6 z —11 = 0? |
||||
5 .1 .29 . |
Какую поверхность определяет уравнение х2 + у 2 + 4х —10у+ |
||||
|
+ 28 = 0? |
|
|
|
|
|
О |
Уравнение имеет вид (1.5), определяет цилиндрическую по- |
|||
|
вехность с образующими, параллельными оси Oz; направляю |
||||
|
щей служит кривая х2 + у2 + 4а; — 10у + 28 = |
0, лежащая в |
плоскости Оху. Выделим в левой части этого уравнения пол ные квадраты:
(æ2+4a;+4)-4+(2/2-102/+2o)-25+28 = 0, (х + 2 ) 2 + ( у - 5 ) 2 = 1.
Направляющей служ ит окружность радиуса 1 с центром в точ ке (—2; 5) (рис. 49). Таким образом, заданное уравнение опре деляет прямой круговой цилиндр. #
Рис. 49
5.1.30.Какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:
1)Г = 4;
2)у2 = х]
3)X2 + у2 + z2 = 0;
4)z2 +yz = 0?
5.1.31. Определить, какие геометрические образы заданы уравнения ми:
1)xyz = 0;
2)у2 —х2 = 0;
3)я2 - И / + 4 = 0;
4)х2 + у2 —2х —3 = 0.
5.1.32. Составить уравнение винтовой линии радиуса а и шага h.
ОВинтовую линию описывает точка, которая равномерно вращается вокруг неподвижной оси (на рис. 50 вокруг оси Oz) и равномерно перемещается в ее направлении. Пусть М(ж; т/; z) — произвольная точка линии, а Mo (ж; у\0) — ее проекция на плос кость Оху. Точка М лежит на образующей прямого кругового цилиндра, направляющей которого служит окружность радиу са а, описываемая точкой Mo. Обозначим угол поворота МоОх через t, т. е. t = ZMQOX. В силу равномерности движения точки
М можно записать |ММо| = bt. Имеем: х = a cost, у — asini, z = |ММ0| = bt. Для нахождения коэффициента b положим в последнем равенстве t = 27Г, z = h (в этом случае точка Mo совершит полный оборот; точка М опишет один виток, под нявшись на шаг h винта). Следовательно, h = 27г6, Ъ = у -.
Рис. 50
Уравнениями винтовой линии будут
х = a cost, |
|
|
у = asint, |
teïïL |
• |
\Z = 2 Ï Ï 1' |
|
|
5.1 .33 . Найти уравнение поверхности, каждая точка которой вдвое ближе к точке <4(2; 3;0), чем к точке В (—2; 0; 0).
Дополнительные задачи
5 .1 .34 . Какая кривая определяется уравнениями
[ х2 + у2 + z2 - 6х = 0, \ у - 2 = 0?
5 .1 .35 . Какие кривые определяются уравнениями:
(х = 0,
1) 1» = 0;
Г у - 3 = 0,
2) \z + 2 = 0;
х2 + у2 + z2 = 36,
х = 4?
5.1.36.Найти уравнение сферической поверхности с центром в точке (7(2; 1; - 4 ) , проходящей через точку 4(5; 3; 2).
5.1.37.Найти уравнение линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в точке 0(2; 2; 2) и радиусом, равным 3.
5.1.38.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек -4(1; 0; 0) и Б(0; 1; 0).
Контрольные вопросы и более сложные задачи
5.1.39.Из точки М (2; 6; —5) проведены всевозможные лучи до пересе чения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места середин отрезков лучей от точки М до точки пересечения с плоскостью Oxz.
5.1.40.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и данной плоскости.
Указание. Поместить начало координат в середине перпенди куляра, опущенного из точки на плоскость.
5.1.41.Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек F\( - а ; 0; 0) и Fi(a\ 0; 0) равна постоянному числу 4а2.
5.1.42.Вывести уравнение поверхности, модуль разности расстояний
от каждой точки которой до точек F i(0 ;—5;0) и Fo(0; 5;0) ра вен 6.
5.1.43.Какую линию определяет система уравнений
2 2
{Ъ + Ъ - 1-
z= c?
5.1.44.Какую поверхность определяет уравнение х2 + у2 —2у = 0?
5.1.45. Лежат ли точки ^4i(0; —4; 8), Â2 (—1; 2; 2) на поверхности 2 =
= х2 + '{ ?
§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Различные виды уравнения плоскости
Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным ал гебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными. И на оборот: каждое линейное уравнение первого порядка с тремя неизвест ными определяет некоторую плоскость в пространстве.
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(хо] уо] zo) пер пендикулярно вектору п = (А; В\ С):
А{х - .т0) + В{у - уо) + C(z - zo) = 0. |
(2.1) |
Уравнение (2.1) называют также уравнением пучка (связки) плоскостей.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную
пересечением |
плоскостей А\х 4- В\у 4- C\z + Z>i = 0 и А2 Х 4- В3у + |
||
■f Coz 4- Do = 0 |
имеет вид |
|
|
А\Х 4" В\у 4“C\Z -Ь D\ 4" Л(/12а; 4" Boy 4~ C 2Z 4" Do) — 0, |
(2*2) |
||
где Л — числовой множитель. |
|
|
|
2. Общее уравнение плоскости: |
|
|
|
Ax + By + Cz + D = 0 |
(А24- В 2 4- С 2 ф 0). |
(2.3) |
Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, на зывается нормальным вектором этой плоскости. В частности, вектор п=(А ; В; С) — нормальный вектор плоскости, заданной уравнением (2.3)
Частные случаи уравнения (2.3):
Ах 4- By 4- Cz = 0 (D = 0) — плоскость проходит через начало коор динат;
Ах 4- By 4- D = 0 (С = 0) — плоскость параллельна оси Oz (анало гичный смысл имеют уравнения Ах 4- Cz 4- D = 0, By 4- Cz 4- D = 0);
Ax 4- By = 0 (D = С = 0) — плоскость проходит через ось Oz (Ах 4- Cz 4- D = 0, By 4- Cz 4- D = 0 — через ось Оу и Ох соответственно); Ах + D = 0 (В = С = 0) — плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz 4- D = 0, By 4- D = 0 — параллельно плоскости Оху и Oxz соответ
ственно); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ах |
= 0, т. е. х = |
0 |
(В = |
С |
|
= |
D = 0) — плоскость совпадает с |
|||
плоскостью Oyz (у = 0, г = 0 — уравнения плоскостей Oxz и Оху соот |
||||||||||
ветственно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Уравнение плоскости в отрезках: |
|
|
|||||||
|
|
|
х |
+ |
|
у |
|
z |
|
(2.4) |
|
|
|
- |
b |
т + |
- = 1, |
|
|||
|
|
|
a |
|
|
c |
|
|
|
|
где а, Ь, с — абсцисса, оридината и аппликата точек пересечения плос |
||||||||||
костью координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно. |
|
|||||||||
4. |
Уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через три |
данные точки |
|||||
M i(xi\yi;zi), M2(x2 \y2 \z2) и M3(x3\y3;z3): |
|
|
||||||||
|
|
x - x i |
у - |
т/l |
Z — Z\ |
= 0. |
|
|||
|
Х2 - |
x i |
у2 |
|
2/1 |
Z2 - Zi |
(2.5) |
|||
|
х з - |
х г |
2/з - |
У\ |
Z3 - Z 1 |
|
|
|||
Уравнение (2.5) в векторной форме имеет вид |
|
|
||||||||
|
( r - n ) - ( r 2 - r i ) |
(r3 - r i ) = 0 , |
(2 .6) |
где г, ri, 7*2, 7*3 — радиус-векторы точек M(x\y\z), Mi, М2 и М3 соот ветственно.
5. Нормальное уравнение плоскости:
х cosa + у cosр + z COS7 - р = 0, |
(2.7) |
где р — длина перпендикуляра ОК, опущенного из начала координат на плоскость; а, /?, 7 — углы, образованные единичным вектором ё, имею щего направление перпендикуляра ОК (рис. 51), с осями Ох, Оу и Oz (cos2a 4- cos2 /? + cos27 = 1).
Рис. 51 |
Рис. 52 |
Уравнение (2.7) в векторной форме имеет вид |
|
г •ё - р = 0. |
(2.8) |
Общее уравнение плоскости (2.3) приводится к нормальному виду
(2.7) путем умножения на нормирующий множитель |
|
|||||
|
|
Л = |
------ г - 1 |
|
; |
(2.9) |
|
|
|
± \ / а Г П |
р |
Т с 2 |
|
знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена D |
||||||
(в общем уравнении плоскости). |
|
|
|
|||
5.2.1. |
Построить плоскости, заданные уравнениями: |
|
||||
|
1) |
2у - 5 = 0; |
|
|
|
|
|
2) х + z - 1 = 0; 3) Зх + 4у + 6z - 12 = 0. |
Oxz |
||||
|
О |
1) Плоскость |
2т/ — 5 = |
0 |
параллельна плоскости |
|
|
(см. (2.3), частные случаи); она отсекает на оси Оу отрезок, |
|||||
|
равный - и имеет вид, изображенный на рисунке 52. |
|
||||
|
|
2) Плоскость хЛ- z —1 = |
0 параллельна оси Оу (см (2.3)); |
|||
|
она пересекает плоскость Oxz по прямой х + z = 1, отсекая на |
|||||
|
осях Ох и Oz отрезки, равные 1 (рис. 53). |
|
Z
У
Рис. 53 |
Рис. 54 |
3) Общее уравнение плоскости Зж + 4т/ 4- 6z — 12 = 0 пере |
|
пишем в виде (2.4): Зж + 4у 4* 6z = 12, т.е. f + § + f = L Эта |
|
плоскость отсекает на осях Ож, О у , |
O z отрезки, равные 4, 3, 2 |
соответственно (рис. 54).
5.2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через:
1) точку М (—2; 3; 1) параллельно плоскости Оху; 2) точку М и ось Оу.
Построить эти плоскости.
5.2.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через:
1)точку А(Ь\ —4; б) перпендикулярно оси Ож;
2)точку А и отсекающей равные отрезки на координатных осях.
Построить эти плоскости.
5.2.4. Уравнение плоскости 2ж — 6у + 3z —14 = 0 привести к нормаль
ному виду.
О Умножим обе части уравнения на нормирующий множи тель (2.9):
т. е. |
А = - |
д/22 + ( - 6 )2 + З2 |
7 |
Перед корнем взят знак «плюс», т.к. свободный член С = —14 заданного уравнения отрицателен. Имеем:
Здесь р = 2, т.е. расстояние от точки 0(0;0;0) до плоскости равно 2;