Ортогональный центральный композиционный план
ОЦКП сохраняет свойство симметричности плана из-за того, что на каждый фактор вводят по две симметричные звездные точки.
Количество проводимых экспериментов:
,
где
-
число экспериментов в ядре плана,
– число факторов.
Ядром плана является ПФЭ или ДФЭ.
Если число факторов
,
то ядром плана является ПФЭ и число
экспериментов в плане равно
.
Если число факторов
,
то ядром плана является ДФЭ и число
экспериментов в плане равно
,
гдеp –
число взаимодействий, замененных
факторами, учитываемыми в эксперименте.
–это число
экспериментов в «звездных точках»,
имеющих координаты:
где
– величина «звездного плеча».
В центре плана –
один эксперимент. Это точка факторного
пространства с координатами
.
Для нахождения условий, обеспечивающих ортогональность, математическую зависимость ( 4 .4 можно записать в виде:
|
|
4.5 |
где
.
Величина
вводится для обеспечения ортогональности
плана.
Матрицу планирования экспериментов для двух факторов можно представить в виде таблицы 4 .23. В качестве ядра плана используется ПФЭ.
Число экспериментов равно
«Звездное плечо»
можно определить по формуле:
Значения
и
,
обеспечивающие ортогональность плана
при различных значениях
,
приведены в таблице 4 .24.
- фиктивный параметр,
соответствующий коэффициенту
.
Таблица 4.23. План ОЦКП для двух факторов
|
Факторы |
№ эксперимента |
|
|
|
|
|
|
|
Центральная точка |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
Ядро плана ПФЭ |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
3 |
1 |
-1 |
1 |
|
|
-1 | |
|
4 |
1 |
1 |
-1 |
|
|
-1 | |
|
5 |
1 |
-1 |
-1 |
|
|
1 | |
|
Эксперименты в звездных точках |
6 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
7 |
1 |
- |
0 |
|
|
0 | |
|
8 |
1 |
0 |
|
|
|
0 | |
|
9 |
1 |
0 |
- |
|
|
0 |
Таблица 4.24. Параметры ОЦКП
|
|
Ядро плана |
N |
|
|
|
2 |
|
9 |
1,000 |
0,6667 |
|
3 |
|
15 |
1,215 |
0,7300 |
|
4 |
|
25 |
1,414 |
0,8000 |
|
5 |
|
27 |
1,547 |
0,7700 |
|
6 |
|
45 |
1,722 |
0,8430 |
|
7 |
|
79 |
1,885 |
0,9000 |
|
8 |
|
81 |
2,001 |
0,8889 |
В графическом виде план по проведению эксперимента представляет собой квадрат, как это изображено на рис. 4 .92.
Рисунок 4.92. Графическое представление плана эксперимента
Для
геометрической интерпретацией ПФЭ
является куб, «звездные точки» ОЦКП
лежат за пределами куба, т.к. они
расположены на расстоянии большем, чем
±1 от центра плана, и лежат на поверхности
сферы диаметром
.
Ротатабельный центральный композиционный план
Метод РЦКП позволяет получить более точное математическое описание, что достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного плеча».
Количество проводимых экспериментов:
,
где
-
число экспериментов в ядре плана,
– число факторов.
–это число
экспериментов в «звездных точках»,
имеющих координаты:
где
– величина «звездного плеча».
–число экспериментов
в центре плана с координатами
.
Ядром плана является ПФЭ и ДФЭ.
Характеристики РЦКП приведены в таблице 4 .25.
Таблица 4.25. Параметры РЦКП
|
|
Ядро плана |
|
|
|
|
|
2 |
|
1,414 |
4 |
5 |
13 |
|
3 |
|
1,682 |
6 |
6 |
20 |
|
4 |
|
2,000 |
8 |
7 |
31 |
|
5 |
|
2,378 |
10 |
10 |
52 |
|
5 |
|
2,000 |
10 |
6 |
32 |
|
6 |
|
2,828 |
12 |
15 |
91 |
|
6 |
|
2,378 |
12 |
9 |
53 |
|
7 |
|
3,333 |
14 |
21 |
163 |
|
7 |
|
2,828 |
14 |
14 |
92 |
Чтобы композиционный
план был рототабельным, величина
«звездного плеча»
выбирается из условий:
Матрица планирования строится так же, как и при ОЦКП. Отличие состоит только в том, что число экспериментов в центре плана выбирается из условия, что бы информация о значениях выходной переменной оставалась неизменной (или почти неизменной) для точек сферы единичного радиуса, т.е. что бы информационный профиль мало отличался внутри этой сферы. Планы, удовлетворяющие этому условию, называются рототабельными униформ-планами. Матрица РЦКП для двух факторов приведена в таблице 4 .26.
Таблица 4.26. План РЦКП для двух факторов
|
Факторы |
№ эксперимента |
|
|
|
|
|
|
|
Центральная точка |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
|
Ядро плана ПФЭ |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
7 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-1 | |
|
8 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 | |
|
9 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 | |
|
Эксперименты в звездных точках |
10 |
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
11 |
1 |
- |
0 |
|
|
0 | |
|
12 |
1 |
0 |
|
|
|
0 | |
|
13 |
1 |
0 |
- |
|
|
0 |
В графическом виде план по проведению эксперимента представляет собой квадрат, как это изображено на рис. 4 .93.
Рисунок 4.93. Графическое представление плана эксперимента
D - оптимальные планы
В D-оптимальных планах значения факторов не выходят за установленные границы диапазонов их изменения. Кроме того, они обладают еще одним существенным достоинством, обеспечивая минимальную ошибку во всем принятом диапазоне изменения факторов. На практике наиболее часто применяются планы Коно и планы Кифера.