книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfреальных тел, теории накопления повреждений в конструкциях при случайных перегрузках, теории сейсмостойкости сооруже ний и др. Вместе с тем имеются области, например норма тивные расчеты сооружений, где статистические методы могут играть лишь роль вспомогательного средства исследования. Здесь статистический и детерминистический подходы могут успешно сосуществовать, взаимно дополняя друг друга. Пере оценка роли статистических методов для этих областей может принести лишь вред.
Напротив, было бы трудно ожидать серьезной (конкуренции со стороны детерминистических методов в таких вопросах, как, окажем, теория хрупкого и усталостного разрушения. Здесь случайная природа явления — его характерная черта. Правиль ное понимание роли и возможностей вероятностных методов в различных вопросах строительной механики является основой для их успешного применения.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1. |
Понятие вероятности |
В основе теории |
вероятностей — математической науки, |
изучающей закономерности случайных явлений, лежит понятие вероятности события. Будем называть событием 'качественный или 'количественный результат опыта, осуществляемого при вполне определенных условиях. В качестве примера возьмем обычное испытание стандартного образца на растяжение. Здесь роль события может играть тот факт, что та или иная механи ческая характеристика оказывается лежащей в определенном интервале (например, предел текучести стали — в интервале 24 кн/см2< R r-<26 кн/см2). Событие называется достоверным, если оно неизбежно происходит при данном комплексе условий, и невозможным, если оно .при этих условиях заведомо про изойти не может. Событие, которое при данном комплексе ус ловий может произойти, а может и не произойти, называется
случайным событием.
Констатация того, что данное событие является случайным, само по себе представляет ограниченный познавательный ин терес. Так, при испытании образца из стали марки Ст. 3 предел
текучести может |
лежать как |
в интервале |
24 кн/см2 RT<Ç |
|
26 кн/см2, |
так |
и в интервале |
34 кн/см2 |
36 кн/см2. |
Оба события |
являются случайными, однако |
возможность их |
реализации, очевидно, неодинакова. Объективной математиче ской оценкой возможности реализации случайного события яв ляется его вероятность.
Существует несколько определений математической вероят ности. Наиболее раннее, классическое определение сводит по нятие вероятности к более простому понятию ранновозможности. Его .появление было тесно связано с теорией азартных игр. Если игральная кость представляет собой вполне правиль-
ный и однородный «уб, то вероятность выпадения определен ного количества очков, например шестерни, равна 1/в. Вероят ность вынуть туза из хорошо перемешанной колоды, содержа щей 52 .карты, равна, очевидно, V52. Хорошее перемешивание карт в этом случае обеспечивает равновозможяость всех вари антов. В сложных задачах классическое определение вероят ности оказывается недостаточным и заменяется статистическим определением.
Для того чтобы выявить на опыте закономерности случай ных явлений, необходимо многократное повторение опыта при одних и тех же условиях, т. е. нужно, чтобы явление было мас совым. Пусть па — количество опытов, в которых наблюдается событие А, п — общее количество опытов. Отношение па In на зывается частотой события А. Если мы будем увеличивать об щее число .опытов п, то обнаружим, что частота события при ближается к некоторому постоянному значению, вокруг кото-- рого происходят колебания с амплитудой тем меньшей, чем больше общее число опытов. Для тех опытов, где применимо классическое определение вероятности, значение, около кото рого колеблется эмпирическая частота, оказывается равным ве роятности данного события. Поэтому значение частоты события при достаточно большом числе опытов может быть принято за приближенную меру вероятности и для тех явлений, к которым классическое определение вероятности непригодно. То обстоя тельство, что с увеличением числа наблюдений эмпирические характеристики приближаются к некоторым объективным ха рактеристикам данного случайного явления, составляет содер жание весьма общего .принципа, носящего название закона больших чисел. Именно на закон больших чисел опирается использование теории вероятностей и математической стати стики для изучения реального мира.
Современная теория вероятностей— аксиоматичеокая нау ка. Она основана на системе аксиом, из которых чисто дедук тивным путем выводятся дальнейшие результаты. Определение вероятности как таковое может и не входить в теорию вероят ностей, хотя оно указывает пути экспериментального .нахожде ния вероятностей и устанавливает связь теории с практиче скими приложениями. При изложении основных положений теории вероятностей мы будем исходить из статистического определения, требуя, чтобы теоретические вероятности преоб разовывались .по тем же правилам и обладали теми же основ ными свойствами, что и соответствующие эмпирические ча стоты. В дальнейшем, большей частью без доказательства, из лагаются некоторые начальные сведения из теории вероятно стей, необходимые для -понимания специальных глав книги. Более подробные сведения можно получить из руководств по теории вероятностей и математической статистике [37, 43, 54, 66, 85].
2. Некоторые основные положения теории вероятностей
Вероятность 'События А будем обозначать через Р(Л ). За мечая, что число опытов па, в которых наблюдается событие Л, лежит в пределах 0< Д 4< Х придем « выводу:
0 < Р ( Л ) < 1 .
При этом нижняя граница достигается для невозможного со бытия, а верхняя — для достоверного события.
Рассмотрим два несовместимых события А и В, т. е. такие события, которые заведомо не могут одновременно появиться в результате опыта. Найдем вероятность того, что произойдет
или событие А, или событие В. Если |
при повторении опыта |
п раз события А и В появились па и пв |
раз, то частота события |
А+В, состоящего в появлении или события А, или события В, очевидно, будет
па + пв |
_ |
па |
. пв |
п |
~~ |
п |
п * |
Потребовав, чтобы вероятности подчинялись тагам же со отношениям, что и соответствующие частоты, придем к теоре ме сложения вероятностей:
Р(Л + В) = Р(Л) + />(В). |
(1.1) |
Эта теорема легко обобщается на случай любого числа не совместимых событий.
Рассмотрим теперь два события Л и В, из которых событие
А реализуется только в том случае, если |
произошло |
событие В. |
|
Пусть |
п а в — число совместных появлений |
событий Л и В, тог |
|
да при |
сделанной оговорке п а в = п а . |
Составляя |
очевидное |
тождество для эмпирических частот
пАВ ПА «в
япв п
приходим к выводу, что ему соответствует соотношение для ве роятностей
|
Р(АВ) = Р(А\В)Р(В). |
|
(1.2) |
Здесь |
Я (ЛВ ) — вероятность одновременного |
появления |
собы |
тий Л |
и В, Р (Л |в )— вероятность появления |
события |
Л при |
условии, что произойдет событие В (условная вероятность).
Если события Л и В являются независимыми, т. е. если по явление одного из них не зависит от появления другого, го
Р(А\В) = Р(Л ), и формула (1.2) принимает вид |
|
Р(АВ) = Р(А)Р(В). |
(1.3) |
Эта формула выражает теорему умножения вероятностей для независимых событий: вероятность совместного появления
двух лезависимых событий равна произведению вероятностей
этих событий. |
|
|
любого числа |
неза |
Формула (1.3) обобщается на случай |
||||
висимых событий Ль Л2, |
Ал |
|
|
|
Я (А Л |
. Лл) = |
Я (А )Р (А ). |
• Я(Л„). |
(1.4) |
Заметим, что при аксиоматическом построении теории ве роятностей формула (1.4) принимается за определение незави
симости событий Ль А2, |
Ап, в приложениях, однако, неза |
||||||
висимость |
событий |
обычно |
устанавливается |
из |
существа за |
||
дачи. |
имеется |
п несовместимых событий В], Вг, |
. , . В п |
||||
Пусть |
|||||||
с вероятностями Р(В\), Я(Вг), |
Д(ВЯ) |
и пусть |
Р(А\В\), |
||||
Я(Л;В2)» |
Р(А\В,,) — условные |
вероятности |
осуществле |
ния события Л. Используя формулы (1.1) и (1 -2), легко полу чим формулу полной вероятности
P(A) = ^ i P(A\B,)p (Bt). |
(1.5) |
3. Примеры
Приведем несколько элементарных примеров на примене ние только что .полученных формул.
Допустим, что имеются три одинаковые урны, из которых первая содержит один черный и три белых шара, вторая — два черных и два белых, а третья — три черных и один белый шар. Урны перемешиваются, после чего из одной из них наудачу вы
бирается один шар. Канава вероятность |
того, |
что вынутый |
шар — черный? |
одна |
из урн, равна |
Вероятность того, что будет выбрана |
7з, а условные вероятности того, что из данной урны будет вы нут черный шар, равны соответственно XU, */2 и 3Л* Отсюда по
формулам (1.1) и (1.2) |
иокомая вероятность .будет |
|
_1_ J , |
_l_ J _ , _3_ _1_ = _1_ |
|
4 ‘ 3 + 2 * 3 + 4 * 3 |
2 |
(впрочем, при данных условиях задачи ответ можно было дать сразу).
Изменим условия задачи. Допустим, что из трех урн выби раются две, из которых вынимается по шару. Найдем вероят ность того, что оба вынутых шара — черные.
Выбор двух черных шаров из двух урн — два независимых события, которые возможны в трех несовместимых комбина циях с вероятностями
- 1 |
' |
Л |
_ L _ J _ |
|
4 |
2 |
* 3 |
24 ’ |
Этот результат можно получить иначе, учитывая, что дч пред ставляет собой вероятность непоявления события А ни в одном. из п независимых испытаний.
Иллюстрацией « только что рассмотренной задаче может служить, например, вычисление вероятности раз;рушения соору жения, находящегося в сейсмическом районе и возведенного без надлежащих антисейсмических мер. Не будем учитывать изменения прочности сооружения со временем вследствие из носа, накопления остаточных деформаций и других аналогич ных факторов (лишь при этом условии схема независимых ис пытаний оказывается здесь применимой). Допустим, что «акимлибо путем найдена вероятность разрушения сооружения в те
чение первого |
года его эксплуатации |
и она оказалась рав |
ной 0,1. Тогда |
вероятность того, что |
сооружение разрушится |
в течение первых двух лет, равна 0,1+0,1 - 0,9=0,19, в течение первых трех лет — 0,1 +0,1 • 0,9+0,1 *0,92=0,271 и т. д. Вероят ность разрушения в течение первых десяти лет оказывается равной 1—0,9'°=0,647, т. е. еще достаточно далека от единицы.
4. Случайные величины и характеристики их распределения
Допустим, что случайное событие состоит в измерении ве личины X, которая принимает различные значения х, лежащие в интервале— х^со . Такая величина называется случай•> ной величиной1. Вероятностные свойства случайной величины ~Х‘ могут быть охарактеризованы при помощи функции распреде- левия F(x), равной вероятности обнаружить значение Х < х :
P (X < x) = F(x).
По самому определению функция F(x) является неубывающей функцией, причем F{— ос) =0, F(со) = 1.
Если |
случайная |
величина |
X может принимать лишь ди |
скретные |
значения |
х\, Хг, |
, то распределение называется |
дискретным. Функция распределения в этом случае является ступенчатой (рис. 1); она возрастает окачками тцри тех значе ниях х, которые являются возможными значениями случайной величины X. Примером диокрегного распределения может слу жить распределение числа пг наступления события в последова тельности п независимых испытаний. Число пг может принимать ©се целые значения от нуля до п, причем вероятность обнару жить пг появлений определяется по формуле (1.6). Отсюда
1 Там, где необходимо различать случайнее, дулн^шры и их ‘возможные значения, случайные величины^ будем Оббзна'чать, как ’правило^ большими буквами латинского алфааита^.а.йСштгеТствующие.^лйаможняе значения — малыми буквами.
|
при л :< 0, |
|
F(x) = 2 c r |
л —т при 0 < л г < я , |
(1.7) |
п<х |
при X > п. |
|
1 |
|
Этот закон распределения называется биномиальным.
Если случайная величина X имеет непрерывное распределе ние (.рис. 2), то первая производная от функции распределения вероятностей существует и называется плотностью вероят ности р 1х) :
Связь плотности вероятности с вероятностью дается формулой
. . |
.. |
Р ( х < X < х -\- Дх) |
|
р(х) = |
lim |
— — |
-------— - , |
|
д* - о |
|
Д* |
которая, в частности, указывает на происхождение самого тер мина «плотность вероятности».
При помощи функции р{х) вероятность обнаружить вели чину X в бесконечном матом интервале х < X < х + dx можно
записать в виде
Р {х < X < х + dx) = р (я) dx,
а вероятность обнаружить ту же величину в конечном «интер вале Х\<Х<Х2 — в виде
Р (*1 < X < |
хг) = |
J р (*) dx. |
|
(1-8) |
Вероятность обнаружить |
величину X |
во всем |
интер |
|
вале— со<;Х^со равна, очевидно, |
единице (достоверное |
собы |
||
тие) . Отсюда получаем условие нормировки |
|
|
||
СО |
|
|
|
|
§p(x)dx = 1. |
|
(1.9) |
||
—00 |
|
|
|
|
В дальнейшем, если это специально не |
оговорено, |
будем |
||
считать распределение непрерывным. |
|
|
5.Средние значения, моменты и дисперсия
Вряде задач знание функции распределения или плотно сти вероятности не является обязательным; в этих задачах до
статочно найти 'некоторые числовые характеристики распреде ления. Для того чтобы обосноЕать введение этих характеристик, возвратимся к статистическому определению вероятности. До пустим, что в -результате п опытов обнаружено, что случайная величина X принимает п.\ раз значение Х\, Щ, раз значение х2 н т. д. Тогда среднее арифметичеокое значение случайной вели чины X будет1
m |
|
2 Xktlk |
m |
A=1 |
= 2 |
п |
|
|
k=s\ |
Бели эмпирические частоты заменить вероятностями Pu
Pz, . . . , Рт, то среднему ариф.мет.ичеокому значению X можно привести в соответствие теоретическую характеристику слу чайной величины
Л1(Х) = 2**Р«. |
(1-10) |
|
|
*=1 |
|
называемую математическим |
ожиданием -случайной |
вели |
чины X. Переходя в п-ределе к |
непрерывному распределению, |
|
получим формулу |
00 |
|
|
|
|
М (Х)= |
^xp(x)dx. |
(1.11) |
—00 |
|
(В качестве примера вычислим математическое ожидание числа m появления события в схеме независимых испытаний. Учитывая, что вероятность осуществления события ©первые в m-м испытании равна, очевидно, pqm~l , по формуле (1.10) най дем
Л1( т ) = V mpqm~x= ^ /л (1 — <7) qm~l . m=l m=l
Сумма этого ряда, как нетрудно показать, равна
М И = Г “ |
= Т * |
1 — Я |
Р |
Возвращаясь к иллюстративному при-меру, которым закан чивается п. 3, видим, что при вероятности разрушения в первый
1 Здесь, как « в дальнейшем, чертой сверху обозначается осреднение яо множеству.
год службы, равной р — 0,1, математическое ожидание срока службы составляет 10 лет.
Согласно закону больших чисел с увеличением числа испы
таний амлиричеокое среднее значение X приближается к мате матическому ожиданию М(Х). При трактовке прикладных во просов они зачастую отождествляются, что находит отражение как в терминологии, гак и в обозначениях. Там, где это не мо жет привести к недоразумениям, мы также не будем делать различия между характеристиками эмпирического распределе ния и их теоретико-вероятностными аналогами и, в частности, вместо обозначения М(Х) будем использовать более компакт
ное обозначение X.
Рассмотрим теперь произвольную функцию g(X) случайной величины X. Исходя из формулы для среднего арифметиче
ского значения функции g(X)
пг
получим соответствующую ей формулу
00 |
(1.12) |
« № = f g(x)p(x)d*. |
Среднее значение степени Xй называется моментом п-го по рядка случайной величины X:
00
(1.13)
—оо
Момент первого порядка случайной величины является, оче видно, просто ее математичеоким ожиданием, а момент второго порядка — ее средним квадратом:
00
Xz — \ х2 р (х) dx. |
(1.14) |
—00 |
|
Средний квадрат отклонения величины X от среднего зна |
|
чения называется дисперсией и обозначается через D{X): |
|
00 |
|
D (X) = (X—X)2 = f (JC— X)2р {x) dx. |
|
Учитывая формулы (1Л1) и (1.14), найдем, что |
|
D (X )= X 2— (X)2. |
(U 5 ) |