книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfНапряжения и деформации подземных трубопроводов, про кладываемых в статистически неоднородном грунте, являются случайными функциями осевой координаты. Это обстоятельства должно учитываться при расчете трубопроводов на прочность: параметры трубопровода должны быть выбраны так, чтобы ве роятность достижения предельного состояния была достаточно малой. В некоторых случаях наряду с условиями прочности мо гут быть поставлены условия жесткости. Так, если трубопровод служит для передачи направленных световых пучков, то вероят
ность превышения прогибом некоторого уровня на заданной длине трубопровода должна быть достаточно мала. В случае трубопроводов, играющих роль волноводных линий связи или энергетических волноводов, должны быть достаточно малы зна чения спектральной плотности кривизны оси волновода, соответ
ствующие определенным диапазонам волновых чисел.
Будем рассматривать трубопровод, проложенный в грунте, как бесконечно длинный упругий стержень, лежащий на сплош ном упругом основании винклеровского типа. Изгибную же сткость стержня обозначим через EI, эффективную ширину стержня через Ь, коэффициент отпора основания, равный давле нию, которое требуется для погружения штампа на единицу глу бины, через с. Выберем систему координат Oxz, как показано на рис. 81. Предположим, что основание, подготовленное для уклад ки трубопровода, является неровным. Пусть уравнение кривой, описывающее эту начальную неровность, будет w=u(x). Погон ную нагрузку от вышележащих слоев грунта обозначим через q(x). Составим уравнение изгиба трубопровода.
Нагрузка на единицу длины стержня складывается из дав ления вышележащего грунта q(x) и реакции основания, рав ной— cb(w—и). Подстановка в уравнение%изгиба стержня дает
El d*w ■-f- bcw = q-\- beu. |
(5.113) |
dx*
Допустим, что нагрузка q, коэффициент отпора с и неров ность и являются стационарными эргодическими случайными функциями координаты х. Среднее значение нагрузки и коэффи циента отпора обозначим соответственно через qo и с0. Среднее значение функции и примем равным нулю, что всегда можно
сделать, выбрав соответствующую глубину h (рис. 81). Допу стим далее, что эти функции могут быть представлены в виде:
Я= Яо+ V- <h (х),
C = C0 + [LCl (X), |
(5.114) |
U = р. Uy (х).
Здесь q\(x), Су(х) и U\(x) — стационарные эргодические слу чайные функции со средними значениями, равными нулю, ц — малый параметр. Введение малого параметра означает, что не однородности предполагаются статистически малыми (вероят ность больших отклонений от средних значений достаточно мала).
Учитывая формулы (5.114), будем искать решение уравнения (5.113) в виде ряда
w (х) = w0(x) -f р щ (х) + р2 w2 (х) + |
(5.115) |
|||
Подставляя |
(5.114) и |
(5.115) в |
(5.113) и сравнивая члены, со- |
|
дёржащие одинаковую степень параметра р, получим |
последо |
|||
вательность уравнений: |
|
|
|
|
E I - ^ - + b c 0w0 = q0, |
|
|
||
|
dx* |
|
|
|
ш |
+ Ьс w |
Œ дг(*) _ |
bcx(x) w0+ Ьс0иг(х), . |
(5.116) |
|
их* |
|
|
El — — -f bc0w2= — bCi(х) wx(x) + Ъсх(х) их(х)
dx*
и т. д. Интеграл первого уравнения, ограниченный на ± оо, име ет вид
в|„ = -Г -- |
(5.117) |
OCQ |
|
Таким образом, WQ является прогибом стержня в однородных условиях. С точки зрения расчета на прочность и жесткость ин терес представляет выражение w—ю0 = рте>|(>) + р2до2(*) +
Его среднее значение равно нулю. Для среднего квадрата имеем формулу
(w— w0)2= jj.2 w[ (х) -f- 2[х3 Wi (х) w2 (х) + |
(5.118) |
где чертой обозначено осреднение по множеству реализаций (или по координате х), а точками обозначены члены, содержащие р в степени выше третьей. Из формулы (5.118) видно, что с точ
ностью до р2 средние квадраты (ку—к>0)2 и ш | совпадают. Это' замечание относится и к соответствующим корреляционным функциям. Имея в виду, что параметр р является достаточно малым, ограничимся рассмотрением функции W\(x).
В дальнейшем будем обозначать функции рдо,(х), р^|(х),
pCj(x) и цщ(х) просто |
через W\(x), <7i(*), |
ci(x) |
и иДх) соот |
ветственно. Для определения функции wl(x) |
имеем уравнение |
||
El |
-d*Wl--j- bc0wx = г (x). |
|
(5.119) |
|
dx* |
|
|
Здесь |
|
|
|
г (x) = qx(x) — bcx (x) w0-f bc0 ux(x). |
(5.120) |
Введем по формуле (5.12) спектральные плотности для слу чайных функций W\ (х) и г(х) :
(“) = |
— |
Ç к> (х) w (х -+- £) cos шЕ d\, |
|
|
к |
о |
(5.121) |
|
|
00_____________ |
|
|
|
|
|
Ф, (со) = |
JL f г (х) г (х + Ç) COS ш£ <&. |
|
|
|
•гг |
•' |
|
Используем далее соотношение (5.28) между спектральными плотностями «входа» и «выхода» линейной системы. Замечая, что передаточная функция F(iсо) системы, описываемой уравне нием (5.119), имеет вид
f (>'“>) = |
El ш* + Ьс0-. |
(5.122) |
получим |
|
|
« . ( • ) = |
Фг(«) |
v(5.123) |
(ЕЫ* + Ьс0)* |
Нетрудно получить соответствующую формулу для спектраль ной плотности Ф>.(со) кривизны оси трубопровода я. Учитывая, что при малых прогибах к ~d2wldx2**d2W\ldx2 и принимая во внимание вытекающую из формул (5.5) и (5.12) связь между •спектральными плотностями процесса X(t) и его производных, придем к формуле
* .( « ) = ,r ,rl T L w |
(5.121) |
(£/ш4 -f- 6с0)2 |
|
Выпишем также формулы для среднего квадрата |
дополни |
тельного _прогиба до? и среднего квадрата кривизны оси трубо провода к2:
w î - { |
Фг(to) dm |
|
J |
( £ / 0 , 4 + ÔC0)2 |
|
00 |
(5.125) |
|
Фг (о>) о»4 àM |
||
"^2 = f |
||
J |
(£/0,4+K ) 2 |
Формулы (5.123) и (5.124) можно переписать в виде
|
bl 4 |
[ <*о ) |
|
фх(ш) |
фг(о>) <4 |
и |
(t) |
“Ос0 |
|||
& л |
|
где введены следующие обозначения:
/.< “) = г г г г г . /><«) — ■
(а* 4-1)*
а» + -----
а*
(5.126)
(5.127)
[й размерность м ~ 1, будем называть шелом системы «трубопровод — упруïoe волновое число лишь множителем вого числа, входящего в общий инте- >угом основании с коэффициентом от-
28) позволяют, не конкретизируя вида т(ш), сделать некоторые общие вывогрунта и жесткости трубопровода на леднего.
а,, характеризующей связь между не* условий и неоднородностью прогибов рис. 82. Из графика видно, что систе ме основание» является хорошей сгланеоднородности грунтовых условий.
Это особенно проявляется в области волн, длины которых до статочно малы по сравнению с собственной длиной
Х0= - ^ - . |
(5.129> |
со0 |
|
В то же время для неоднородностей, длины волн которых ве лики по сравнению с собственной длиной, сглаживающий эф фект невелик.
Сказанное относилось к неоднородности прогиба трубопрово да. С точки зрения расчета трубопровода на прочность интерес представляет статистическое распределение для кривизны. Гра фик для функции fx , входящей вовторую формулу (5.126),при
веден на том же рис. 82. Из графика видно, что наименьший
сглаживающий эффект имеет место вблизи ©=<оо. В самом деле, при (о=шо функция / х имеет точный максимум Следовательно,
с точки зрения кривизны оси трубопровода система «трубопро вод— упругое основание» хорошо сглаживает лишь те неодно родности, характерная длина которых мала или велика по срав
нению с собственной длиной V |
видно, что Чем больше жесткость |
Из формул (5.128) и (5.129) |
|
трубопровода £ / и чем меньше |
жесткость грунта с0, тем боль |
ше длина Х0- В качестве примера в табл. 5 приведены значения Хо при разных грунтовых условиях для двух типов трубопрово дов: для металлического трубопровода с наружным диаметром d=6U мм и изгибной жесткостью £ /= 1 0 е кнсм2 и для трубопро вода с наружным диаметром d=120 мм и изгибной жесткостью £7= 107 кнсм:2. В качестве эффективной ширины b в обоих слу чаях принят наружный диаметр d.
|
|
|
Т а б л и ц а 5 |
|
_g |
|
1 , |
|
|
|
|
Тип грунта |
f( в н/см |
£ / —10*/ск ем* |
£ / * 1 0 ’ кн см1 |
|
|
||
Песок свеженасыпанный |
1 -5 |
4,7—7 |
7,2—10,7 |
слежавшийся |
5 -5 0 |
2 ,6 -4 ,7 |
4—7,2 |
плотно слежавшийся |
50—100 |
2,2—2,6 |
3,4—4 |
Рассмотрим возможные аналитические представления для корреляционной функции и спектральной плотности стационар ной случайной функции г(х), которая выражается через случай ные функции qi(x), С|(х) и «î(jc). Факт затухания корреляции значений функции г(х) в двух точках с координатами х и х+1 по мере увеличения расстояния g может быть описан при помощи выражений типа (5.15) при 6=0. Но функция г(х) мо жет содержать скрытые периодичности. Эти периодичности мо гут быть обусловлены технологией отсыпки песчаной подушки, технологией закрытия траншеи и т. д. В этом случае естествен но взять корреляционную функцию в виде (5.15)
г(х)г(х + £) = /С0е e,e*cos6Ç. |
(5.130) |
Здесь а и 0 — параметры, имеющие размерность м~1. В дальней шем будем задавать грунтовые неоднородности в виде (5.130). Формула (5.130) дает удобную аппроксимацию для реальных корреляционных функций, многие из которых имеют ярко выра женный участок отрицательной корреляции.
Вместо Ко удобно ввести безразмерный коэффициент р по формуле
Ко = P2 <70. |
(5.131) |
Будем называть его коэффициентом неоднородности грунтовых условий. Учитывая формулу (5.120), найдем, что
(q, — Ьс\ w„ + bc0u,)*
(5.132)
4
Коэффициент р характеризует разброс суммарной нагрузки на трубопровод (т. е. суммы давления верхних слоев и реакции грунта) и неровность начальной поверхности основания. Очевидно, что при достаточно однородных условиях р2 < 1.
Используя формулы (5.16), (5.130) и (5.131), получим сле дующую формулу для спектральной плотности Фг (оо):
Ф (ш) = |
.fiüiL |
[ |
-------- î-------- |
+ |
--------- 1-------- |
] . (5.133) |
Г' ’ |
п |
[ |
(о) — 0)*-fa2 |
|
(о» + в)» |
a* J |
На рис. 83 представлены результаты вычислений по формуле (5.133). Максимум спектральной плотности достигается вблизи о = 0.
Рис. 83
Наиболее существенным фактором, входящим в функцию не однородности г(х), является разброс коэффициента отпора уп ругого основания. Статистические свойства коэффициента отпо ра песчаных оснований исследовались группой сотрудников МЭИ под руководством В. Л. Благонадежина и Е. П. Кудряв цева. Определялись средний коэффициент отпора Со, его средне квадратическое отклонение ос и значения нормированной кор реляционной функции стационарного случайного процесса ci(*):
Ci (*) Ci (x + €)
P(S) =
На рис. 84 приведен график для случая основания из мелко зернистого сухого песка. Экспериментальные точки соответству ют результатам изменения коэффициента отпора в 162 точках с интервалом между ними, равным 15 см. Штамп имел форму круговую в плане'х диаметром 5 см. Максимальное давление на грунт составляло 2,3 нсм~2. На рис. 84 показана полоса, соот
ветствующая 90% доверительной вероятности. Средние коэффи циенты отпора для данного основания в трех сериях опытов ока зались равными 5,8, 6,2 и 6,41 нсмг*\ средние квадратические отклонения составляли соответственно 1,75, 2,38 и 1,93 нсмгг.
Жирной линией на рис. 84 нанесена кривая
р(£) = e_aU lcos0S.
Наилучшее приближение к экспериментальным точкам полу чается при 0 =3,65 м-1, а=2,75 м~К
Применение формул (5.124), (5.125) и (5.133) к расчету тру бопроводов на прочность и жесткость на основе теории случай ных выбросов будет дано в п. 66.
НАКОПЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИИ И ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ НАГРУЗКАХ
62. Общая характеристика проблемы
Выход конструкции из строя — отказ—редко бывает связан с ее разрушением в буквальном смысле этого слова. Обычно это является результатом постепенного накопления повреждений, остаточных деформаций, износа и т. п., которые, достигнув оп ределенной величины, начинают препятствовать нормальной экс плуатации конструкции. В течение срока службы конструкция работает в условиях повторно-переменного нагружения, пред ставляющего собой некоторый случайный процесс. Накопление повреждений поэтому также является случайным процессом. Зная изменение вероятностных характеристик этого процесса со временем, мы могли бы судить о распределении повреждений к концу установленного срока службы сооружения. У правильно запроектированной конструкции к концу эксплуатации вероят ность некоторой предельной величины повреждения не должна быть чрезмерно велика. Таким образом, проблема накопления повреждений при случайных перегрузках оказывается тесно свя занной с основами расчета конструкций на надежность.
Такой подход представляет дальнейший шаг вперед по срав нению с анализом предельных состояний в его вероятностной трактовке и является его логическим развитием. Переход к ана лизу накапливаемых повреждений позволяет преодолеть теоре тические трудности, характерные для метода предельного со стояния.
К ним относятся в первую очередь проблемы учета фактора времени, изменчивости и сочетания нагрузок. В самом деле, только в первом приближении внешние нагрузки можно рассматривать как совокупность некоррелирующих случайных величин. В действительности же изменение нагрузок представля ет собой развертывающийся во времени процесс, и только такая трактовка позволяет правильно учесть влияние срока службы, изменчивости и корреляции нагрузок. Но если внешние нагрузки
являются случайным процессом, то и поведение конструкции яв ляется таковым; мы приходим, таким образом, к необходимости рассматривать процесс накопления повреждений. Основным по
нятием в новом методе становится более конкретное понятие меры повреждения, за которую в зависимости от типа и харак тера работы конструкции могут быть приняты: величина харак терной остаточной деформации, размеры трещины, уменьшение рабочего сечения вследствие износа и т. п.
Некоторые элементы анализа повреждаемости содержатся в методе предельных состояний. Это находит отражение, напри мер, в предоставляемой свободе для трактовки понятия «пре* дельное состояние», которое можно истолковать (хотя это обыч но не делается) как достижение к концу срока службы предела ной величины меры повреждения. Как уже подчеркивалось, было бы неправильным смотреть на статистические методы ана лиза предельных состояний как на массовое расчетное средство: они были и останутся в первую очередь средством исследования. Сказанное относится также к излагаемому здесь методу, кото рый использует более сложный математический аппарат и более сложные понятия. Однако в ряде задач (например, в задаче о накоплении усталостных повреждений при напряжениях, пред ставляющих собой стационарный случайный процесс) результа ты могут быть доведены до простых расчетных формул.
Накопление остаточных деформаций упруго-пластической си стемы под действием случайных сил рассматривалось, по-види мому, впервые в первом издании настоящей книги. Накоплению усталостных повреждений посвящена более обширная литера тура [12, 99, 152, 179]. Развитие этого вопроса дано в работах [22, 25, 26, 27, 34], на базе которых написаны в основном пп. 69— 75 настоящей главы. Отдельные результаты данной главы пуб ликуются впервые.
Рассматривая вопрос о надежности конструкций при случай ных перегрузках, необходимо выделить следующие три класса задач. К первому классу относятся задачи расчета конструкций, находящихся под действием кратковременных нестационарных нагрузок с весьма высоким уровнем напряженности.
Таковы, например, сейсмические и взрывные нагрузки, пред ставляющие собой нестационарный случайный процесс. Здесь вопрос о накоплении повреждений, естественно, не возникает; задача состоит в отыскании вероятности хотя бы однократного достижения опасных состояний при реализации такого случай ного процесса. Пример такого процесса показан на рис. 85, где через s(t) обозначен обобщенный параметр внешней нагрузки, а через R — обобщенные характеристики несущей способности (ха рактеристика Ra соответствует полному разрушению, R„— по явлению первых макроскопических остаточных деформаций, R j — характеристика, которая в терминах напряжений соответ ствует пределу выносливости).