книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfДля вычислений может оказаться удобным несколько иное лредставление
N = N0 + |
(N1 - N 0) ( |
(3 65) |
где R; — средний предел |
выносливости, а |
ф — случайная вели |
чина |
|
|
■*/
с фунмцией распределения
F (■») = 1 _ exp [ - |
( * \ ~ — )‘] ' |
(3-66) |
Эти зависимости будут использованы в шестой главе для оцен ки долговечности конструкций, загруженных переменными си лами.
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
КЗАДАЧАМ УСТОЙЧИВОСТИ
36.Анализ понятия устойчивости в строительной механике
Настоящая глава будет целиком посвящена приложениям статистических методов к проблеме устойчивости равновесия конструкций. Поскольку эти приложения потребуют некоторого развития привычных представлений об устойчивости в строи тельной механике, мы начнем с анализа этих представлений.
Р. Веллман [13] охарактеризовал термин «устойчивость» как «сильно перегруженный термин с неустановившимся определе нием». Это замечание можно целиком отнести и к понятию ус тойчивости в строительной механике. Смысл, который инженерпроектировщик интуитивно вкладывает в понятие устойчивости проектируемой им конструкции, оказывается зачастую несовпа дающим с содержанием определений, приводимых в учебных курсах.
Идеализированная конструкция, проектируемая инженером, отличается от осуществляемой затем по этому проекту реаль ней конструкции. Это отличие обусловлено многочисленными более или менее мелкими отклонениями, дефектами и несовер шенствами. Инженеру необходима уверенность в том, что не смотря на наличие этих отклонений, реальная конструкция бу дет работать примерно так же, как и соответствующая ей иде ализированная конструкция. При отсутствии такой уверенно сти проектирование утратило бы смысл. Равновесие проекти руемой конструкции устойчиво, если малые несовершенства и дефекты вызовут соответственно малые отклонения от идеали зированных условий работы. Если же малые несовершенства вызывают непропорционально большие отклонения, то равнове сие является неустойчивым. Проектировщик должен выбрать размеры конструкции таким образом, чтобы при всех возмож ных комбинациях нагрузок равновесие конструкции оставалось устойчивым по отношению ко всем видам возмущений, которые
могут встретиться, и, более того, чтобы обеспечивался опреде ленный запас устойчивости.
Высказанные соображения могут быть положены в основу определения устойчивости. Понятие устойчивости (неустойчи вости) характеризует соотношение между возмущающими при чинами и вытекающими из них следствиями. Допустим, что при чины, вызывающие отклонение системы от исследуемого невоз мущенного состояния равновесия, могут быть охарактеризова
ны |
величинами щ, |
ит, а следствия — величинами Оь |
|||||
t>2, |
va. Для невозмущенного состояния все |
ик |
и vk |
рав |
|||
ны |
нулю. Невозмущенное равновесие называется |
устойчивым |
|||||
на |
интервале времени Т по отношению к причинам щ, U2,— u.m |
||||||
и |
следствиям o\t v2, |
vn, |
если для любой заданной |
сово |
|||
купности положительных |
чисел |
ч\г, |
ijft, |
как бы |
малы |
они ни были, можно выбрать такую совокупность положитель
ных чисел еч, ег, |
е„„ чтобы на всем |
интервале Т из нера |
|
венств |
|
|
|
I |
I ^ |
(b ~ 1 »2, |
• ni) |
следовали неравенства |
|
|
|
K I < |
^ ( А = 1 .2 . |
»)• |
|
Иначе говоря, невозмущенное равновесие называется устой |
|||
чивы м если, уменьшая |
причины, вызывающие отклонения от |
него, можно сделать следствия меньшими, чем любые наперед заданные величины.
Приведенное обобщенное определение устойчивости не яв ляется математически строгим. В частности, остается не опре деленным, что следует понимать под величинами, называемыми «причинами» и «следствиями». Конкретизируя эти величины, мы будем получать различные более частные определения ус тойчивости. Так, рассматривая в качестве причин, вызывающих отклонения, возмущение начальных условий в момент времени /= 0 и следя за отклонениями системы от невозмущенного со стояния при /> 0, мы придем к классическому определению ус тойчивости по Ляпунову. Ряд других определений устойчиво сти, например, устойчивость решений дифференциальных урав нений по отношению к изменению параметров или по отноше нию к постоянно действующим возмущениям, также является частным случаем приведенного выше обобщенного определения устойчивости по Ляпунову.
Возвратимся к понятию устойчивости в задачах строительной механики. Условие устойчивости, предъявляемое к проектиру емым конструкциям наряду с условиями прочности и жестко сти, может быть сформулировано теперь следующим образом:
равновесие идеализированной конструкции должно в течение всего времени эксплуатации реальной конструкции обладать ус
тойчивостью по отношению ко всем классам возмущений, от личающих ее от реальной конструкции. В этом смысле условия устойчивости более органически связаны с выбором расчетной схемы, чем условия прочности и жесткости. Так, если схема уточняется путем учета ряда факторов, отличающих идеализи рованную конструкцию от реальной, то некоторые условия ус тойчивости могут видоизмениться или отпасть вообще. Допу стим, что в качестве расчетной схемы взят идеально прямой центрально нагруженный и однородный стержень (рис. 36). На иболее важными классами возмущений, отличающих реальный
стержень от расчетной схемы, являются на чальное искривление и эксцентрицитеты сжимающей силы. Утверждение о том, что прямолинейная форма стержня (т. е. идеа лизированная схема реального стержня) устойчива по отношению к этим двум клас сам возмущений, эквивалентно утвержде нию, что, делая начальные искривления и эксцентрицитеты достаточно малыми, мы будем получать прогибы меньшие, чем лю бая наперед заданная величина. Если сжи мающая сила Р меньше эйлерова значения Рв, то прямолинейная форма устойчива. Напротив, при Р>Р3 даже сколь угодно малые возмущения приводят к конечной ве личине прогиба (рис' 37).
Представим себе теперь, что величина начальной кривизны и эксцентрицитета за даны и что расчет ведется по схеме искрив ленного и внецентренно нагруженного стержня. В такой постановке во
прос об устойчивости прямолинейной формы стержня по отношению к возмущениям этого класса немедленно снима ется и заменяется отысканием напряженного и деформиро ванного состояния по уточненной расчетной схеме. При этом, правда, может возникнуть новая задача об устойчивости этого состояния по отношению к некоторому новому классу возмуще ний. Аналогичные примеры можно было бы привести, рассмат ривая задачи, в которых потеря устойчивости сопровождается скачкообразным изменением напряженного и деформированно го состояний.
В отличие от обобщенного понятия устойчивости по Ля пунову, тесно связанного с теорией устойчивости движения, в строительной механике обычно рассматривается устойчивость по отношению к «пробным нагрузкам». Равновесие системы на зывается устойчивым, если система после удаления небольшой дополнительной нагрузки возвращается к первоначальному равновесию. Данное определение является, очевидно, частным
случаем общего определения устойчивости. При этом в его ос нове лежит весьма частный класс возмущений, не имеющий в большинстве практических задач существенного значения.
Для упругих систем, нагруженных потенциальными силами, метод «пробных нагрузок» всегда дает правильный ответ об устойчивости по Ляпунову. Равновесие, устойчивое по отноше нию к «пробным нагрузкам», оказывается устойчивым и по от ношению ко всем практически важным классам возмущений. Положение существенным образом меняется в задачах неупру-
f /l |
Р?Рэ |
гой устойчивости. В результате необоснованного распростране ния концепции «пробных нагрузок» на эти задачи в течение не скольких десятилетий считалось, что так называемая приве- денно-модульная нагрузка является критической нагрузкой для центрально сжатых упруго-пластических стержней. Лишь впо следствии было показано, что действительная критическая сила для таких стержней существенно зависит от класса возмуще ний и самого их изменения в процессе роста нагрузки. В зави симости от характера нагружения и характера изменения воз мущений, сопровождающих процесс нагружения, критическая сила может принимать различные значения от касательно-мо дульной до приведенно-модульной нагрузки.
37. Об учете случайных возмущений
Подход, основанный на соображениях устойчивости, позво ляет значительно упростить расчетную схему и расчеты в це лом. Вместо того, чтобы вести расчет по уточненной схеме с учетом возможных возмущений, оказывается достаточным рас
считать систему по схеме, в которой эти возмущения отсутст вуют. Вслед за этим необходимо убедиться в том, что уточнен ная схема будет сколь угодно близка к упрощенной схеме, если
только возмущения достаточно малы. В целом такой |
расчет |
||
оказывается |
много проще, чем |
детальный расчет конструкции |
|
с учетом всех |
(или даже части) |
возникающих в процессе ее эк |
|
сплуатации возмущений. |
|
может |
|
К сожалению, такой упрощенный подход не всегда |
|||
'быть оправдан. Возмущения, возникающие в реальных |
конст |
рукциях, являются конечными и не всегда очень малыми. По этому установление того факта, что в определенном диапазоне нагрузок невозмущенная форма равновесия обладает устойчи востью по отношению к определенному классу возмущений, да леко' не всегда оказывается достаточным для практических це лей. Можно привести немало примеров, подтверждающих это положение. Благодаря наличию конечных, хотя и малых на чальных искривлений и малых эксцентрицитетов предельное состояние сжатых стержней достигается при нагрузках, мень ших, чем критические силы для центрально сжатых стержней. В качестве другого примера укажем на задачи об устойчивости тонких упругих оболочек. Во многих из этих задач сравнитель но малые возмущения (например, малые начальные прогибы) оказывают весьма существенное влияние на величину предель ных нагрузок. Это заставляет идти на уточнение расчетной схе мы: вместо задачи об устойчивости равновесия идеальной обо лочки приходится рассматривать гораздо более сложную зада чу о формах равновесия оболочки с конечными начальными прогибами и другими несовершенствами.
Возмущения, имеющие место в реальных конструкциях, не являются вполне детерминированными. Скорее, они имеют слу чайный характер и подчиняются некоторым статистическим зако номерностям, для изучения которых необходимо накапливать опытный материал, относящийся к испытаниям и измерениям в однородных условиях. Ввиду этого поведение конструкции при наличии возмущений должно исследоваться методами теории вероятностей и математической статистики. Основная задача
формулируется здесь следующим образом: |
зная распределение |
|
вероятностей для параметров возмущений щ, и2, |
ит, най |
|
ти распределение для параметров vx, v2, |
. vilt |
описывающих |
деформированное состояние конструкции. |
|
|
Нетрудно видеть, что такое статистическое рассмотрение со держит в себе как частный случай обычную трактовку устойчи вости. При этом устойчивой форме равновесия будет соответст вовать максимум вероятности ее реализации, неустойчивым — ■минимум вероятности. Значение параметра нагрузки, при кото ром рассматриваемому равновесию перестает соответствовать максимум вероятности, представляет собой не что иное, как критичеокое значение в теории упругой или неупругой устойчи
вости. Вместе с тем статистическое рассмотрение позволяет описать поведение конструкции по отношению к различным классам возмущений более полно, чем это возможно в рамка» обычных представлений об устойчивости.
В ряде задач, где учет возмущений является безусловно не обходимым, расчет ведется по максимальным или, точнее, по некоторым маловероятным максимальным значениям возмущенин. Типичным примером является расчет сжатых стержней на продольный изгиб. Начальные искривления и эксцентрицитеты
распределены по случайному закону. Тем не менее нормы рас чета составляются в предположении, что начальная кривизна /о и эксцентрицитет е составляют вполне определенную долю от длины стержня 7 и ядрового расстояния г, например [117]:
Эта и аналогичные рекомендации, носящие внешне детермини стический характер, содержат вместе с тем элементы наивного статистического подхода: они соответствуют некоторым доста точно маловероятным значениям возмущений (рис 38).
Существенный шаг вперед был сделан А. Р. Ржаницыным [90], который применил к задаче о продольном изгибе расчет ную методику, описанную в п. 22. Пусть s0 — осевое напряжение в сжато-изогнутом стержне, sa— эйлерово напряжение, а и р — безразмерный начальный прогиб и безразмерный эксцентрици-
тет соответственно. Тогда условие того, что краевые напряжения не превысят предела текучести # т
Ч1 + 7 3
\S3
может быть записано как условие неотрицательности функции
Ч?:
VF = /?T- s 0 /l + |
д + Р |
> |
0. |
(4.1) |
||
1 - 3 . |
||||||
|
|
|
|
|||
Здесь имеется четыре случайных параметра |
(RT, s0, а и р ) , |
ко |
||||
торые А. Р. Ржаницын предполагает |
некоррелированными |
и |
подчиняющимися гауссовскому распределению. Кроме того, пред.
полагается, что а = р=0. Линеаризируя функцию (4.1) и при меняя формулу (2.23), найдем приближенное выражение для коэффициента изменчивости
(D(a)-D({»)]
Я (Ят) + D (s0) +
( ■ - 5
Лг — s0
■Правую часть формулы (4.2) нетрудно выразить через гиб кость X и через коэффициент
т— _ ♦
RT
который можно трактовать как аналог коэффициента продоль ного изгиба. С другой стороны, коэффициент изменчивости w связан с характеристикой безопасности
1
1 ~ wv
и, следовательно, с вероятностью наступления опасного состоя ния Я(—). Задаваясь вероятностью Р (—), нетрудно вычислить соответствующие значения <р, зависящие от гибкости X. Таким образом были получены семейства кривых, каждая из которых соответствует некоторой установленной вероятности нарушения неравенства (4.1).
В качестве другого примера укажем на задачи устойчивости безмоментного состояния тонких оболочек. Хорошо известно [18, 39, 40], что критические силы для таких оболочек весьма чувствительны к малым искривлениям, эксцентрицитетам и дру гим возмущениям, отличающим условия работы реальной обо лочки от идеального безмоментного состояния. Поэтому опыты нередко обнаруживают весьма большой разброс критических
сил. На рис. 39 сведены многочисленные опытные результаты,
относящиеся к сжатым цилиндрическим оболочкам |
(s — безмо- |
|
ментное напряжение сжатия, г — радиус срединной |
поверхно |
|
сти, h — толщина |
оболочки). Авторы работы (158] |
обработали |
эти результаты, |
нанеся на график зависимости критического |
напряжения s от отношения r/Л кривые, соответствующие 90 и 99% надежности.
На связь между задачами устойчивости механических си стем и вероятностными понятиями указывалось и ранее [2]. Не-
5
Рис. 39
обходимость привлечения статистических методов к задачам устойчивости оболочек отмечалась, в частности, А. С. Вольмиром [39]. В обзорной работе Лангхаара [69] эта мысль была распро странена на теорию упругой устойчивости в целом.
В нашей работе [18] статистические методы были впервые применены к задачам нелинейной теории упругих оболочек. Развитые в этой работе методы полностью применимы и в дру гих задачах упругой (и неупругой) устойчивости. Настоящая глава содержит развитие этих методов.
38. Некоторые общие соображения
Предположения, на которых основана излагаемая ниже тео рия, сводятся « следующему. Предполагается, что возмущенное состояние может быть охарактеризовано конечным числом па раметров vu v2, va, а причины, вызывающие отклонение
от невозмущеиного состояния, — конечным числом |
параметров |
|
«ь «2t |
• ит• Детерминистическая связь между ними предпо |
|
лагается |
известной, т. е. считается, что известны |
соотношения |
Vk = vk(u1, u 2, |
,. um, q) |
(4.3) |
(k = 1, 2, . . n).
В число аргументов включен параметр нагрузки q, если внеш ние силы изменяются пропорционально одному дараметру. В более общем случае
= vk{ult и2, |
. um, q„ q2, . |
. qr) |
(4.4) |
|
(k = 1 , 2 , . |
.n), |
|
|
|
где среди параметров qj |
могут быть и величины, характеризу |
ющие механические свойства материала. Наконец, предполага
ется, что |
известна |
совместная |
плотность |
вероятности |
||||||
p(ui,~Ufr . |
ит) или, в более общем случае, плотность веро |
|||||||||
ятности р(ии и2, |
. ит, qu q2, |
. qr). |
Заметим, |
что если |
пред |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
положить |
монотонное изме |
|||||
|
|
|
|
нение |
параметра |
нагрузки |
||||
|
|
|
|
q, |
то зависимость |
(4.3) мож |
||||
|
|
|
|
но |
считать |
однозначной. |
||||
|
|
|
|
Сделанное замечание |
нуж |
|||||
|
|
|
|
дается |
в |
пояснении, |
так |
Я
\ I /
как в ряде случаев явление неустойчивости тесно связано с мно гозначностью решений.
Рассмотрим диаграмму на рис. 40, которую можно истолко вать «ак построенный в первом приближении график зависимо сти нормального прогиба v от нагрузки q для пологой арки (рис. 41). При фиксированном значении нагрузки q=q\ имеется три решения CD, CD' и CD". Однако решение CD", как и во обще ветвь АВ, должно быть сразу отброшено как неустойчивое ло отношению к малым возмущениям, т. е. как физически не осуществимое. Остаются два решения, из которых при подходе к нагрузке q\ снизу осуществляется CD, а при подходе-сверху— CD'. Если же по условиям задачи на загруженную арку дей
ствуют конечные возмущения в виде |
отклонений До, то после |
|
их включения в число параметров U\, |
и2, |
ит зависимость |
остается однозначной: если нагрузка q монотонно возрастает и Av<DD", то осуществляется решение CD, если Av>DD",торе-