книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями
..pdfОбозначим величину, обратную жесткости оболочки на растяжение, через В:
£ = 1 /( £ ,А ) . |
(1 .57) |
В связи с тем, что изучение поведения оболочек с вырезами мы условились осуществлять на оплошной модели, В будет переменной
величиной, функцией координат х и у: |
|
|
|
|
|
В = В ( х ,у ) . |
|
|
(1.58) |
Перепишем соотношения (1.8) с введением в них жесткости на |
||||
растяжение и функции напряжений: |
|
|
> |
|
■=ВА ( d2F |
&F |
д?Р |
d2F |
|
dtp |
dx2 |
dx2 |
dtfl |
|
Y = |
— 2 ( l - f \i)Bk |
d*F |
|
(1.59) |
|
|
dxdy |
|
|
Зависимости (1.59) подставим в уравнение совместности дефор маадии (1 .7 ), в результате получим:
B y 4F - |
тв |
|
|
|
|
|
|
|
&F |
|
djс2 |
V dx2 |
|
dip |
) |
|
дх |
\ дхъ |
|||
|
|
|
||||||||
. 2 |
дВ |
I |
d*F |
|
) + |
* |
d*B |
|
/ |
d2F |
ду |
|
___ | |
дуЪ |
* . ( |
|
|
||||
|
\ dx2dy |
1 |
|
ду2 |
|
\ ду2 |
||||
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
+ 2 (1+|») |
___ - L ( w , |
k dy2 |
dxdy dxdy |
2k |
Здесь введен оператор L(w , w):
d*F
) + dxdy2)
d2F )+ dx2
k„ d2w
(1.60),
h dx2
|
|
L (ш, w) = 2 |
Г ^ - - 2 * |
|
_ |
[dxdy I J |
|
|
(1.61) |
||||
|
|
|
|
|
L dx2 |
dy2 |
|
|
|
|
|||
Уравнение движения элемента оболочки (1.53) |
после |
введения |
|||||||||||
функции напряжений примет вид: |
|
|
|
|
dxdy2 )+ |
||||||||
г -l а . |
d%D |
{ d^w |
I |
|
L)+!«( dx^ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D v % + |
i ^ |
f e - + t i |
dy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 0 dD ( |
|
d%w |
|
|
|
|
d%w |
|
d2w |
|
|||
dy |
\dx2dy |
дуз |
|
дУ2 |
\ |
dy2 |
|
|
|
||||
d%D |
|
d^w |
|
|
|
|
|
|
' *■ ■mF |
' |
- v, |
. * » |
|
+ 2 ( l - | » ) - ! = i l |
- ^ = h L ( w ,F \ + k , h |
|
|||||||||||
dxdy |
|
|
h L { w ,F ) + k J i |
^ + kj ™ + q - & h * * L . |
|||||||||
dxdy |
|
|
|
' |
|
y2 |
1 а дХ2 |
|
g |
dt2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
d»2 |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. 62) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L{w , £ )= ■ |
fflw |
&iF |
d2™ |
|
d2p |
52w |
|
ftF |
(1.63 |
||||
dx2 |
dy2 |
dy2 |
~dx2 |
dxdy |
|
||||||||
|
|
|
dxdy |
|
Окончательно получаем следующие нелинейные дифференциаль ные уравнения теории пологих оболочек с неоднородной жестко стью:
д*Р |
( (fiw |
dfiw |
d*w |
d3tw \ . |
£>V%- |
\ дх* |
Р- ду* |
H2f( дх* |
a*a^J~*~ |
дх* |
4 -2 |
/ d*w |
ду |
\дх%ду |
I о с?в |
/ азг |
ai/ |
\ал2а</ |
д*го \ |
,. |
дйD |
/ (?2w |
|
а.*2 •) + |
|
d2D |
d*w |
||
аг/з; |
' |
а^2_ ^аг/2 |
^ |
2 ( 1 - ^ |
дхду |
|||||
fy3 ) |
|
ду* |
\ |
|
|
|
|
|
дледу |
|
= Л |
А |
( а |
д , |
+ |
^ — - ^- л |
агз |
|
(1.64) |
||
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
а2/? |
a2F |
N |
2 |
ав |
/ |
аз/? |
а у \ . |
|
|
|
ал2 |
ау2 / |
ал; |
\ дл;3 ~ |
дхду*) ' |
|
||||
d*F |
|
|
a2F |
|
|
|
|
|
д*В |
агв |
ду3 ■ )+ v ( ду* |
|
,“ ^ |
' ) + |
2 ( 1 + |
, ‘) дхду |
дхду |
1 |
(та, ® ) — 4 - vi® . |
(1.65) |
I |
||
2>ti |
it |
|
1десь под Vft2 .понимается оператор
П = К |
аг |
(1. 66> |
|
дх2
Если исследование проводится с учетом начальных неправиль ностей в форме срединной поверхности, то уравнения, аналогичные (1.64) .и (1.65), будут иметь вид:
|
|
£ V |
( » ~ ®о)+ |
— |
Г аг(<° ~ а,°-)- + |
р |
^<” - 3 1 1 + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ал;2 L |
дх2 |
Т Г |
ду* |
|
F |
|
||||||
I |
2 |
Г аз (W_ |
Тор) |
^3 (та» — вд0>1. |
о |
дР |
Г аз |
— w0) |
. d*(w—wp)! , |
||||||||||
|
дх |
[ |
ал;3 |
|
|
|
дхду2 |
J |
|
ду |
L |
|
a.*2 <J^ |
|
ду3 |
J |
|||
, |
аз/? |
f а2(®— ю0) |
| |
|
а2(ш_и»о)1 |
, |
П/ 1 |
|
..х |
# 0 |
|
аз(я;— да0) _ |
|||||||
+ |
1 * 1 |
w |
|
+!l |
|
|
|
j + 2 ( l- , i) — |
— |
^ |
|
||||||||
|
|
|
|
= hL {w ,F )-\ -h^ \ F + (/ — — A |
|
; |
|
(1-67) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
otl |
|
|
|
|
|
|
^ + « 1 f « L _ . J v x + 2 ^ / j v , _ w . \ + |
|
||||||||||||||||
|
|
V |
T |
<?JC2 |
( |
a*2 |
>* |
dyl |
|
dx |
l |
dx* |
T |
длгд^./^ |
|
||||
|
Зд \дх*ду |
|
ду* |
) |
|
ду* |
\ |
ду* |
|
Г |
дх* J |
' |
V |
|
г / дхду дхду |
||||
|
|
= ---- i - [ £ ( ® ;, 7 iy )_ /,(WojTOo)] _ _ 1 _ у | (о д _ ^ 0), |
(1 .6 8 ) |
||||||||||||||||
|
|
|
/л |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
В уравнениях (1.67) |
и |
(1.68) |
пол w понимается полный прогиб |
оболочки, а .под WQ — начальный.
Для |
круговой |
цилиндрической оболочки три |
£х = 0 , kv=\jR |
•(где R — радиус |
кривизны срединной поверхности) |
получим из |
|
(1 .6 7 ) и |
(1.68) следующие уравнения: |
|
D^i^w — w
0D Г д3 (w — и>0)
+ |
2 дх |
дх3 |
4 |
&D |
04 — да0) |
ду2 [ |
ду2 |
о)-[- |
d-D |
Г d2(w — |
|
0 2 |
( w — W Q) |
1+ |
||||
дх2 |
L |
dxi |
|
|
дуъ |
|
||||
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
д3 (w— wQ |
|
, 0 |
dD Г dHw — w0) |
d3(tp—te>0)j |
||||||
|
|
|
о) 1 |
|
|
|||||
|
дхду2 |
У |
1 |
ду |
L дхЩ |
|
дуз |
|||
|
d2 (w— щ ) |
|
|
|
|
020 |
02 (те;. •»о) _ |
|||
|
|
0X2 |
•] + |
2 О |
К') djcdy |
|
diеду |
|||
|
|
А |
02F |
|
|
, |
Yi , |
02W |
|
(1.69) |
|
|
R |
0X2 |
■—1- /7 — |
——fi |
0t2 |
1 |
|||
|
|
|
1 |
ч |
g |
|
By4F-\ |
02В |
l |
02F |
Н- |
02F |
\-L-2 |
|
0В |
/ |
03F |
1 |
|
|
0X2 |
( |
0x 2 |
0у2 |
г |
|
дх |
[ |
дх3 |
1 дхду2) |
||
|
дВ / |
д3F |
<?зF |
\ , |
02В |
[ |
02F |
— р. - |
02F |
\ . |
||
|
|
|
|
0У3Т |
ду2 |
\ |
0У2 |
0X2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
4-2 (1+ р)— |
— |
= — -[/.(да,да)-1(®0,©о)]------ d4w~ ^ . |
||||
1 1 |
r j dxdu0X0у |
дхди0X0у |
2k 1 v |
' |
v 0 ол |
Rh 0x2 |
(1.70)
Для пластинки из уравнений (1.67) и (1.68) получим:
D ^ *(w — w о)
д3 (w — WQ)
+ 2£ [ 0Х3 ~г
02D 02 (те; —. W Q)
0у2 0У2
02D Г 02 (W— ®о) |
02 (w— |
|
||
0X2 |
[ |
0x2 |
0у2 |
■ ]+ |
03 (те/ — |
|
|
||
|
03 (те; — W(j) |
I с)3(те/— J0>o)l | |
||
0 X 0 y 2 |
■]+2 ^ [ - 0x20y |
0y3 J‘ |
||
02 |
(w- |
|
02D |
02 (W- |
■Р- |
w |
a L ] + 2 |
(1 - r t 0X0y |
0X0y |
|
|
|
|
— hL(w , F)-\-q- |
h |
|
02W |
|
|
(1.71) |
||
|
|
|
|
0t2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
Bxj4F |
02В |
, |
02F |
02F |
0B |
( 03F |
w |
) + |
|
|
|
0X2 |
t |
|
0ifi )+ 2- f ( |
|
|
|||||
|
|
|
0X3 |
0X0y2j |
|
||||||
|
|
V 0X2 |
|
0X |
|
|
|||||
+ 2 J * |
( * L + |
03F |
^\ |
l, |
02В ( 02F |
&F\02F |
|
t n/1 |
| 4 |
02В |
02F |
0y |
\0x 20y |
dy3 |
|
|
|i‘S T j + 2 ( 1 + ^ |
0X0y |
0X0у |
||||
|
|
0X2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 [L{w , W ) ~ L ( W 0,W Q)]. |
|
|
(1.72) |
|||
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
При интегрировании уравнений движения используются кон кретные граничные и начальные, условия.
1.6. ИМПУЛЬСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Исходным понятием импульсивных функций нулевого порядка является поснятие единичной функции, которая определяется следующим соотношением:
Го (х — XQ) |
при х С X Q |
(1.73) |
|
При X > X Q . |
|||
- С |
|
По установившейся традиция эту функцию будем называть единичной функцией Хевисайда ши же импульсивной функцией нулевого порядка, в отличие от им пульсивной функции /1-го порядка Гп(* — *о)- Несмотря на то, что функции Гп'(* — дго) — разрывные, их молено интегр1арова.ть и дифференцировать по пра
вилу
Г в + 1(*— ^ о )= ^ ~ г лС*— •*())• |
(1-74) |
Строгое обоснование подобной операции доказано Лишь в последние годы в тео рии обобщенных функций [’17]. Основы последней были заложены в трудах Н. М. Гюнтера, С. Л. Соболева н Л. Шварца. С позиций этой теории оказыва ются законными такие операция, как дифферанцнрогаазше рядов, разложение сингулярных функций в ряды, а также манипулирование с импульсивными функ циями.
Производная от функции Хевисайда равна функции Дирака кшч импуль сивной функции 1-го порядка с точкой особенности X= XQ. В литературе ее часто называют также дельта-функцией Дирака или просто 6-функцией. Находя про изводные от 6-функции, можно получить соответственно иатулызишые функции 2-го, 3-го и более высокого порядка.
Систематическое построение теории импульсивных функций начато Б. Ван дер Полем и Бреммером [17]. Оно характеризуется простотой и наглядностью и основано на предположении о том, что разрывные функции являются схемати зацией соответствующих, хотя и резко переменных, но все же неразрывных па раметров. Дифференциальные соотношения между импульсивными функциями при таком подходе носят чисто символический характер, так как о дифференци ровании подобных «сверхразрывных» функций в рамках классического анали за не может быть п речи. С импульсивной функцией нулевого порядка Го свя
зывают |
ее допредельный образ, т. е. непрерывную функцию TQ, такую, что |
Г $ -*Г 0 |
при |
Не имея возможности дифференцировать разрывшую функцию Го, импуль сивные функции 1-го, 2-го и. более высоких порядков вводят при помощи пре
дельного перехода |
|
|
|
|
|
|
Гя (*.— x Q) = |
I im Г* (х — х 0), |
|
||
|
|
X— |
|
|
|
где |
. |
|
dn |
, |
|
г£ (х — х 0) = |
|
|
Ц (х — х 0). |
|
|
Функции Гп {х — Хо) наделяют теми же свойствами, которыми обладают их |
|||||
допредельные образы: |
|
|
|
|
|
|
Гд.|_1 (х XQ) — |
d |
Гп (х дг0), |
(1.75) |
|
|
|
||||
JTo+e |
|
|
|
|
|
J |
Vn+i ( x - x 0) f |
(x )d x |
= { - ! ) » f n(x0). |
(1.76) |
|
XQ--6 |
|
|
|
|
|
Равенство. (1.75) можно представдлъ в виде |
|
|
|||
|
|
X |
|
|
|
|
Ta (x — xQ) = |
j |
r n+i(g — x Q)d l. |
|
—DO
Теория импульсивных функций для случая п переметных строится аналогич но теории для случая одной переменной. Так, например, Д. В. Вайнбергом и А. Л. Синявским построена теория 6-функцкн двух переменных T i(x — х0, У— Уо)- В качестве ее допредельного образа приводится непрерывная функция
r i ( * — Ч> У— Уо) = |
О* 77) |
Отсюда следует важное соотношение: .импульсивная функция двух переменных равна праизвещатмо аналогичных функций одной переменной разных аргументов.
Импульсивные функции применительно к теория упругости началииспольззвалъ Н. М. Героевапов в 1933 г., затем А. Г. Назаров [56] и 10. А. Радциг [83]. Однако лишь в работах В. В. Новицкого [61, 62] и работе Д. В. Вайнберга и И. 3. Ройтфарба {17j показана возможность применения этих функций для большого класса задач строительной механики.
Импульсивные функции обладают весьма важными свойстсамн. Рассмотрим лишь некоторые из-них, которые в дальнейшем используем *
Поризведение конечной непрерывной функции /(х) и импульсивной функции нулевого порядка Г0(х — х0) представляют собой новую функцию /(л)Г0(х — х0),
которая при всех значениях х < х 0 равна нулю, при х= х0 |
равна |
0,5/ (х) |
и- при |
||
х>Хо совпадает с функцией f(x). Эта |
операция показана |
на рис. |
1.7. |
Кривая |
|
АВС на -рис. 1.7, а изображает функцию /(х), |
кривая А'В'ВС на рис. 1.7, б пред |
||||
ставляет собой функцию /(х)Го(х—Х о ) . |
Для |
сокращения записи введем |
обозна |
||
чение |
|
|
|
|
|
/ + ( X - х 0) = |
/ (х) Го ( X - х 0). |
|
|
(1.78) |
|
Индекс «+ » означает, что функция f(x — х0) |
для положнтельн1ых значений ар |
гумента (х — х0) |
примимает соответствующие значения функции f(x), |
а для от |
|||
рицательных значений аргумента |
(х — Х о ) она |
обращается в нуль. |
|
||
Введем аналогичное |
(1.78) |
обозначение |
для функции, показанной ча |
||
рис. 1.7, в: |
/ - |
(х — х 0) = / (х) Го (х0 — х). |
(1.79) |
||
|
|||||
Функцию f(x) |
можно представить в виде |
|
|
||
|
/ (х) = / - |
(х — х 0) + / |
+ (х — х 0). |
(1.80) |
Рассмотрим разрывную функцию /(х), представленную на рис. 1.8, а. В со ответствии с введенными обозначениями ее можно пред
ставить в виде
Ф+ {*~*о)
/ (*) = V- (х — Х0) + |
Ф+ (х |
— х 0). |
( 1. 81) |
Обратное значение функции /(х) |
имеет |
вид |
|
f i x ) ~ 1 т ( х — х 0) ] - + [ ф ( х — х 0) ]+
График функции /(х) представлен на рис. 1.8, б, его подтверждает правомерность записи (1.82).
Весьма важное значение для задач строительной механики имеет фильтрующее свойство я-й производ ной дельта-функции. Оно определило, в частности,
* Конец разд. 1.6 изложен по материалам работы В. В. Новицкого [62].
весьма широкую папул,ярвисть этой функцг-ш. Это свойство характертазуетоя сле дующей формулой:
|
О |
5 < а |
|
а |
( - |
1)п f n{ t ) a < t < b . |
(1.83) |
о |
е > ь |
|
В справедливости этой формулы можно убедиться непосредственным татегрированием по частям.
1.7. УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
Прежде чем перейти непосредственно .к линейным дифференци альным уравнениям, рассмотрим еще раз модели, аппроксимирую щие пластинки и оболочки с вырезами.
Замена пластинки с центральным отверстием на «сплошную» с переменной толщиной использовалась Б. Н. Бастатским [11, 12] при изучении ее иапряженно-деф'ормировашюго состояния. Однако подобная модель имеет существенный недостаток: толщина входит
вразной степени в уравнения равновесия и совместности. Причем в уравнение равновесия толщина (через изгибную жесткость) входит
втретьей степени, что значительно усложняет математические опе рации с импульсивными функциями. Кроме того, модель Б. Н. Б астатского не позволяет описывать динамический характер деформи руемых систем. Предлагаемая в данной работе модель позволяет учитывать инерционность деформируемой системы, что очень $аж - но для решения динамических задач, и физически правильнее опи сывать реальные конструкции.
Спомощью функции Хевисайда от двух переменных жесткость прямоугольной пластинки, ослабленной центральным прямоуголь ным вырезом со сторонами, параллельными ее наружному контуру
и расположенными в пределах х \ < х < х 2, у \ < у < у ь |
может быть за |
|||
писана таким образом: |
|
|
|
|
D = D { x ,y ) = D 0[\— Г 0 ( х — |
у — t /i ) + r 0 ( x — х 2\ y - y j - j - |
|||
+ |
Г 0(* — х £ у — у2) — Т0( х ~ х 2, у — уз)], |
(1 .84) |
||
где Д ) = - |
—’Цилиндрическая жесткость |
пластинки; А — |
12(1 — р2)
толщина пластинки; Уь х% уi и г/г— координаты вершин прямо угольного выреза; Ес — модуль упругости материала пластинки; £ — параметр жесткости сплошной модели, заменяющей при ис следовании пластинку с вырезом
£ = £ 0 [1 — r 0(jc — я ,; у — уi)-\-Г 0 {х — х 2\ у — ух) +
+ г о(-* — |
У — У ч ) ~ ? ъ { х — х ь У ~ У 2 )]- |
(1 .8 5 ) |
Линейное уравнение равновесия для пластинки с неоднородной жесткостью имеет вид
|
|
|
|
|
|
d^w \ | |
|
|
|
|
дх2 |
|
ду2 |
дх3 |
дхду2/ |
|
|
дР |
/ d3w |
d3w |
д2Р |
i д2w |
d-w |
|
дЮ |
d-w |
Н -2 — |
( |
ду3 |
ду- |
V ду% |
i ) + 2 ( I - r t |
дхду |
+ |
|
ду |
\дх2ду |
' дх2 |
|
дхду |
+ ^ . |
d2w |
N . |
д%W = 0. |
(1 . 86) |
|
дх2 |
' * |
ду2 |
|
Оно п о д д ается из уравнения |
(1.71), |
если в нем |
отбросить нели |
|
нейные члены. |
|
|
|
|
В случае исследования динамики пластинок с вырезами урав нение (1.86) должно быть дополнено инерционным членом, учиты вающим нормальные перемещения элементов системы. В резуль тате получим уравнение движения пластинки, с помощью которо го можно определять собственные частоты поперечных колебаний:
|
Dv*w + — |
|
( |
дх |
|
|
ду2 |
\+ 2 |
дх |
\ |
+ X i t \ + |
|
||||||||
|
|
|
дх2 |
\ |
|
|
) |
|
сЪе3 |
дхду3/ |
|
|||||||||
|
■ о |
дР |
/ d3w |
|
. |
d3w \| дЮ I d2w . |
д2w\ |
Т |
|
|||||||||||
|
|
|
ду |
\дх2ду |
|
ду3 ) |
|
ду2 \ |
ду3ду2 |
^ |
дх2/ |
|
||||||||
|
|
|
+ 2 (1 — р.) |
д2Р |
d2w |
Y i A |
d%w |
|
|
(1.87) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дхду |
дхду |
|
g |
|
№~ = 0 , |
|
||||||
аде |
t — время; |
y i — переменная |
плотность |
эквивалентной |
модели- |
|||||||||||||||
властинки, определяемая по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у 1 = |
у0Х2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Здесь |
— параметр, |
аналогичный |
|
Яь |
Он зависит |
от формы и |
|||||||||||||
числа отверстий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Исследование устойчивости оболочек в малом проводят с помо |
|||||||||||||||||||
щью системы, объединяющей уравнение равновесия вида |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
дх2 |
\ |
дх2 |
|
|
ду2 |
)+2£( |
дхз |
дхду2/ |
|
||||||||
|
JDy*w |
■д%Р |
/ |
d2w |
|
|
d2w |
|
|
|
|
|
d^w |
C>3W |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
F* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + |
|
||
|
I |
о |
дР |
/ |
д3т |
|
|
d3w \ |
, |
дЮ |
|
I d%w |
+ 1* |
d2w |
|
|
||||
|
‘ |
|
ду |
[д х Щ ' |
|
ду3 |
|
|
ду2 |
|
\ |
ду2 |
дх2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ~ w \ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
д2Р |
d2w |
|
|
|
|
d2w |
|
|
d2w |
|
|
д2Р )+ |
|
||||||
+ 2 ( 1 - ! » ) |
|
дхду |
f * |
(рх- дх2 |
|
Ру |
ду2 |
|
R |
дх2 )=° |
( 1. 88) |
|||||||||
|
дхду |
|
|
|||||||||||||||||
и уравнение совместности |
|
|
|
|
|
дв ( азр . азр |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* П + 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
дх2 |
\ дх2 |
|
Г ■дУ-2 |
Г |
|
дх |
\ (ЪгЗ |
1 дхду 0+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(?3F |
\ |
, |
д2В |
|
|
|
|
|
|||
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
d2F |
, |
агР |
\ |
|
||||||
|
|
|
ду |
\дх2ду |
1 |
ду3 |
) |
‘ |
ду2 |
|
{ |
ду2 |
11 |
дх2 |
) |
|
||||
|
|
|
+ 2 ( 1 |
+ |
Ю |
д2В |
|
д2Р . |
|
1 |
|
d^w |
Л |
|
(1 .8 9 ) |
|||||
|
|
|
|
дхду |
|
Rh |
дх2 |
■0Т |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дхду |
|
|
|
|
||||||||
где |
д* |
|
|
д* |
|
, |
|
д4 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v4= — +2 |
дх2ду2 |
|
|
ду* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
дх* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w — функция нормального .прогиба; х и у — прямоугольные коор динаты, отсчитываемые соответственно вдоль оси и по касательно'й К среднему контуру поперечного сечения оболочки; А — толщина оболочки; F — функция напряжений, возникающих в оболочке пос ле потери устойчивости, в срединной поверхности; R — радиус сре динной поверхности, D — изгябная жесткость; В = 1 / ( £ А ) — пара метр жесткости на растяжение; рх — среднее значение сжимающих усилий в торцевых сечениях; ру — среднее значение сжимающих (либо растягивающих) усилий в меридиональных сечениях.
1.8.УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОРТОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК
СВЫРЕЗАМИ
Упругие свойства ортотропиого материала пластинки будем х а рактеризовать четырьмя независимыми величинами: модулями ул ругости £) и £2 по двум взаимно перпендикулярным направлениям
х и у, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона р, соответст вующим поперечной деформации вдоль оси у. В пластинке имеетсч k прямоугольных отверстий, контурные ли-нии которых параллель ны внешнему контуру пластинки. Как и в предыдущем разделе, переходим к рассмотрению «сплошной» модели. Однако в этом
случае |
уравнение равновесия будет отличаться от выражения |
(1.86) |
н примет следующий вид: |
|
|
|
+ 4 |
дРк |
дх^ду |
N . d%w |
|
= 0, |
(1 .9 0 ) |
|
|
|
|
|
ду |
dxt |
ду- |
|
|||
где |
D |
x y = D |
x \i-2 -f- 2 D K; |
|
|
|
|
|
|
|
D x , |
D |
y и D |
K — жесткости |
на |
изгиб вдоль |
оси х , у и на кручение; |
||||
р2 — коэффициент |
Пуассона, |
соответствующий |
поперечной дефор |
|||||||
мации по направлению |
х, |
он |
связан с |
pi |
соотношением |
р2= |
||||
= (Е 2/Е 1) Ц|. |
|
|
|
|
|
|
|
Введем ряд. пар аметров:
w = w jh ; x — xja\ y=yjb\ ^x=ajb\
k\ = (Од-оН-2+ 2 DK0)jDXQ= P24" 2A3; k2— Dyo!DxQ\ kz— D^/Djfl]
A4= A 3/A2; гх=ф? (p2H-2A3); r2= p1 + 2^4;
N ^ N ^ K D ^ ) - , |
k = N y/N x- |
D J[= D x0y; D ^ D ^ y ; |
|
|
||||||||
A *V . |
AtO--- |
E xh3 |
D i/0: |
|
E2k* |
; |
D Ko = — |
; |
(1.91) |
|||
|
- ; |
12 ( l - n i w ) |
||||||||||
It |
|
1 2 ( 1 - и в ) |
ft |
|
|
12 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Y = 1 — ^ I o |
( * — *!,•; |
#ii) + |
2 r o (* — *2,-; |
|
|
+ |
|
|
||||
1-1 |
|
|
|
* |
1 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
к |
ro(*—X2i', У — У21)- |
|
|
|
||||
+ 2 Г ° ( * — |
У — yti) — 2 |
|
|
|
||||||||
I- 1 |
|
|
|
(=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом |
случае |
уравнение |
(1.90) |
преобразуется |
к безразмерно |
|||||||
му виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y f i ^ + 2 A , 4 ? 4 ^ + M } ^ U ^ |
|
' |
dyi |
) |
+ |
|||||||
V\ дх* |
' |
'' |
дхЧуг |
' 2TI |
Оу* J ' f a |
l ^ дх2 |
' |
|||||
, _^_С^ |
, |
Л»\ , 2 k |
|
|
. S L |
4*Л+ |
|
|||||
дх |
\ дх3 |
дхдуъ) |
' |
ду |
\ ду3 |
|
ф| |
дх?ду) |
|
|
||
+ ^ & ( J ^ + j % . J * . + 4 b t f # L - Й Л + |
|
|
||||||||||
|
|
dyi \ dyi |
ф[ |
дх% |
|
дхду |
дхду ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
' |
|
4=0. |
|
|
|
(1 .9 2 ) |
|
|
|
|
|
|
W ) |
|
|
|
|
|
С помощью (полученного уравнения можно определять значения критических параметров для ортотролных прямоугольных пласти нок с вырезами. Этим же уравнением можно пользоваться и в том случае, когда имеются конструктивно анизотропные пластинки, т. е. пластинки, часто подкрепленные продольным и поперечным силовым набором. В тех же случаях, когда подкрепления располо жены локально, лишь вдоль контурных линий отверстий, уравне ние (1.92) непригодно.
Для упрощения решения задачи устойчивости пластинок с под крепленными вырезами по аналогии с работой [17] введем однопредположение. Считаем, что подкрепления не вносят возмущений в мембранную группу усилий. Тогда наличие подкреплений по кон туру при переходе к «сплошной» модели приводит к тому, что из гибающие моменты вдоль линий прикрепления ребер будут пре терпевать разрывы, плотность которых пропорциональна изгибной жесткости ребер, а крутящие моменты — разрывы, плотность ко торых пропорциональна жесткости подкреплений при кручении.
Использование импульсивных функций позволяет уравнение равновесия представить так, что члены, относящиеся к подкрепля ющим вырезы ребрам обоих направлений, записываются в сепа рированном виде:
D y4w-
+2 |
dD |
! d3w |
d*w |
|
ду |
\дх2ду |
дхду |