книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями
..pdfДля выявления критического состояния деформируемой пла стинки на основе уравнения (6.9) зададимся функцией, аппрокси мирующей ее прогиб после потери устойчивости, в виде
|
w — f sin ах sin fiy, |
(5 .10) |
где а = ш ; |
т, п — число полуволн, возникающих |
вдоль |
сторон а и b соответственно. |
|
Выбранная функция удовлетворяет и геометрическим, и сило вым граничным условиям для прямоугольной пластинки, шарнир но опертой по внешнему контуру. Основываясь на методе, изложен ном в разд. 2.4, вдоль контурных линий отверстий прикладываем фиктивные усилия, обращающие в нуль нормальные усилия в кон турных сечениях -прямоугольных вырезов. В уравнение равновесия они войдут в виде
M x = N x {1 + [Г 0(X - * lf) —г 0(л: — x2l]i [Г 0 [у — Уи)
r o(t/ y2i)\i}‘ |
(5 .11) |
Так как касательные усилия отсутствуют на внешнем контуре пластинки, то можно предположить, что они будут равны нулю и на контурах свободных вырезов. Решение уравнения равновесия (5.6) после внесения в него (5.10) и (5.11) ищем, используя ме тод Бубнова — Галеркина. В результате получим выражение для критического напряжения
(5 .1 2 )
к
где
х
(5 .1 3 )
£ i = — (°2+ м Ф 2);
m = - ± { f * + r p y t
Г 2 = !а1 + 2_Т ' ; ' т — Й О ^ + Э Д ; *2
< h = x 2i —x u\ b\=y2i= y M; |
(5. 13) |
||||
льц = |
sin 2 ax2i — sin 2 ax2!; |
|
|||
m2i= |
sin 2 |
$yu — sin 2 $y2i; |
|
||
к |
|
|
|
|
|
5 * = V , |
WitiKab)]; |
c= 7-----V -ч— |
• |
||
^ |
L |
n |
n |
(а2 + Х«ЙР)я2 |
|
Если предположить, что в пластинке отсутствуют вырезы, то из соотношения (5.12) легко получаются выражения для критических параметров оплошных анизотропных пластинок. Например, в слу чае одноосного сжатия может быть получено известное выражение для критического напряжения [22]:
U / — 1 “ М 2 ; |
, W x* |
я * + 1 / — ( - £ - ! * ] . |
№ L г А/0 \ ' |
V Dx^DyQ |
у Dxо \ mb ) J |
|
|
(5 .1 4 ) |
Число полуволн как в .перфорированной, так и в сплошной пла стинке, образующихся по направлению сжатия, существенным об разом зависит от соотношения жесткостей DyfDx-
Полагая в формулах (5.12) и (5.13) и л — 0, получим кри тическое напряжение для пластинок, у которых две нагруженные стороны шарнирно оперты, а две ненагруженные — свободны от опор:
|
a |
(5 .1 5 ) |
Здесь |
А ,= а 2 (1 — 5*). |
(5 .1 6 ) |
С использованием зависимостей (5.15) и (5.16) были определе ны критические напряжения для квадратных пластинок с цент ральным квадратным вырезом, стороны которого составляют поло вину длины стороны пластинки. Последние предполагались выпол ненными из материалов: сталь, СВАМ 1 : 1, СВАМ 5 :1 и СВАМ 1 0 :1 . Эти примеры были разобраны в работе [92], поэтому для со поставления формула (5.15) приведена к виду, полученному в этой работе:
° кр— k 24а2 * |
17) |
В табл. 5.1 приведены механические характеристики указанных материалов и сопоставлены величины коэффициента k*. Как вид но из сравнения, значения k*, полученные в работе [92], несколько выше. Это может быть объяснено тем, что они получены на осно ве метода конечных разностей при большом шаге счета (а/12).
В случае изотропных пластинок выражение, выведенное для критического напряжения, существенно упрощается и может быть сведено к известному виду:
ни точности. Считаем, что контуры прямоугольных вырезов распо ложены в пределах
Х ц ] х -Х2//> y u j<^ y <^iy2i}i ^==1) 2 ,..., У, j — 11 2 ,..., г.
Упругие свойства ортотропного материала пластинки будем ха рактеризовать, как и в предыдущем разделе, четырьмя независи мыми величинами: модулями упругости Е\ и Е 2 по д.вум взаимно
перпендикулярным направлениям х и у, модулвхМ сдвига G и коэф фициентом Пуассона pi; отметим соотношение р2= Р 1-£,2/^ ь Введем*
как и ранее, параметры
D - |
ЕIй3 |
Е<№ |
(5.20) |
10 |
12(1 — |
А>о= 12(1 — ЦЩ2) ’ |
|
соответствующие изгибным жесткостям по главным направлениям, через Д<о обозначим крутильную жесткость
|
(5.21) |
через П30 — приведенную жесткость |
|
А о = АоР-г + 2А о = у (АоН-г+ Ао1Ч + 4 А о )- |
(5- 22 |
Рассмотрим задачу об определении критического усилия NXKP. для прямоугольной пластинки с круговым отверстием, центр кото рого расположен в произвольной ее точке. В качестве граничных условий выберем условия шарнирного опирания внешнего края пластинки по всем четырем кромкам. Вначале .в соответствии с принятым методом исследования рассмотрим пластинку с прямо угольным вырезом, а затем — с круговым, которое -представим со стоящим из достаточно большого числа прямоугольных.
Используем дифференциальное уравнение равновесия модели с неоднородной жесткостью в форме (5.6).
Выберем функцию, аппроксимирующую прогиб пластинки после
потери устойчивости, в виде |
|
< w = f sin (тих/a) sin (nnyfb). |
(5 .2 3 ) |
Здесь т — число полуволн вдоль стороны а\ п — число полуволн вдоль стороны Ь. Такой выбор аппроксимирующего выражения от вечает условиям шарнирного опирания наружного контура пла стинки. При решении уравнения (5.3) воспользуемся методом Буб нова —•Г алеркина.
В результате для критического сжимающего усилия получим выражение
|
|
1 |
|
|
|
/ |
r |
N |
= |
(D10a<+2Z>Ma=?l2-|-O20(!4) |
( S — ?i) |
l |
X |
||
1 V -ГКр---- |
Sa2 |
4af |
|||||
|
|
|
J |
r |
|
ы i |
|
|
|
|
|
\ |
|
||
|
|
X (2Q/y-f- mli}m2lJ)] - f ^ |
2 |
у А о аРбгЛ » |
(5 - 24) |
||
|
|
|
r-i |
)*=1 |
|
|
|
в котором использованы следующие обозначения:
. а = т л / а ; |
|
[3 = ш ха^=Хчи~- / 6 ; |
-х м]\ |
|
||
|
|
|
|
J |
Г |
|
b*ij=yrtj — yui\ |
S= ab\ |
S ^ ^ ^ a i j b u ; |
|
|||
muj = sin 2 axu j~ |
sin 2алг2//-; /я2/у = sin |
(5. 25) |
||||
— sin 2p«/2,7; |
Q |
|
i j |
= лгъиЪр. |
|
Введем параметр критического усилия
k = - |
№ iVлгкр* |
(5 .2 6 ) |
|
я2Dio |
|
Наличие в (5.24) членов, включающих в себя суммирование по па раметру j, объясняется переходом от одного кругового выреза к серии прямоугольных, т. е. считается, что круговое отверстие ап проксимируется достаточно большим числом г-прямоугольных. При ведем соотношения, связанные с переходом от кругового отверстия к серии прямоугольных
У х и = У 1 - |
|
|
У г ц = У \ Ц + |
t y i \ |
|
— |
1 |
/ " п 2 |
( У г и + У т |
\ 2 |
(5 .27) |
xul,W=xi + |
у |
Rt ~ ^----- 2----------- У‘) ’ |
|
||
где |
Mji = |
2 Rifr. |
|
|
|
Рассмотрим данные вычислений, полученные Е . А. Вольмир. От |
|||||
метим, что для достижения |
необходимой точности число |
прямо |
угольников г, аппроксимировавших круговое отверстие, удваива лось до тех пор, пока последующее значение параметра k не отли чалось от-предыдущего на величину Д = 1 0 4.
Обсудим вначале результаты, характеризующие влияние жесткостных параметров на поведение конструкции. На графиках, представленных на рис. 5.1 и 5 .2, показано изменение параметра
критической нагрузки k для квадратной пластинки в зависимости от отношения rjb, где г — радиус отверстия, b — ширина пластин ки. Расчеты были выполнены для пластинок из алюминиевого спла ва, подкрепленных часто расположенными ребрами в направлении сжимающих усилий. Эксцентричность расположения ребер во вни мание не принимались. Такие пластинки будем условно рассматри
вать как ортотропные. Считаем £ 20= |
68,66 Ш а , Сг=126,5 ГПа. Для |
||
кривых, изображенных |
на рис. |
5.1, |
соблюдается £ ю /£ 2о = 3 , на |
рис. 5.2 — £ ,IO/ £ 2O= 2. На |
обоих графиках нижняя кривая относит |
||
ся к центрально расположенному |
отверстию, средняя — к отвер |
стию, центр которого расположен на средней линии пластинки на расстоянии 1/4 ширины от продольного края и на продольной оси симметрии на расстоянии 1/4 длины пластинки от загруженного края (данные вычислений для этих двух случаев совпадают). Н а конец, верхняя кривая относится к случаю, когда центр отверстия
* |
|
/а д] |
|
|
|
■ц (%4)>( |
г ’2J N |
|
0,7 |
а/Ь~1,5 |
|
|
т-п~1 |
|
0,6 |
| |
|
О |
0,05 |
0,10 0,15 р/Ь |
Рис. 5.4
териала пластинки, подвергающейся действию сжимающих усилий, на параметр критической нагрузки. Вычисления проводились для удлиненной пластинки с отношением сторон, ранным 1,5, выпол ненной из композиционного материала КМУ-1. Рисунок 5.4 харак теризует устойчивость пластинок, у которых волокна ориентиро ваны так, что сжатие происходит в направлении, соответствующем большей жесткости, рис. 5.5 — меньшей жесткости.
»Мы видим, что переориентация материала меняет характер вол нообразования. Если в случае сжатия в направлении большей жесткости число полуволн в обоих направлениях т —1, то при сж а тии в перпендикулярном направлении число .полуволн вдоль длин ной стороны т = 3 . Соответствующим образом меняется и наиболее опасное расположение центра отверстия: в любом случае наимень шей несущей способностью обладает пластинка с отверстием, рас положенным в зоне резкого выпучивания.
Таким образом, избранный метод позволил судить об устойчи вости пластинок, имеющих по конструктивным либо технологиче ским требованиям произвольно расположенные круговые отвер стия, либо получающиеся в .процессе эксплуатации конструкции. Метод может быть распространен на пологие оболочки, а также на случай нескольких отверстий произвольной конфигурации. Полу ченное решение может служить ориентиром при использовании дру гих более точных методов, например, метода конечных элементов.
5.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКИХ с л о и с т ы х ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПАНЕЛЕЙ И ПЛАСТИНОК,
ОСЛАБЛЕННЫХ ВЫРЕЗАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ *
Рассмотрим пологую, прямоугольную в плане со сторонами <а, &панель в предположении, что главная кривизна срединной по верхности HI, ta x же как и главная кривизна хг, постоянна. П а
* Исследование, вписанное в >разд. 5.3, выполнено автором совместно с И. Т. Комозмным.
нель имеет прямоугольные отверстия, вершины которых определя ются координатами x2i\ у и ; y2i (x n < x 2i-, ун<Уы ; 1 — порядко
вый номер отверстия). Стороны панели параллельны сторонам от верстий.
Введем в рассмотрение геометрически и физически подобную модель в виде «сплошной» панели. Сплошность последней условно обеспечивается, так как отсутствие массы и жесткости в реальной конструкции в районе выреза учитывается тем, что физические па раметры, определяющие массу (плотность £>,-&) и жесткость (мо дуль упругости Eik), терпят в районе отверстий разрывы однород ности. Это достигается в математической записи с помощью им пульсивных функций.
При помощи единичной функции модуль упругости ортотропного слоя модели панели можно представить в виде
|
|
(/, А = 1 , |
2, 6), |
|
|
J |
y— y2i)+ Г0(л: —x2i; у—уи)~ |
|
|
где |
v=l + 2 [го(*—■ |
|
||
|
- Г 0( * — х и \ у— уц) — V0(x — x 2i\ y— y2i)], |
(5 .2 8 ) |
||
J |
— количество отверстий. |
|
|
|
С учетом (5.28) выражения для усилий |
и моментов в элементе с |
|||
отверстием запишутся так: |
|
|
|
|
M i= Y (Ci,£i + c i2e2+ k nwxx); M v= у (ЬпЧ+ A i® .™ + |
|
|||
-^2 = |
Y (c22e2“l“^l2el_l- ^22^y)> |
— 7 (&22e2“{" А г ® ^ "Ь Аг®*.»:)? |
(5 .2 9 ) |
|
|
T — y(c66el2 -f- 2 k66wxy); H = y (kmzn -j- 2D 66wxy), |
|
||
где |
|
|
|
|
|
W , 1 |
2 |
W, , 1 2 |
|
|
|
+ |
|
(5 .3 0 ) |
Индексы справа внизу x или у |
означают дифференцирование по со |
ответствующей переменной столько раз, сколько она повторяется. Для коэффициентов жесткости, входящих в (5.29), в которых
исходная поверхность определяется |
из условия k\2= 0, приняты |
||
обозначения С. А. Амбарцумяна [3]. |
|
|
|
Коэффициенты |
обусловлены |
произвольным |
сочетанием сло |
ев пакета. При симметричном по толщине пакете |
kih = 0. |
||
Усилия (5.29) |
имеют импульсивный характер, |
определяемый |
|
у-функцией. Введем функции |
|
|
|
Ari = F y y , N 2= F xx, T = — F xy, |
(5 .3 1 ) |
тогда условие совместности деформаций запишется так:
д у 2 [ ~ |
( С 2 2 ^ у у — C VL F х х ) + C ^ k n W y y — C i 2 k n W х х ] -f- |
|
$ х 2 [ ~ |
( C U ^ x x |
с \2F y y ) 4 “ c \ lk \ \ W Xx — ^11^22®^]4" |
+ - j k Ь й " ^ + 2 а ^ • '» ) = ° W * - |
- |
||||||
|
|
|
|
|
,), |
|
(5.32) |
|
|
~ ~ j b W»V----- \г*>хх I» |
|
|
|||
где |
|
О — СцС22— С12- |
|
|
|
||
С учетом |
(5.31) условие равновесия элемента с отверстием име |
||||||
ет обычный вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qu + Q ty+Fyy- |
1 |
1 р |
1 |
Г<7“ ° ’ |
(5.33) |
|
где |
|
|
Rt |
1 ‘ xjr |
R2 |
|
|
Ql = |
- M lx- H |
y-{- FyyWx - |
F Xy-Wy\ |
(5.34) |
|||
|
Q2= |
— М 2у — Н х + F хх®у — F xy®x' |
|||||
|
|
||||||
■Введем в (5.31) замену |
|
|
|
|
|
||
|
F xi=yF'xx\ F „ = tF " „ fi |
F xy= y F x, |
(5.35) |
и перейдем к безразмерным значениям для координат, перемеще ния и функции усилий:
|
х = х / а ; |
y=y)b\ <w=w/h\ F * = y c nk2, |
(5 .3 6 ) |
|||
где h — толщина пакета. С учетом |
(5.34) — |
(5.36) уравнения |
(5.32) |
|||
и (5.33) принимают следующий вид: |
|
|
||||
|
^ F ® x x x x “{“ &2?®х х у у 4“ ^3*® уууу 4~^ < F xxxx 4" ^ fflx x tjy 4- УУУУ |
|
||||
|
— W2yx 4 -WxJWyy 4- *\Wyy 4- *2®хх= 0; |
(5. 37) |
||||
Ухх(- |
e № x + S 2 9y y + q ^ xx + |
<l2Wyy )+ 2 y x l ~~«l?xjrx4“ («2“ ^)«PWJC4 - |
||||
|
Л'Я\®ххх 4“(<72 4" Яъ) Wyyx — 0*3 (ЧууТУх — (?ху’®у)] 4" |
|
||||
|
4- 2УУ [ЯлЮуур 4- {я24- Я ^ х х у — е&ууу 4- (S3— Si) <9хУУ— |
|
||||
- |
0,5 (<РххЩ, —<|>Х*®*)1 4- Ууу {WxX — е&УУ4-ЯЛ®уу4- Я2^хх) 4- |
|||||
4 “ 2Yху {Яз“®ху — S\¥ху) 4~У \Я\®хххх + 2 (<72 4- Ял) "®ххуу4“ ЯА®уууу |
||||||
|
^fflxxxx ^2(?ххуц |
е3Ууууу |
УXX1®уу |
Ууу’®XX4“2(Р.гу®ху |
|
|
|
— *\Чуу — ЧУхх]=Яа'2^1{сп^\ |
(5.38) |
||||
где |
e x= ^ s 2\ е2— 2 sx — s2 — s3; |
e3= p s 3fk2; |
|
|||
|
e4= СпХ2а — |
^5= |
^n/^66 — 2cl7p j a ; |
|
1Q9