книги / Статистический анализ геофизических полей
..pdfВычисление байеоовской оценки |
(1 .3 ,2 ? ) |
при сложной функцио |
|
нальной ф орт распределения р |
в ) |
практически возможно лишь |
|
при некоторых специальных функциях потерь |
, что приводит, |
в частности, к байесовской оценке типа максимума апоотериорной плотности наблюдений /26/
в ( T ^ a r y m n p ( f y e )/>(»), где |
J ° ( e ) = J f r g T |
№ |
) Л 1 Л Ж ) |
|
ff G Qjj |
|
7 |
|
|
плотность априорного распределения. Сценка |
( f .3 ,3 4 ) |
вычисляется |
||
аналогично ШП. |
|
|
|
|
Итак, в практических ситуациях |
оценки |
(1 .3 .2 6 ) |
и |
(1 .3 .2 ? ), |
как правило, слишком сложны и ощущается потребность в создании методов построения упрощенных асимптотически минимаконых или, по крайней мере, асимптотически эффективных оценок. Впервые на один
из таких методов указал Ле-Кам /1о8, 109/. |
Его метод |
заключается |
|||||||||||||
в улучшении произвольной |
? -состоятельной |
оценки |
& * до аоимпто- |
||||||||||||
тичеоки эффективной в |
смысле Фишера оценки |
^ |
го |
формуле |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г„ Гп ' ( Г ) * ^ |
|
У■ |
|
< i-s -3 5 > |
|||||
Оценки |
( J .3 ,3 5 ) |
предпочтительней оценок маноицума |
правдоподобия |
||||||||||||
по той |
причине, |
что функции 7 7 ( 1 ^ 9 ) и |
f y ( f ) |
, входящие в |
асимп |
||||||||||
тотическое |
разложение |
( Г .3 .3 1 ), |
в |
большинстве |
случаев могут |
быть |
|||||||||
выбраны существенно более простыми в вычислительном отношении, |
|||||||||||||||
чем функции Чр(х^', 9 ) |
и |
М£р(7к ', & ) ] - |
соответственно градиент |
||||||||||||
и Хеооиай рС*# > |
9 ) |
используемые при численной минимизации фукк-г |
|||||||||||||
ции правдоподобия / 267. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Более |
совершенными в |
практическом отношении оказываются р ас- |
|||||||||||||
оматриваемые ниже обобщения метода Ле-Кама. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Яроцедуру |
(Г .3 .3 5 ) улучшения |
^-состоятельной оценки можно |
|||||||||||||
рассматривать как случайный оператор из # 1 |
в |
f i t : |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( в ) * |
|
|
|
|
( J .3 .3 6 ) |
||
где вектор |
|
распределен в соответствии со значений* параметра |
|||||||||||||
^ , которое имело место в данном статистическом эксперименте. |
|||||||||||||||
Рассмотрим д-ю |
итерацию этого оператора |
при произвольном |
|||||||||||||
начальном условии, |
отстоящем от |
^ |
не |
более чем на |
г |
*. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .3 ? ) |
|
Величина &п (п ,г ) |
при начальном приближении & |
(0)е |
£ |
t |
выбирае |
||||||||||
мом, например, |
в результате процедур рандомизации в |
соответствии |
|||||||||||||
о какой-либо мерой на |
$г , представляет собой |
статистику от на |
|||||||||||||
блвдений Т |
. В /41/ показано, |
что |
при определенных ограничениях, |
51
отраженных в условиях теоремы Г .3 .2 |
(см . ниже), |
эта |
статистика |
|||||
является асимптотически эффективной оценкой <#Т |
|
|
|
|||||
Из последнего утверждения следует, что |
для любой просто |
со |
||||||
стоятельной предварительной оценки |
& °(х /р‘ |
* в 0 |
по вероятности |
|||||
(без всяких ограничений на скорость сходимости |
|
к &0 |
) |
|||||
статистика |
__ |
|
о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .3 8 ) |
||
|
|
|
* , ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является асимптотически эффективной, если число итераций ^ |
воз |
|||||||
растает с ростом |
N достаточно быстро. Требуемая скорость роста |
|||||||
п№ определяется скоростью отрешения 0^ |
к |
6? , |
и если |
- |
||||
<р-состоятельна, |
тс оценка (Т .3 .3 8 ) |
совпадает о |
оценкой (1 .3 .3 5 ) |
|||||
при nN в 'I . |
|
|
^ |
|
|
|
_ |
|
Нетрудно убедиться, что |
величина |
|
r ) “ М * |
(% г) |
||||
(если этот предел |
существует) |
есть |
решение уравнения А (Х^,0)=О, |
и также должна быть асимптотически эффективной оценкой в~ . Более
строго: введем |
следующую статистику - |
отображение в |
/f£ случай |
|||||||||
ной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
корень уравнения |
|
; в )=0, |
@>, когда |
он |
суще |
|||||
|
|
ствует |
и единствен, |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
я 1 |
произвольный |
вектор |
& |
- |
в противоположном |
3 .3 9 ) |
|||||
|
|
случае. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показано в $ Ц , |
при определенных ограничениях 0 (Хя ) являет |
|||||||||||
ся аоимптотичеоки.эффективвой по fm ep y оценкой. |
|
|
|
|
||||||||
|
Оценка |
Щ ( г) |
предпочтительней упрощенной оценки Ле-Ка- |
|||||||||
ма |
(Г .3 .3 5 ) не только потоку, |
что она формально не требует вычис |
||||||||||
ления предварительной |
^-состоятельной оценки в |
* (7# ), |
но также |
|||||||||
в силу того, что распределение |
при конечных |
N не |
зависит от |
|||||||||
начального приближения |
0# |
(или 9 ° ) |
и полностью определяется |
|||||||||
распределением |
случайной функции / 7 ( 7 . $)> & б ® |
. Статистичеокое |
||||||||||
моделирование на ЭВМ показывает, что |
при конечных |
0 |
она имеет |
|||||||||
меньшее, |
чем оценка |
(1 .3 .3 5 ) , |
среднеквадратичное |
отклонение от |
истинного значения параметра. То же |
самое в значительной отепени |
|||||
относится |
к |
оценкам 9^ (лм> г ) |
и 9# |
|
). |
|
Теперь |
сформулируем требования |
к |
семейству |
распределений на |
||
блюдений |
|
(Г ) j при которых |
оценки |
(Г .3 .3 5 ), |
(1 .3 .3 7 ) - (| .3 .3 9 ) |
асимптотически эффективны. Обозначим <С (® ) пространство непрерыв ных функций аргумента в е ® с ft^ о равномерной метрикой и будем говорить, что:
■Т) случайная функция ^ ( 9 ) е я"1 сходится по распределению
52
в |
к детерминированной функции £~(if; ) г если для любого е?& |
|
|
\* * ( & Ы ( f &0 ) \ > г } “ О, |
(1 .3 .4 0 ) |
2)случайная функция f ( j f ) G g * дифференцируема в € (& ) по
вероятности, |
воли при всех a , |
iT e . |
<s> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ш ) - Г < Я = < ? ( * ) ( # - f ) + A ( f , f ) ( f - 7 ) , |
|
|
|
||||||||||||||
где для любого |
«><? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
* |
t |
i x |
f & |
K |
r |
|
|
|
'•< » > *]-« |
<1.3.41) |
||||||
Справедлива следующая теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Т е о р е м а |
1.3.2 / 4 0 , |
417- |
Ц усть/» ^ ; |
0 |
) удовлетворя |
||||||||||||||
ет условиям JLAH, причем АД статистика Д |
(Г„; |
7 ) |
и П®-матрица |
|
|||||||||||||||
( в ) |
таковы, |
что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1Л , Случайная функция |
f |
(хк ; ff ) |
дифференцируема по А* |
|
- |
||||||||||||||
вероятности в |
£ (.& ), т .е . существуют случайные функции |
^ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 г |
(*#' |
|
|
|
4 |
(?*> в)< |
|
|
|
Ы * |
Ц |
- |
|
|||
чаотнне производные в смысле (|.З .М ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.2. Случайные функции |
f~6k |
<•£,■ 7 ) |
и |
|
fg 6 t l |
0 ) |
сходят |
||||||||||||
ся по распределению в |
С (@ ) |
к детерминированным функциям Ы &, i f ) |
|||||||||||||||||
и |
^ ) < |
|
|
, |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|,3 . Функции |
* а |
( ( / |
{ ) • |
|
|
$ , есть частные производные |
|||||||||||||
в £ С&) от функций |
f y |
( f ; |
в е ) по параметрам |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
Й Л , Для всех |
f , |
гГе ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
I $ ( ? ) - Г „ (? ) \ < е } ? - 7 \ . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
П.2. Существует равномерный по |
f |
е |
® |
предел |
r ( f ) « |
т |
С |
(&), |
|||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/у-*хю |
** |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
ctet г ( & ) - $ > 0 , |
|
Г ( ? ) ~ |
г ( & -,9в у , |
|
|
|
||||||||||
|
f e |
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
где |
V )® f t fi i |
( 0 ; |
i f ) |
у |
|
|
J |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда: |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
Оценка $м |
(1.3.35) |
асимптотически эффективна. |
|
|
|
|||||||||||||
2. |
Существует последовательность |
^ , |
такая, |
что оценка |
|
||||||||||||||
^ (П ц ) |
(1.3.38) аоимпготичеоки эффективна. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
Сущеотцует число г > 0 |
, такое, что при диаметре мнове- |
|
||||||||||||||||
cjsa ® |
> меньшем |
т* (т.е. |
|
|
& <з> 1^ г~ 0г \ <^’ )> оценка |
|
|||||||||||||
^ (г) |
(1.3.39) |
асимптотически эффективна. |
|
|
|
|
|
|
|
53
4 . |
Существует |
последовательность |
n# |
и число |
г , такие, чт |
|||||
при диаметре множества |
® |
, меньшем |
г , |
оценка |
8^ {л , г ) (Г .3 .3 7 ) |
|||||
асимптотически эффективна. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Более широкие достаточные условия, |
при которых |
справедливо |
||||||||
утверждение теоремы Г .3 .2 |
, приведены в |
/40, |
44/. |
|
|
|||||
Сравнивая условия I |
теоремы |
1 .3 .2 |
с условиями |
(Т .3 .3 0 ) - |
||||||
(1 .3 .3 2 ) |
"усиленной" ЛАН, |
ввдим, |
что первые овязаны с исследова |
|||||||
нием свойств статистики Т(ТК ; Т ) |
как |
случайной функции |
Т е ® , |
|||||||
в то время как вторые оперируют, |
по существу, |
с плотностью/»^, |
В ). Тс же самое относится и к вычислительным процедурам получе
ния упрощенных асимптотически эффективных оценок и оценок макси мума правдоподобия (или максимума апостериорной плотности).Из ре зультатов, приведенных в разделе 1 .4 , видно, что для параметри ческих моделей стационарных временных рядов анализ и вычисление
статистики Т (Т Я ; В ) |
и матрицы г ^ (8 ) |
- значительно более простые |
задачи, чем анализ и вычисление p(ifc ; |
Т ) .Ъ силу этого при ота- |
|
тистическом анализе |
временных рядов рассмотренные упрощенные АЭ- |
оценки (Т .3 .3 5 ) - (1 .3 .3 9 ) предпочтительнее ОШ и байесовских оце нок. Как отмечалось, при ограниченности моментов произвольного порядка упрощенные АЭ-оценки оказываются также асимптотически ми
нимаксными, |
т .е . полноотьго эквивалентными в теоретическом отноше |
|||
нии оценкам максимального правдоподобия. |
||||
|
Устойчивость алгоритмов оценивания параметров. АД отатисти- |
|||
кз А(ГЯ ; |
Т ) |
и ПНФ-матрица |
Г#1 Т ) определяются структурой оемей- |
|
ства |
распределений />(/£ ; Т ) |
и отражают существенные при больших |
||
N особенности этого семейства. Поэтому использование основанных |
||||
на i |
и г |
асимптотичеоки эффективных оценок предполагает, что |
семейство распределений Р (% } В ) в точности известно. Практиче ское применение оптимальных отатистических правил всегда овязано ,с наличием "априорной неопределенности" относительно статистиче ских характеристик наблюдений, поэтому наряду о оптимальностью используемых правил большую роль играет устойчивость обеспечивае мого ими качества решения к отклонениям распределения наблюдений
от предполагаемого |
закона р(Тя \ Т ) . |
Потеря оптимальности не долж |
|
на быть слишком "резкой". Например, |
если оцет® §Л |
, асимптотиче |
|
ски эффективная для |
предполагаемого |
распределения |
Р(ТМ ',Т )> при |
реальном |
распределении наблюдений р {Г н ; Т ) , |
незначительно |
отли |
||
чающемся |
от р(Тя |
; В ) , теряет |
такое важное |
евойотво, как |
состоя |
тельность, то ее |
ценность для |
практической |
работы невелика. Мож |
но сказать, что в данном случае ее оптимальность для конкретного распределения р(Г„ ; Т ) "покупается по слишком "высокой цене", и 54
этой оценке целесообразно предпочесть другую, |
качество которой |
|||||||||||||||||||||||
при p(7/t‘, |
(Г) |
несколько хуже, |
но зато |
сохраняется достаточно вы |
||||||||||||||||||||
соким в том множестве возможных распределений наблюдений, |
грани |
|||||||||||||||||||||||
цы которого определяются точностью наших представлений о статис |
||||||||||||||||||||||||
тическом эксперименте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим условия, |
при которых предложенные выше асимпто |
||||||||||||||||||||||
тически |
аффективные |
оценки, |
основанные на АД статистике |
|
|
0~) |
||||||||||||||||||
и Ш -м атр щ е |
Гм(0 ) |
для распределения |
р(х^; |
F ), |
сохраняют |
^ -со |
||||||||||||||||||
стоятельность и асимптотичеокую нормальность при реальном распре |
||||||||||||||||||||||||
делении наблюдений р(Т№,Р ) , |
отличающемся от |
|
p(T # ; |
Т ) . Эти ус |
||||||||||||||||||||
ловия следуют из решения более общей задачи, |
|
которая |
сформулиро |
|||||||||||||||||||||
вана |
ниже. Введем оценки, |
|
основанные |
на произвольной статистике |
||||||||||||||||||||
f ( 7 ; |
; |
F ) , |
зависящей от параметра |
в е ® , |
и на матрице |
|
w # (f) ■ |
|||||||||||||||||
|
f(%) |
|
корень уравнения |
0 ( 7 ; ; 0 ) = 0 3 |
|
0~& ® , если |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
он существует |
и единствен, |
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .4 2 ) |
|||||||||||||
'I ) |
|
© |
- |
произвольный вектор в |
|
противопо |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ложном случае; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) # ( % ) - * ( % ! 0 % ),где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .4 3 ) |
|||||||||
Т * ( |
F r ) |
- |
произвольная |
^-состоятельная |
оценка; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
|
|
|
|
? ( % ! * * ) • * ”* ( $ ; |
|
|
) , |
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .4 4 ) |
||||||||
где |
|
* |
«* |
- |
некоторая возрастающая последовательность; |
0 |
‘ |
- |
||||||||||||||||
произвольная |
состоятельная |
оценка; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 ) |
|
|
|
|
f t b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .4 5 ) |
||
где П/ftta , |
е <3> |
- |
произвольный вектор: |
|
10 |
<е) |
-0 ^ |
|
I |
х’ . |
|
|||||||||||||
^ |
Перед нами отоит |
задача |
- |
найти ограничения на функции |
|
|||||||||||||||||||
8 ( 7 ; |
, F ) , Ц у(0‘) и распределение наблюдений |
р(х~я -, |
$~), при кото |
|||||||||||||||||||||
рых оценки |
( £ .3 .4 2 ) - ( 1 .3 .4 6 ) |
|
^-состоятельны |
и асимптотически |
||||||||||||||||||||
нормальны. Следующая теорема позволяет решить эту задачу. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Т е о р е м а |
1 .3 .3 |
|
|
• Пусть |
статистика |
|
|
|
|
|
F k ® |
||||||||||||
такова, |
что при распределении наблюдений |
? ( ? # ; |
) |
'■ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 .1 ) |
|
отатистика |
f ( F r ; |
&о) |
|
асимптотически |
нормальна |
о пара |
|||||||||||||||
метрами |
( & 0 ( £ ) ) ; |
|
|
|
|
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Г .2 ) |
случайная функция |
0 ( 7 ; |
' , T ) * J e ® |
|
дифференцируема |
в |
|||||||||||||||||
АТ®) |
по параметрам |
8г , |
1ет7% |
по |
|
^--вероятности, |
т .е . |
суще |
||||||||||||||||
ствуют |
случайные функции |
|
|
|
0 |
) |
|
|
|
|
|
f ) , |
|
k, |
г |
& тГ% , |
||||||||
0 е ® |
|
_ |
производные |
в |
смысле |
( 1 . 3 . 4 ! ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
||||||||
|
| .3 ) |
случайные функции fyTyC % ; |
(Г J |
и г#*Л1 ( 7 Л , |
8 |
) , |
в £ ® , |
55
кг е /7| |
|
оходятся |
по |
распределению |
Р$- в |
£(<$) к детерминиро |
||||||||||||
ванным функциям |
U |
в0 ) |
и |
T^(T-,B0 fi |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 .4 ) |
функции гмг((Г;д0 )^ |
а |
е |
|
есть частные производные |
||||||||||||
в |
£ (& ) |
от функций |
% (Т : |
Р0 ) по параметрам |
Вг , |
причем при 0 « ® |
||||||||||||
dei Т ( Г ; |
% ) |
> л > 0 , |
|
где |
Г ( Г ; % ) |
= [ r t z (e , % |
), |
кг^гЩ ] . |
||||||||||
|
Цустъ далее |
|
|
- |
последовательность матриц, |
удовлетво |
||||||||||||
ряющая следующим ограничениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
П.Т) I tVpdf) - кУг( ^ ‘)\<е\в~~гТ\ |
для всех |
|
|
|
|
||||||||||||
|
П. 2) |
существует |
равномерный по Ж* ® |
предел |
Щ3~) =um |
|||||||||||||
причем det tV(I) > л |
> 0 |
и |
)V (^ )= -7(Pe , $0 ) > |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 . Существует число |
г |
> |
, такое, |
что при диаметре множе |
|||||||||||||
ства © |
, |
меньшем |
г |
, оценка 8 ( 7 ^ ) |
(1 .3 .4 2 ) асимптотически нор |
|||||||||||||
мальна |
с парамеграш |
i $ , /£ ■ *(% )) • |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
^ |
2 . Если |
В*С *# ) - |
4*-состоятельна |
при |
/< 7^ . Р ) , то |
оценка |
||||||||||||
ёА( f |
) |
(1 .3 .4 3 ) асимптотичеоки нормальна о параметрами |
(Р„ , |
|||||||||||||||
r i ^ K |
) ' ) - |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 . Если |
0°гТ м ) - |
произвольная состоятельная при |
Pi*"#; i f ) |
||||||||||||||
оценка, |
то существует последовательность |
|
такая, |
что оцен |
||||||||||||||
ка |
в ( 7^, |
вм) |
(1 .3 .4 4 ) |
асимптотически нормальна с |
параметрами |
|||||||||||||
< К ,/ } * < $ ) ) • |
|
|
|
|
|
|
|
ty |
|
|
г , такие, что |
|||||||
|
4 . Существуют |
последовательность |
и чиоло |
|||||||||||||||
при диаметре множества |
® |
, меньшем г , оценка |
£ (jtM, |
|
г ) |
|||||||||||||
(1 .3 .4 5 ) |
асимптотически нормальна о параметрами |
|
|
|
ж & в) ) . |
|||||||||||||
|
5 . Асимптотическая ковариация оценок |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
J) ( % ) - * ~ Ч ? й) |
и (в 0 ) ^ - г{^ 0 ) . |
|
|
|
(1 .3 .4 6 ) |
|||||||||
|
_ При фиксированной вектор-функции |
|
) |
условия |
I теоре |
|||||||||||||
мы Г .3 .3 |
определяют |
класс |
к |
{ р ( ?#, 7) ) } |
распределений наблюдений, |
|||||||||||||
-в |
котором оценка (1 ,3 .4 2 ) |
сохраняет |
^-состоятельность |
и асимпто |
тическую нормальность. Отметим, что необходимое условие сохране
ния этих |
свойств |
- выполнение тождеотва |
|
|
|
||
|
|
|
|
п р и п е в , |
k e - l T i , |
(1 .3 .4 7 ) |
|
которое |
вытекает |
из условий |
f . I и 1 .3 теоремы |
1 .3 .2 . Действитель |
|||
но, если условие |
(1 .3 .4 7 ) не |
выполняется, |
то статистика < f ( f i йГ) |
||||
не может иметь асимптотическое среднее, равное |
нулю, т .е . не вы |
||||||
полняется условие |
ГЛ . Таким образом, для всех |
распределений |
|||||
P iT j,. |
|
должно иметь |
место у с л о в и е ^ !.3 .4 7 ) . |
|
|||
Для построения итерационных сценок ё # , |
или |
, как это |
|||||
следует |
из |
формул ( I .3 .4 3 ) - ( f .3 .4 5 ) и условия |
П.2 теоремы 1 .3 .3 , |
||||
необходимо, |
вообще говоря, знать матрицу |
7 ( P0 ; в~е ) |
частных про- • |
||||
56 |
|
|
|
|
|
|
|
взводных вектор-функции Т ((Г ; в0 ) |
по параметрам |
вг . Поскольку |
||||||||||||||
матрица |
Т(ву, 80 } |
в |
общая случае |
зависит |
от |
неизвестного |
дей |
|||||||||
ствующего распределения |
р ( Г# , в „ ) е гг , |
то |
использование |
оценок |
||||||||||||
8#, |
8# |
или |
8п |
при фиксированной последовательности матриц |
|
|||||||||||
и произвольных распределениях из класса П предотавяяется,на |
пер |
|||||||||||||||
вый взгляд, |
теоретически |
неоправданным. Однако оператор 8 (Ту, 8)= |
||||||||||||||
- ( Т * ?#****(( T ) f ( j y ; |
(Г ) |
остается |
при больших |
Н |
сжимающим в |
|||||||||||
окрестности точки |
Т |
= (Г0 |
и в олучае отклонения |
|
М((Гд) |
от |
матри |
|||||||||
цы - |
Т((%, § 1 ) . |
Поэтому у каждого |
распределения |
р * (>у, (Г )& к |
||||||||||||
существует его "окрестность" - множество |
Я * , |
для всех |
элементов |
|||||||||||||
которого оценки 8М и вм |
о фиксированной матрицей |
|
оста |
|||||||||||||
ются асимптотически нормальными с |
параметрами |
(Т0 , у 1]) |
(в р ) ) . |
|||||||||||||
Кроме того, |
в ряде |
задач |
существуют обширные классы M o jz |
|
рас |
|||||||||||
пределений |
Р (% |
> 8 ) , такие, что предельная функция т (Т,Т0 ) |
для |
|||||||||||||
статистики |
|
|
|
одна и та же при всех |
|
р(Т ^ ,в)е.гТ 1 . В |
этих |
|||||||||
задачах |
воя |
совокупность утверждений теоремы Т .3 .3 остается |
спра |
|||||||||||||
ведливой для статистики |
^ (T v , 8 ) |
и фиксированной матрицы |
8 ( 8 * I |
|||||||||||||
при любых р |
|
(Г ) е Ш . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 .4 . Ж5КАЯШЯ АСИМГГГОТШЖКАЯ НОШАЛЬНОСТЬ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
ДЛЛ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ временных рядов |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Гаусоовокие временные ряды. В разделе \Л |
рассматривалась |
||||||||||||||
модель гауосовокого |
стационарного |
временного |
ряда |
Е е Ж |
как |
наиболее употребительная отатиотическая модель для описания по следовательности зависимых наблюдений. При этом для проототы тер минологии понятие отационарнооти использовалось в неоколько бо лее широком, чем обычно, смысле, а именно: допускалась завиои-
моогь от времени среднего значения |
. Параметрическое задание |
||||||||||
такого |
временного ряда соответствует |
случаю, |
когда |
его |
среднее |
||||||
si и автоковариационная функция |
с г |
определены в |
виде |
известных |
|||||||
функций векторного параметра |
Т е р I |
. во многих приложениях, свя |
|||||||||
занных о анализом многомерных наблюдений, |
представляет |
собой |
|||||||||
вектор |
Tt * (xt ; , |
.... xtn, )т. |
Совместная плотность гауосовокого |
||||||||
распределения совокупности |
8 |
|
последовательных наблюдений |
Т „ - |
|||||||
« ( Т / , |
T J f |
записывается в |
вида |
? |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/><%, ? ) * [ ш |
г |
* |
* * |
Г |
/ i ) г |
* |
|
|
|
X**/>[-1 (Т„-%(?})%'( 9Кру |
|
, |
(1.4.i) |
|
|
||
где ~Z(T)*(tTj(T), .... |
Tf ( 8) |
xt - объединенный |
57
вектор |
средних; |
t# (S ') |
( ff )> * ,j e h * ] , |
Cr ( f ) |
- |
~ % l F ) ) ( T i f .r |
~^t+r ( F ) ) r |
- блочная матрица |
ковариаций наблю |
||
дений, |
составленная из значений матричной автоковариационной |
||||
функции |
cr ( в") |
ряда Jtf . |
|
|
|
Построение и практическое использование оптимальных байесов
ских тестов для проверки гипотез о параметрах временных рядов с плотностью распределения (1 -4 Л ) или оценок максимума правдопо
добия для этих параметров возможно только в том случае, |
когда |
||||
функциональная зависимость плотности |
|
; 8 ) ст параметра |
F |
||
задана в аналитической или достаточно простой алгоритмической |
|||||
форме. Однако для плотности ( 1 .4 Л ) |
это в |
общем случае |
недости |
||
жимо, хотя бы в |
силу вычислительных |
сложностей, связанных с |
об |
||
ращением матрицы |
£л ( в ) при значениях т/1 , превышающих несколь |
||||
ко десятков. Кроме того, параметрическое |
описание гауссовского |
||||
временного ряда часто получается более простым и естественным |
|||||
при задании функциональной зависимости от |
параметров в |
его |
энер |
гетического спектра. Такое описание, как правило, очень трудно
"перевести" |
в |
параметричес <ое описание матрицы |
£ ^ ( 0 ) . |
В связи |
с |
зтим важно, что при достаточно широких условиях |
|
регулярности для плотнооти распределения (Г .4 Л ) |
выполняются ус |
ловия локально! асимптотической нормальности. Эго позволяет кон струировать достаточно проотне асимптотически оптимальные решаю щие правила для различных задач проверки гипотез и оценивания па
раметров, |
возникающих при анализе |
стационарных гауосовоких |
вре |
|
менных рядов. |
|
|
|
|
Будем предполагать, что |
Tt , |
t e l - регулярный временной |
||
ряд, т .е . |
существует матричная |
энергетическая спектральная |
плот |
|
ность |
|
|
|
|
г ( л , & ) - Ё |
ст(? ) е ‘лг , |
л еП>,2х], |
/ |
« |
® , |
|
( 1. 4. 2) |
||||
|
|
ГЬ~ск» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющая предположению 2 |
раздела Т Д . |
|
|
^ |
|
|
|||||
Сформулируем условия на среднее значение |
Щ.( F ) |
и спектраль |
|||||||||
ную шютно'сть |
F (л, & ),при |
которнх плотность |
распределения наблю |
||||||||
дений (1 ,4 .1 ) |
обладает овойотвом ЛАН (см. |
раздел |
X .I, |
определе |
|||||||
ние 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем говорить, что для стационарного |
временного |
ряда |
со |
||||||||
оредним значением |
s ^ c f ) я |
спектральной плотностью f ( / t , F |
) вы |
||||||||
полняется |
комплекс условий |
Л , |
если 0 & J |
|
|
|
|
|
|
||
A I. |
Элементы последовательности Щ ( 8 ) |
имеют при каждом t e l |
68
производные ^ ( 6 ) |
|
|
|
|
|
к е ы |
=> удовлетворяющие следую |
|||||||||
щим ограничениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
||
Г Л ) |
|
) |
имеет |
при всех |
к е |
|
л |
f i e ® |
конечную |
|||||||
"среднюю мощность" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 -Т ,\ в н |
(.в)\г< с , |
|
н е * ; |
|
|
(Г .4 .3 ) |
||||||||
|
|
" |
t=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 .2 ) Тм ( в ) |
|
не |
имеет |
слишком быстро |
растущих |
выбросов, т .е , |
||||||||||
существует |
такое |
|
р е [ 0 ,1 ) , |
что при всех |
х е |
|
и в е ® |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ш ах \ & ..( 0 ) \г < c * f i ; |
|
|
|
|||||||
! . 3 ) |
Tkt(. (Г) - последовательность |
равномерно |
непрерывная по |
|||||||||||||
6 в среднеквадратичной метрике |
( Г .4 .3 ) , т . е . для любых последо |
|||||||||||||||
вательностей |
fi£ е ® |
и |
t |
I < £ : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
» * |
i |
к |
|
I Tkt ( К |
- |
i h |
- |
|
) |
\г = 10 |
■ |
||||
|
|
|
" |
t*f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АП. Матричная функция |
Г (Л ; В) |
удовлетворяет |
следующим ус |
|||||||||||||
ловиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___ |
|
Д Л ) |
при всех |
Я |
е |
[ 0, 2 я |
] , |
( Т е ® |
det F ( x ;f i )> ju >0 ; |
|||||||||
0 .2 ) равномерно |
по |
f i e ® |
выполняется условие Липшица: |
|||||||||||||
|
I f ( * t , f |
) |
- |
F (* 2 i У )\ |
< с |
\л} - л 2 |
| ; |
|
|
|||||||
5 .3 ) существуют производные |
по параметрам |
в~к : Гк ( л , Т ) - |
||||||||||||||
» -jg— F (* , в |
) , удовлетворяющие, |
как функции |
л , |
равномерно по |
||||||||||||
е %, уоловию Липшица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Справедлива |
оледующая теорема, |
обобщающая результаты /23,98/. |
||||||||||||||
Т е о р е м а |
|
Г .4 Л /49/. Цусть для |
гауосовского стационарь |
ного временного_ряда выполнен комплекс условий А. Тогда плотность
распределения |
( 1 .4 Л ) |
выборки наблюдений этого ряда |
обладает |
||
свойством ЛАН |
(1 .2 .2 5 ),. где АД |
статиотика Т (х ^ ; Т ) |
и 1ГО-матри~ |
||
ца |
F/f(S~) выражаются |
|
|
|
|
|
|
|
(%■, 8 |
); r/rie )~ 9 lt( f ) + <Plf(d - ) t ( J . 4 . 4 ) |
|
где |
_ |
. |
н |
х |
|
|
Г ( |
|
%■ ? 7( |
S. ) ; к е 1,1 J ; |
|
|
|
т у |
£ ( % ' |
F~7( ? r r;)~ trFj |
%■ |
59
Ъ ( Г > я[ 7 & Я / С г % ’ К г е Ъ ] ’ |
I r l j r t ) , |
|
r . J |
- |
f ( A |
j ; 7 ) ; |
|
i » ) ; |
ZJT; |
|
||
|
*J |
*** |
|
*j = ' |
|
|
||||
-*■ |
1 x' |
-*■ |
i t ; t |
- дискретное |
конечное |
преобразование Фурье |
||||
Sj ~ |
iLf |
*t e |
|
|||||||
наблюдений; |
Tt , |
S. { 9 ) , s ^ ( & ) - |
т0 же для |
значений |
£7/Г/( |
|||||
|
Согласно формулам ( 1 |
.4 .4 ) , |
структура |
АД отатистики |
T {* # i8 ) |
|||||
и ШФ-матрицы |
Гм ( в ) |
и в |
вычислительном отношении, |
и в |
смысле за |
дания их функциональной зависимости от параметра (Г более проста, чем структура плотности распределения наблвдений временного'ряда
( Г .4 .1 ) . Действительно ^дискретные |
конечные преобразования Фурье - |
|
Д ® Tt ; Sj т % |
Д ® sH |
- веоьма эффективно выполняют |
ся м етодам Б ® , после чего остается вычислить весьма простые ли
нейные статистики. |
Таким образом, при условии, |
что |
F f r ,T ) ж Fk С* ; ИГ) |
достаточно просто зависят |
от параметра, нет |
принципиальных вычислительных затруднений в отношении практиче
ской реализации асимптотически оптимальных тестов |
( £ .2 .2 7 ) , |
(Т .2 .3 4 ) и асимптотически эффективных оценок (Г .3 |
.3 6 ) - ( 1 .3 .3 9 ) , |
обеспечивающих вннеоенше решений о параметрах гауссовского ста ционарного временного ряда.
Негауооовокие временные ряды. В настоящее время только для одной общей модели стационарных негауссовских многомерных времен ных рядов доказано свойство ЛАН распределения наблвдений. Это мо дель векторной /^-связкой отационаркой марковской последователь
ности, для которой совместная плотность распределения наблвдений
имеет вид (| Л .2 6 ) . Примером такой /’-связной марковской последо вательности может служить многомерный яегауооовокий авторегресси
онный процесс, |
удовлетворяющий разностному уравнению |
(Г . 1 .1 9 ) . |
||||
Переходная плотность при этом определяется формулой |
( I Л .2 7 ). |
|||||
|
Если |
/>-связной марковской последовательностью аппроксимиру |
||||
ется |
шум, |
аддитивно маскирующий квазвдетермикированный сигнал |
||||
$ £ (& ), зависящий от неизвестного |
параметра |
<Г, то наблюдения |
||||
имеют вид |
Af |
( & ) + ft , где xf |
по-прежнему представляет со |
|||
бой |
/«-связную марковскую последовательность |
с переходной плот- |
ноотью
60