книги / Статистический анализ геофизических полей
..pdfгд е |
f„ (ft,9) - ^,+ft^ ( f) , |
|
|
|
|
|
j( (Ю |
- матричная автоковэриационная функция сигнала |
. |
|
|||
Обратим внимание» что гш о теза |
#0 в выражении (П .2 .5 ) |
счи |
||||
тается |
простой, т ,е . |
плотность |
распределения выборки помех |
|
||
плотностью известна, |
в то время |
как |
альтернатива #? |
(ЙГ.2.3) |
- |
сложная, т . е . допускается априорная неопределенность относитель
но формы сигнала |
^ или его статистических характеристик £ U ) . |
|
Такая |
"неравноправность" предложений о сигнальном и помеховом |
|
полях |
оправданна в |
тех случаях, когда обнаружение осуществляется |
в "ждущем режиме", т . е . момент прихода сигнала неизвестен, и ги
потезы |
fiet |
Hf |
проверяются периодически через промежутки времени |
|||
At |
на |
основании наблюдений в |
"скользящем окне": Тл (г) - |
> |
||
. . . |
,т £ ) г, |
г= A t к, k е jr. в те интервалы времени, когда |
сигнал |
|||
не |
обнаружен, |
наблвденш Ху(*) |
представляют собой выборки "чис |
|||
той помехи", |
по которым ее статистические характеристики могут |
|||||
быть определены с достаточной точностью. Последнее утверждение |
||||||
справедливо не только при условии, что помеховое поле |
t ) |
стационарно во времени, но и в случае егс "медленной нестационар-
ности", когда статистические характеристики ? t) существенно
меняются лишь за время, значительно превосходящее интервал r=/r/fg существования обнаруживаемого сигнала.
Вместе с тем сигнал наблюдается редко» на коротком интерва ле и в смеси с сильной помехой. Поэтому экспериментально опреде
лить его характеристики не удается. Кроме того, от одного акта
излучения сигнала до другого физические свойства источника могут изменяться. Все это приводит к значительной неопределенности в информации относительно характеристик сигнала, отражаемой слож
ной альтернативой |
4 • |
|
Более трудна |
ситуация, когда спектральная |
матрица помехи |
Ш ) неизвестна |
и должна восстанавливаться по |
той же выборке на |
блюдений TN , по |
которой выносится решение о наличии сигнала. |
Например, в задаче обнаружения и локализации "излучателей" рас сеянных волн сильной помехой является возбуждающее излучатели волновое поле от землетрясения или искусственного оейсмичеокого источника. Временной опектр и форма фазового фронта этого поля,
которые определяют матрицу £(А) , чаото не могут считаться априо
ри известными. |
При параметрическом описании спектральной матрицы |
||||
помех в |
виде: |
Г Ц ) - f (А я ) , |
неизвестные |
ее параметр» ( «V, к е |
|
е. ( 7 |
) |
относятся к мешающим, |
и задаче обнаружения сигнала соот |
||
ветствует |
задача проверки сложных гипотез |
с мешающими Параметрами: |
|||
|
|
|
|
|
I I I |
(1 .2.6)
= * ( * 4 \ / и , & Я ) , /«>0, ее-® , &e:V.
Методы построения асимптотически оптимальных тестов для проверки
Таких гипотез, гарантирующие (при достаточно больших размерах вы борки) вероятность ложных тревог, близкую к заданной при любом априори неизвестном векторе мешающих параметров «Г, приведены в
работах /3, |
И |
(асимптотичеоки подобные тесты ). |
|
|
Аоимптотически оптимальные алгоритмы обнаружения п т извест |
||||
ном спектре помех. Если квазидетерминированный сигнал |
Ё е ® |
|||
И матричная спектральная плотность |
помехи ТШ удовлетворяют |
|||
ограничениям A f Л , А 1 .2 и А 2 Д , |
А П.2 теоремы Т .4 Л |
соответ |
||
ственно, то |
плотность распределения (И".2 .4 ) выборки jC# |
обладает |
||
в точке / « |
= 0 |
свойотвом ЛАН с АД статистикой |
|
|
|
|
|
|
(Ш .2.7) |
и информационным количеством Фишера (нормированным на f f )
\
|
|
|
|
|
|
(Ш.2. 8) |
вавиоящими от параметров оигнала |
? . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( 1 .2 ,9 ) |
Точно также, если спектральная плотность |
|
случайно |
||||
го сигнала удовлетворяет условию A ff.2 теоремы 1 .4 Л , а |
опект- |
|||||
ральная плотность F(A) |
помехи |
- |
условиям А Д Л |
и A f» 2 этой |
||
теоремы, то |
плотность |
распределения |
( 9 ,2 .5 ) выборки |
% |
обладает |
|
В точке / Г в |
0 свойотвом ДАН о АД статистикой |
|
|
|||
и информационным количеством Фишера |
*» |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(1 . 2/Й ) |
Как показано в разделе 1 .2 , для сигнала, известного с точ
ностью до "амплитуды" /и |
при указанных ограничениях на |
сигнал и |
|||||||||||||||
помеху существует асимптотически равномерно наиболее мощный |
|||||||||||||||||
(AFHM) тест для проверки гипотезы |
•/г - |
о |
против сложной аль |
||||||||||||||
тернативы Нг |
ija > о, |
который имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i , |
если |
|
|
|
|
|
|
|
(Щ .2Л2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
О, |
если J ( f v )< xoC, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где J ( i ^ ) = *?(*#) |
при детерминированном оигнале, 4 (* # ) = 0 |
( f # ) |
|||||||||||||||
при случайном сигнале, |
|
|
находитоя из уравнения |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
Y |
* |
|
|
|
Ш .2Л З ) |
||
Асимптотически оптимальные тесты для обнаружения квазидетер- |
|||||||||||||||||
минированного |
сигнала |
|
f / s^(8~), форма которого |
известна |
с точно |
||||||||||||
стью до параметра |
0 е |
® |
, а |
также случайного |
гауссовского |
сигна |
|||||||||||
ла со спектром р |
(А ), зависящим от |
неизвестного параметра |
0^ |
||||||||||||||
рассмотрим в |
ситуации, |
когда |
параметры |
|
- |
линейные; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
(Щ .2Л4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При такой |
зависимости |
|
сигнала |
от мешающих параметров 0 |
|
АД статис |
|||||||||||
тика (Ш .2.7) имеет вид |
|
¥>(/%, |
|
|
|
|
|
0 г^ (х ^ ) , |
а |
инфор |
|||||||
мация Фишера Щ .2. 8) равна |
|
|
|
8*Вг |
<Pi t |
Г‘РГ |
|
& , |
где |
||||||||
выражения для |
% (Тм) |
|
и |
Ф#цг |
легко получить, |
подотавив в |
Щ .2 .7 ) |
||||||||||
и ( f .2 .8 ) |
ш есто |
^ |
|
оумму |
5~ = |
|
&к , |
где |
- |
Д ® |
. |
||||||
Аналогично преобразуются АД |
статистика |
Ш .2 Л 0 ) |
и информация Фи |
||||||||||||||
шера Щ .2 Л 1 ) |
для |
случайного^сигнала |
оо |
|
спектром |
(Ш .2Л 4): ч* (*#, |
|||||||||||
0 г,Р(хм), |
1М(8 )~ Ж Т ^ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для рассматриваемого случая можно построить байесовский асимп |
|||||||||||||||||
тотически |
оптимальный |
|
(ЕАО) тест для проверки гипотез |
(Щ .2.2) и |
|||||||||||||
(Щ .2.3), |
если |
задаться |
априорным распределением |
0 ( 0 ) |
параметра |
||||||||||||
ЦТ. Этот |
теот |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Н |
|
: |
если / > ( ^ ) ^ |
Ki> |
|
|
(Щ .2Л5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
если /> ( $ )< |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЗ
где /э ($ )--\ ех р ^ гй(~„)-5 -ё‘г% |
^ Р ( ё г); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
идя детерминированного сигнала, Т (Т Л) - f |
<>&), |
Ру = |
¥„ |
- |
для |
|||||||||||||||||
случайного |
сигнала; |
£ |
|
|
находится из уравнения |
(Ш .2.13), |
если |
|||||||||||||||
подставить в |
него вместо |
А (/у) статистику />(*#)■ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
В разделе 1 .2 |
приведена |
структура |
статистики |
/>(Х #) |
|
БЛО |
||||||||||||||
теста |
для ситуации, |
когда_ Р (в ) - |
нормальное распределение |
в |
||||||||||||||||||
zf 9 |
с |
вектором средних |
|
^ |
и матрицей |
ковариаций |
в |
(формула |
|
|||||||||||||
(| .2 .36)),и рассмотрены |
предельные |
чаотные |
случаи этого теста |
в |
||||||||||||||||||
ситуациях, |
когда распределение Р (& ) |
сосредоточено в |
малой окрест |
|||||||||||||||||||
ности некоторой точки |
|
|
и, наоборот, имеет матрицу ковариаций* |
|||||||||||||||||||
значительно превосходящую по норме матрицу |
|
|
При нормальном |
|||||||||||||||||||
P ( f ) |
статистика /> (Т ц) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(Р |
|
|
|
) Г'4# (.4 (Х н )~ в ~ )~ ^ Г(* н ) P# 7А (*#)> |
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
Г/ |
|
°/t |
f g |
- |
V |
f + * ) ' * • |
|
s ‘ |
rg |
&o- |
|
|
|
Ш .2 Л 5 ' ) |
|||||
В указанных предельных |
случаях статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
А |
(**)~ |
|
>*я ]’ |
|
|
|
|
|
|
Ш .2 Л 6 ) |
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S t (7g ) * J i Г(% ) Г |
/ Л |
Г |
, |
)■ |
|
|
|
|
(1 . 2Л 7) |
||||||||
|
|
Я ч ество асимптотически |
оптимальных |
(АО) теотов |
(Щ .2Л2) и |
|||||||||||||||||
(Ш .2Л5) |
при проверке гипотез (Ш .2.2) |
и (Ш .2.3) |
характеризуется |
|||||||||||||||||||
их функцией мощности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
я У у , О * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) . |
|
* - 2 Л 8 ) |
||||
где |
у (f j ) |
- |
статистика |
АО теста: А (% )ю ш |
теота |
(Ш .2Л 2),у0(*^) |
||||||||||||||||
для |
теста |
(Щ .2Л 5). |
Эта функция7п р и ^ |
|
0 |
определяет вероятность |
||||||||||||||||
правильного |
обнаружения |
сигнала с |
"амплитудой" /V |
и параметром & , |
||||||||||||||||||
а при д |
= о ~ вероятность ложной тревоги. Вычисление функции мощ |
|||||||||||||||||||||
ности при коночных |
/ |
- |
трудоемкая задача, однако, как следует из |
|||||||||||||||||||
теорем Г .2 Л |
и Т .2 ,3 , |
для АО |
теотов |
(Щ.2Л 2) |
и |
(Ш .2Л5) |
существу |
|||||||||||||||
ет |
предельная функция мощности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
вычисляемая достаточно проото. Из выражения |
(Ш .2Л9) |
видно, |
что |
|||||||||||||||||||
Уа (/8~) определяется предельным распределением_статистики |
q (* # ) |
|||||||||||||||||||||
АО теста |
при "близких" |
альтернативах |
|
|
|
& |
* которое |
может |
||||||||||||||
114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** |
|
|
|
|
|
|
|
быть получено, исходя из |
предельного распределения АД статистики |
|||||||
Г ( % ) |
при этих альтернативах. Как указывалось в |
разделе 1 .2 , |
||||||
последнее распределение |
нормально |
с |
параметрами |
( ? г е , г ) , где |
||||
Р *li7* |
Л ,. Из выражения |
(Щ .2.8) |
следует, |
что |
для квазвдетерми- |
|||
flf'+OQ " |
|
|
|
|
|
|
|
|
иированного сигнала |
|
|
|
|
|
|
||
г ‘ |
< Р -[а Г * гу -7(л)е/ИГг/,(л) , |
1,р еЩ ] |
, |
Щ.2.20) |
||||
где |
Wtp (я ) |
- Д я * |
(я }, H„lfi (* ) « £ |
f tJ I * |
|
|||
при л |
е [ 2 л(_г-1 ) / я , г л г / z f j . |
|
J |
|
|
|
||
Функция |
Wtp ( л ) представляет |
собой предельную функцию вре |
менного взаимного энергетического спектра компонент сигнала
и. Эта фикция может быть выжжена через временную взаимную
автоковариационную функцию компонент stt и s # в виде
Аналогично из выражения (Ш .2.И ) получаем, что для |
случайно |
го оигнала |
|
/’ ‘ 9>В[& Г \ i r f ' }( ^ S ^ ) r ,u )^ ( » )d A , A, l е 7 ^ ] . |
(Ш .2.21) |
Из выражения (Щ .2.И ) и асимптотической нормальности АД ста
тистики выводим, что предельная функция мощности AFHM теста ( § .2, 12) равна:
|
|
У( / ) |
|
f e |
/ , |
(Ш .2.22) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
**> т£ г Ь * № ) * - |
|
|
|
||
Следовательно, уравнение (Щ .2.13) для |
определения порога |
£ |
тес |
||||
та |
® , 2Л 2) |
принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
t t y ) “ 1 ~ * > |
Xd " Ь ы \ ^ > |
(1 .2 .2 3 ) |
|||
где |
квантиль уровня |
/ -« ; |
стандартного нормального распре |
||||
деления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельное распределение при близкой альтернативе; ^ |
|
= ■— |
||||
статистики |
/>0(х# ) (Щ .2Л5) |
БАО теста |
при нормальном Р (6 ~) |
есть |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Н 5 |
распределение квадратичной формы от нормального вектора о пара метрами ( j -гв , г ) . При малой размерности g вектора f f это рас пределение достаточно сложное /2/, но с ростом g быстро прибли
жается к нормальному. Нормальная аппроксимация предельного рас
пределения |
иссшеловаяа в |
/52/. Для БАО теста |
(И.2 Л 5) оо |
|||
статистикой |
(Ш .2Л6) |
аналогично |
(ffl.2.22) |
получаем |
|
|
|
Г' ( / Г } ' |
' ~ А(~ 7 7 |
Щ ^ |
) |
^ |
(1 .2 .2 4 ) |
Предельную функцию мощности БАО теста |
со |
статистикой |
(Щ .2.17) |
можно получить из следующих рассуждений. Подставим />;(*#) в вике
|
f>2 ( ftf) В \Г (. |
} |
|
|
|
(Тя ) |
|
|
(1 .2 .2 5 ) |
||||
Из асимптотичеокой нормальности АД статистики |
T (xjy ) следует, |
что |
|||||||||||
предельное распределение вектора |
*(><*) при близких альтернативах |
||||||||||||
fB / { н |
нормально с |
параметрами ( j r W |
(f, |
Т ) . Следовательно, пре |
|||||||||
дельное |
распределение статистики |
рг (Т№ при близких альтернати |
|||||||||||
вах |
нецентральное |
распределение |
о g |
степенями свободы и |
|||||||||
параметром нецентральности аг * у 10 |
тГ/Г . |
Таким образом, |
|
|
|||||||||
|
|
г2 ( г ? ) |
- / |
|
|
яг = / г В г Г 0 , |
|
|
(Ш .2.26) |
||||
где |
//^ а2 (х) - |
интегральный закон |
нецентрального |
|
распределе |
||||||||
ния с |
g |
степенями свободы и параметром нецентральности |
а^; |
- |
|||||||||
квантиль уровня ?-°с |
центрального |
|
^-распределения с |
g |
степе |
||||||||
нями свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Анализируя функцию мощности |
(Ш .2.24), |
видим, |
что |
качество |
|
||||||||
БАО теста со статистикой (Ш .2Л6) |
|
зависит |
от |
проекции вектора |
0 - |
||||||||
параметр обнаруживаемого сигнала - на |
направление |
rg |
. |
Если |
эта |
||||||||
проекция |
отрицательна, то вероятность |
правильного обнаружения |
|
||||||||||
меньше вероятности ложной тревоги. Следовательно, |
этот |
тест не |
принадлежит классу несмещенных тестов. Однако легко показать, что
он является АРНМ тестом длн-проверки гипотезы согласия |
ju «= О |
|||||||||
против альтернативы |
/У; |
; ju >0, |
и вектор f |
лежит |
на полупрямой |
|||||
/ивд, |
р > 0 . |
Качество |
БАО теста |
оо |
статистикой |
(Ш .2Л7) |
зависит |
|||
только |
от нормы век то р |
в , рвной |
Гд , |
поэтому вероятность |
||||||
првильного |
обнаружения постоянна |
на эллипсоидах |
в тг & . |
Вслед |
||||||
ствие |
положительной опрделенности матрицы |
Г |
рассматриваемый БАО |
тест является асимптотически несмещенным. Он обладает рядом хоро ших свойств, отмечавшихся в р б о тах /21, 22/.
При практическом использовании выржения для асимптотичеокой
TI6
функции мощности |
t y r # ) |
оледует подставить в |
них вместо ? |
ве |
|||||
личину /и-/Ж , |
где |
/ и - |
действующая амплитуда |
сигнала, |
л/ - |
ре |
|||
альный размер выборки. При этом нужно иметь в |
виду, что действи |
||||||||
тельная функция мощности |
Д ^ Ч /» , в ) |
применяемого |
теста |
аппрок |
|||||
симируется асимптотической функцией в |
соответствии |
о формулой |
|||||||
/34/: |
а ) |
•* |
|
— |
|
|
|
|
|
* |
в |
+ Ш / г ) |
• |
|
(Щ.2.27) |
||||
|
А л |
(А>6) |
) |
|
|||||
Отсюда оледует, что зта |
аппроксимация достаточно надежна лишь при |
слабых сигналах (которые, впрочем, могут обнаруживаться с малыш вероятностями ошибок, если величина / / ^ д остаточ н о велика).
Структурные блок-схемы АО алгоритмов обнаружения сигнальных полей, порождаемых локализованными источниками. Важным для анали за геофизических полей является случай, когда сигнальное поле
s ( А~, t ) порождается источником, локализованным в пространстве. При линейности среды распространения в этой ситуации можно пола
га ть , |
что |
сигналы s ( r j , |
f ) , действующие |
на выходах приемных |
эле |
||
ментов регистрирующей системы, представляют собой |
результат про |
||||||
хождения одного и того |
же сигнала |
a (t, в ) , генерируемого источ |
|||||
ником, через линейные системы с частотными характеристиками |
|
||||||
Ьг ( л ) , |
которые описывают пути распространения сигнала от источ |
||||||
ника до |
/ -го приемного элемента. Если |
u ( t , в ) - |
случайный про |
||||
ц есс, |
то матрица энергетического спектра векторной последователь |
||||||
ности |
tt ( $ ) (отсчетов |
сигнального |
поля) |
равна: |
= Л*(л) |
* |
х |
A )hQi), |
где к ( л ) |
* ( hjU i), ...» Вт(я)) |
- |
вектор |
частотных ха |
рактеристик |
среды, |
( л ) - энергетический |
спектр |
сигнала источ |
||
ника. Если |
и U* ,? ) - |
нвазвдетермшированный |
сигнал, то вектор |
дискретного преобразования Фурье отсчетов сигнального поля при. больших К может быть представлен в виде
|
* |
// |
|
|
|
|
•*/ *Jjrj///, |
(§.2,28) |
где |
' |
) |
лг |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
U f' - |
-руг- E u t c t ) e |
|
X |
, |
j е j,/r |
|
|
отсчетов сигнала |
источника |
«г |
10 |
) - |
« ( ///^, В ) . |
|
||
Для локализованного источника |
оигнального поля выражения |
|||||||
( § .2 .7 ) , |
( § . 2 ,И ) |
Для АД статистики и информационного количества |
||||||
Фишера могут быть записаны в виде |
|
|
|
|
||||
г (Г* ’ r |
'>x w % |
ue / j * rj ; |
|
|
|
f e 1 |
rj ) ; |
117
|
|
|
|
|
Щ .2 .2 9 ) |
где |
Vj*/t'*(*; ) f ~ r( i , ) h U ; l |
~ Я(Л; ) •>Г~\л; ) J ? ( A j |
) - " ГРУППО |
||
ВОЙ ф ильтр". |
|
|
|
|
|
|
Обнаружение сигнального поля в жцущом режиме при неизвест |
||||
ном моменте появления |
оигнала требует периодического (через ин |
||||
тервалы времени |
A t ) |
вычисления значений статистик АО тестов, |
|||
соответствующих |
выборкам наблюдений, накопленным в |
"скользящем |
|||
окне": 7М (г.) - |
|
, .... x ^ f , г « t a t , При этом желательно, |
|||
чтобы интервалы |
At были много меньше ожидаемой длительности сиг |
||||
нала |
Г - fl/fg. |
Такие условия предъявляют высокие требования к |
|||
вычислительному устройству |
обнаружителя, которое должно работать |
в масштабе времени поступления данных, уопевая произвести обра
ботку выборки fx (ty |
за время |
A t . Асимптотически оптимальные |
алгоритмы обнаружения |
основаны |
на АД статиотике А (Т# ,& ) ,и |
главные операции в процедуре обнаружения связаны с ее вычислени ем. Вычисление АД статистики в спектральной форме по формулам
(1 .2 .2 9 ) требует обработки всего накопленного маосива данных
( г) и поэтому не может осуществляться в процессе их поступле ния. В ряде случаев это неудобно (например, ввиду больших разме
ров требуемой памяти), и желательно придать АО алгоритмам обнару жения форму, позволяющую реализовать их в реальном масштабе вре мени без предварительного накопления и запоминания выборок А #(г). Используя равенство Парсеваля для дискретного конечного пре
образования Фурье |
(ДПФ) р гО и теорему о циклической свертке для |
|||
ДПФ /8Q7 , можно записать выражение |
(Щ .2.29) для |
V ( x ‘/e, 3 ) |
во вре |
|
менной облаоти в виде корреляционно-фильтрового алгоритма |
|
|||
У ( |
ш |
( 3 ) , |
|
(Ш.2.Э0) |
/г |
|
|
|
|
для в. -Z7 |
- выходной сигнал группового фильтра |
о им- |
||
пулъоной переходной характеристикой |
1 ^ |
~rU ) е~ ,лг^л, |
ut ( S ) - квазщетерлшированный оигнал источника. Аналогично |
мож |
|
но преобразовать выражение (1 .2 .2 9 ) для АД отатистики |
tpC*г , |
0 ) - |
AL |
|
|
Р ( % , 3 " ) = ~ Е я гг т/ ? }( 3 ) - с ( 3 ) , |
( I .2 .3 D |
|
г - ? |
|
|
IТ 8
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
г. e? L i |
|
- |
выборочная (циклическая) |
автокорреля |
|||||
ционная функция выходного |
сигнала |
группового фильтра; />7 и)СВ') |
~ |
|||||||
~2х |
| |
( л ) е |
- |
автокорреляционная функция случайного сиг |
||||||
нала |
источника; |
с ( В |
) д |
~ |
у. |
- константа, |
не зависящая |
от |
||
выборки; |
t e r - |
циклический одвиг |
индексов |
ж-мерного вектора |
на |
|||||
г позиций вправо (по чаоовой |
отрелке). |
|
|
|
||||||
|
Если зависимость |
энергетического спектра |
сигнала |
слу |
||||||
чайного источника от |
неизвестных |
параметров |
Те Bs описывается |
|||||||
линейным выражением, |
аналогичным выражению |
(Щ .2Л 4), то АД ста |
||||||||
тистике |
(Ш .2.31) |
можно придать более удобную для |
практического |
|||||||
использования форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
s |
м |
|
|
|
|
р ( х , , 0 ) |
|
Т, в, ( £ , |
i t |
|
(Ш .2 .3 2 ) |
||
|
' г 1 Г |
|
||||||
|
|
7-7 Vt~f |
|
|
||||
где |
a r |
- |
результат |
прохождения выходного |
сигнала |
|||
группового фильтра |
|
через дополнительный фильтр с импульсной |
||||||
переходной характеристикой |
4 г |
|
|
t |
где |
|||
^ ( * ) / * U ) тд^( Л) , |
т .е . |
/ ^ ( л ) - |
результат |
(минимально-фазовой) |
||||
факторизации |
/-й компоненты спектра |
сигнала |
источника. |
|
||||
Существенную чаоть |
алгоритмов вычисления компонент АД ста - |
тиотики для квазидетерминированного и случайного сигналов состав
ляют одинаковые операции |
групповой |
фильтрации |
а |
= S {fl.it |
С/* |
. |
|||||
|
|
В ) |
|
|
gt |
|
’'с |
“ |
* |
|
|
При вычислении |
сигнал |
на выходе группового фильтра |
|
||||||||
подвергается дальнейшей фильтрации с частотными характеристиками |
|
||||||||||
возводится в |
квадрат и интегрируется, а |
при вычислении |
|
||||||||
¥ (? к , 9 ) |
коррелируется с |
|
Ut (B ) . |
|
|
|
|
|
|
||
Если импульсные отклики &7 и |
г*^г , г е j f j |
имени; длитель |
|
||||||||
ность, существенно меньшую, |
чем |
В , |
то циклические |
свертки |
в |
|
|
||||
формулах |
(ff .2 .3 0 ) - (S .2 .3 2 ) |
можно |
заменить на обычные, т .е . |
появ |
|
ляется алгоритмическая возможность осуществлять вычисления в процесое поступления данных без их запоминания (при достаточном быстродействии вычислительного устройства по сравнению с интерва
лом |
° 7 f / g |
дискретизации |
наблюдений). При этом число опера |
ций, |
требуемое |
для вычисления АД статистики во временной области, |
|
оказывается меньшим, чем яри |
вычислениях в спектральной области. |
||
|
Реализация АО алгоритмов обнаружения локализованных источни |
П9
ков при Л^СС-моделях помех и сигналов. Важный частный случай по ля ло1ализоваиного источника представляет собой Пеле, возникаю щее при распространении волны по лучевым законам в однородной непоглощающей и частотно-независимой среде. При этом в точках ре
гистрации |
имеем сигналы s ( / $ , t ) * s ( t - r l (\r' \, г * ( х ) ) , |
где |
l/c I - |
расстояние |
от источника до / -го приемного элемента, |
# (z ) - |
ско |
рость распространения волны. Если частота дискретизации |
|
||
выше удвоенной верхней граничной частоты сигнала u (t , |
в~) в |
ис |
точнике, то частотные характеристики каналов распространения вол
ны от |
источника до |
приемников в |
рассматриваемой |
среде |
равны ht (x)= |
||||||
- tip |
(~гтг f g -л ) , |
|
л е |
[ о , |
г я J |
, |
а |
частотные характеристики |
|||
ветвей группового фильтра, |
согласно |
(Ш .2.29), |
определяются фор |
||||||||
мулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" * ( * ) = е гг°*9-я |
|
|
|
|
|
||||
|
# * (л ) |
*/> |
(л ) Г |
7Сл), |
Я * |
Е £ п |
* |
* * , |
(Щ .2.33) |
||
где |
Т* (л ) = (е~ 1//гЛ, |
г е / ^ ), |
р, |
= ( Гд - г ) / , , |
r0 = m x _ rt . |
||||||
|
|
, |
л |
|
|
|
|
r |
|
|
|
базовый множитель |
IT f |
определяет |
"чистую" задержку выходно |
||||||||
S |
0 S- |
|
го сигнала в групповом фильтре W * I A ), равную времени распростра нения волны от источника до самого дальнего приемного элемента.
Из выражений (Щ .2.29) |
и (Щ .2.30) следует, |
что эту |
задержку необ |
ходимо учитывать тальке при вычислении |
, &~), вводя ее в ком |
||
поненты квазидетерминщюванного сигнала |
перед вычислением |
||
корреляционной суммы |
Е |
|
|
Вычисление значений АД статистик 9(ТЯ , Т ) и |
во |
временной области имеет преимущества в количестве операций перед
вычислениями |
в частотной облаоти |
в |
том случае, если свертки |
|||||
|
|
не требуют большого числа операций. Это |
||||||
имеет место, |
когда длительность |
импульсных откликов iv 7 и |
<*г |
|||||
много меньше размера выборки /г |
или если |
эти |
свертки могут быть |
|||||
реализованы с помощью рекурсивных фильтров. Такая ситуация, в |
||||||||
частности, возникает, |
когда вектор |
помех |
ft |
и случайный |
сигнал |
|||
в источнике |
могут |
быть достаточно |
точно аппроксимированы АР- |
и АРСС-процессами соответственно: