книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.9 |
Коэффициентсходимости Xсхемы (2.2) ■т м неймости от г и р я м етр а |
9 |
|
|||||||||
9 |
|
0 |
0.3 |
|
0,5 |
0,6 |
0,7 |
О,Я |
0,9 |
1.0 |
|
А |
|
0,86 |
0,82 |
0,76 |
0,71 |
0,61 |
0,56 |
0,65 |
0.85 |
||
Как |
показывает |
решение задачи |
(2.9), при оптимальных значениях па |
||||||||
раметра |
0 |
скорость |
сходимости итерационного процесса |
(2.2) |
близка к |
||||||
скорости |
сходимости |
метода переменных |
направлений Дугласа-Рэкфор* |
||||||||
да: три |
итерации равносильны двум итерациям |
по схеме Дугласа-Рэк- |
|||||||||
форда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итерационная схема (2.2) будет иметь |
преимущества |
по |
сравнению с |
||||||||
другими методами в случае малых значений 9(к |
исходного |
разностного |
|||||||||
уравнения |
(1.1), так |
как: а этом |
случае итерируемое выражениеОга(ч>)- |
||||||||
— ЪкФм мало- |
|
|
|
|
|
|
|
|
доказыва |
||
Дли |
случая 0 = 0 сходимость ]гторациотюго процесса (2.2) |
ется.
§2.3. Схема неполной факторизации
смалой нормой итерируемого выражения
Совершенствование схемы (2.2) гл. 1 можно вести по различным на правлениям. Самым естественным является отыскание факторизуемого оператора /1д 1-Д*, наиболее близкого к Ащ в сьтыслс малости коэф фициентов оператора 0 ^ . В соответствии с этой идеей в работе [7] ис калась фзкториэованияя система, эквивалентная исходному уравнению (1.3) гл. 1, следующего вида:
2Г* = ®№ 2Г-1,1с * |
|
+ Щ к ? 1 - \ , к Ы + |
+ 7га[/« +" &<к №) * На (у>)]> |
(3.1) |
|
У(к —Я(*Ч>),к- I - |
~ ЬкЩ* 1.9 + 2ДС1 |
ГДС Н ;к {хр )= -3 П Ъ к .
Поскольку коэффициентов- в этой системе семь, а соотношений, свя
зывающих коэффициенты системы |
(3.1) |
с коэффициентами уравнения |
||
(1.3) гя .1 , - |
пять, го два |
козффициента системы (3.1) могут быть вах |
||
ты произвольно. При |
|
|
|
|
Й1А в ЦМкА-1.«. |
|
|
(3.2) |
|
главные члены итерируемого выражения |
(ч>) обращаются в нуль. Тогда |
|||
7га0|АОр) = |
(А -1 .кА - 1,а - |
1 3 + 5 |- 1 ,к5/-*.*+1*у_1.и -а) , |
||
|
Ък “ У<к«(А» |
|
(3.3) |
|
- 7/*ДГА. |
|
(3.4) |
||
А* =7/*Аа+ *(*А-1.*&-1,к~|| |
|
|
||
Ак в 7гА</г* + йг*А -1,к& -1,к*1, |
|
|
||
У*ь “ ( Р\к ~ $/* - ХдА - I |
1 |
|
(3.5) |
|
А» = 0 -А -1 ,к5 /_ |,А _ 1 |
- 6 /_ 1 гк А - 1 ,а м )'1Я/А- |
171
Значение коэффициента 7^ 5^ бралось пропорциональным |
сумме коэф |
|||||
фициентов в вираже ннк Т№ ^*(р); |
|
|
|
|
||
ТГк*1к = б«1Аг(^1-1Л^Г- 5,1к—1 |
Цк^|-1,А+|)» |
|
(3*^) |
|||
где 0 < |
0 < |
I , |
|
|
|
|
Как |
И в |
схеме (2.2), на правок границе области полезн |
льэовать |
|||
линейную функцию Н !к(«р) в виде |
|
|
|
|
||
7<кЯ|*(*) = |
|
1.*- |
+ < » а«^Ц -(3.7) |
|||
Методом индукции можно показать, что коэффициенты системы (3.1) |
||||||
удовлетворяют условиям |
|
|
|
|
||
“ |
0 1 * |
* 6 1к + Ь<к + 7 м г 0 |* + ( I |
- |
+ К* к Ч к < |
* . |
^ 8 ) |
<*н+Н *+ Г (к* |
|
|
|
|
||
_____________ ДгкС1 + |
|
_________________ |
||||
(1 |
- *{к) (& « + <*/* 4 сйк + 9 /* ) + ( 1 |
- 0)Ълка1к + {/>1к 4 * «)< »№ |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
*1* = Л-1,к0/-I.*- 1***-а,**г-1,к+1 • |
|
|
||||
0 Л’ в |
Д г - 1 | я в / - | , * _ | + 5 / _ | гк р 1 - |
1„*4 1 . |
|
|
||
Р к “ Р / - 1 . к & 1 - 1 . * - 1 + й | _ 1 ,* ? ! _ |, * + 1 . |
|
|
||||
Из сопоставления формул (3.8) |
и |
(2.8) следует, что ктс рацион пая схе |
ма (3.1) менее устойчива, чем (2.2). Однако выбором параметров 9 и Кд пространственная устойчивость схемы (3.1) всегда может быть обеспечена.
Решение уравнения Пуассона в квадратной области при произвольных условиях показало, что итерационный процесс (3.1) сходится при значе ниях парамотра 9 € [0, 1 ], причем наилучшая сходимость имеет место при 9 = 0 ,8 -г-0,9.
Задача Неймана эффективно решается по схеме (3.1) с 9 - 0,8 -г- 0,9 без закрепления искомой функции в какой-либо точке. При этом, как уже говорилось ранее, после каждой шеращш по выбранной схеме из полу чаемого приближения вычитается его среднее значение по рассматриваемой области
Скорость сходимости схемы (3.1) при оптимальном значении параметра 0 в два-хрн раза выше скорости сходимостисхемы (2.2). Дня задач Дирихле при количестве точек М Я я 30 X 30 схема (3.1) по скорости схо димости равноценна лучшим методам церемонных направлений. 8 приме
нении все к задачам Неймана схема |
(3.1) устушот методам переменных |
направлений. |
|
Коэффициенты у{к>а<ь>Рщ, 5;*, |
входящие в уравнения (3.1), близки |
ксоответствующим коэффициентам из схемы (2,2)
Втабл, 2.2 приведены ‘для сравнения асимптотические значения коэф фициентов уравнений (2.2) и (3.1) для внутренних узлов счетной сетки,
если в исход ном уравнении для внутренних узлов сетки
"г* = *№ = <** =</г* = 1, Р/* = 4.
172
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 .2 |
||
Коэффнцнен пи о ,р, ъ 6. * ■ зависимости от ларамел» О |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0,5 |
О,в |
1.0 |
|
|
Схема (2.2) |
|
|
7.1.*» |
|
|
0,368 |
0,293 |
0,314 |
0,333 |
|
|||
|
|
|
|
0.* |
|
|
|
0,284 |
0.294 |
0,305 |
|
||
СХема (3.1) |
|
|
7.* |
|
|
0.275 |
|
||||||
|
|
|
|
Р.6 |
|
|
0,300 |
0,316 |
0,331 |
0,347 |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
0.332 |
0,355 |
0,376 |
0,401 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.3 |
||
Котффпцлонг сходимости Л схемы (3.1) в зависимое™ от пар»мстр» в |
|
|
|||||||||||
О |
0 |
|
0,3 |
0.3 |
|
0,6 |
0.7 |
0,8 |
0,85 |
0,9 |
0,95 |
1,0 |
|
\ |
0,86 |
|
0.82 |
0.76 |
0,72 |
0,65 |
0,47 |
0,43 |
0,49 |
0,61 |
1,0 |
||
Приведенные о |
табл. |
2.2 коэффициенты из схемы (3.1) обеспечивают |
|||||||||||
пространственную счетную устойчивость этой схемы |
(о + |
ог0 + а5 |
< |
1, |
|||||||||
$ + / » + 5 < |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и табл. |
2.3 приведена зависимость коэффициента сходимости Л от па |
||||||||||||
раметра 0 итерационного процесса (3.1) для. задачи Дирихле |
|
|
|
||||||||||
& ф х 7 +д2#1йуг = —2( 2 - х 7 - У ) , |
|
|
|
|
(3.9) |
||||||||
р = 0 при д- - |
±1, |
= Оири у = ±1 при шаге сетки Дх= Д у = 1/12 (529 счет |
|||||||||||
ных узлов). |
|
|
|
|
|
|
табл. 23, одна итерация |
|
|||||
Согласно |
результатам, |
представленным |
в |
по |
|||||||||
схеме |
(3.1) |
|
при 0 |
- 0,7, 0,8 |
или 0,9 в этой |
задаче равносильна соответ |
ственно 44, 77 или 72 итерациям по Либмаму. При оптимальных значе ниях параметра 0 схема (3.1) в приведенной выше задаче Дирихле оказа лась более эффективной, чем известные лучшие методы переменных
направлений |
лрл |
постоянном значении итерационного параметра г [3]. |
||
Па рис. 2.) |
для примера представлено рассчитанное по схеме (3.1) пер |
|||
вое приближение |
из |
эхом |
задачи на линии у - О. Точное решение задачи |
|
(3.9) есть V» * |
<1 - |
х 1) |
(1 - у 3). Как видно ш рис. 2.1, более близким к |
точному решению задачи оказалось первое приближеш|е, полученное при 0 - 1 . Однако второе приближение, получешюс при $ - 0,9, оказывается уже лучшим, чем второе приближение при 0 - 1 . Средняя по модулю ошиб ка шестых приближений в. задаче (3.9), полученных при# =0,8,0,85 и 0,9, равна соответственно 0,013, 0,003 и 0,004, т.с. шестое приближение, полу ченное при >0 = 0,85 или 0,9, в этой задаче уже весьма близко к точному решению.
Естественно, что первая итерация будет наиболее близка к точному решеилю задачи, если положить в » 1. Поэтому при решении трудоемкой
задачи первые несколько итераций имеет смысл сделать при 0 |
I, а затем |
перейти к оптимальному значению 0 . |
|
173
?
а
* |
|
|
|
< |
О |
0,5 |
ж |
~0,5 |
|||
Л с. 2.Л Первые приближение по схеме (3.1) в задаче <3.9) |
на линии у ■ 0 при 9 = |
= 0,3; 0,9; 1,0 (кривые 1,2,1 юопшстис1шо); 4 - второе приближение при 9 = 0,9; $ - точное решение
Следует отметить, что произвольность формы рассматриваемой дву. мерной области к произвольность граничных условий для искомой функ ции ф при использования схем (1.2), (2.2) и (3.1) нс вносят никаких затруднений. Необходимо лишь, чтобы граничное условие, записанное в разностной форме, содержало только некому» функцию и пределах стан дартного пятиточечного шаблона, причем отличные от нуля два перифе рийных коэффициента этого уравнения, если о т ; положитслыпм, в сумме не превышали бы коэф ф и ц и ен тТ и п и чн ы е граничные условия
(3.10)
записываемые во внешних (''фиктивных'’) приграничных узлах сетки, аппроксимируются трехточечнымн разностными уравнениями и рассматри ваются как самостоятельные, равноправные с уравнениями типа (1.1) дня внутренних узлов сетки. Если, например, в окрестности внешней пригра ничной ТОЧКИ (хи » ) С05(п, т ) < 0, С05 (и, _>») > 0, где л - внешняя нормаль к границе области, то разностное уравнение в этой, точке записыва ется в виде
*1к 4*1+1,к - Ь1ъФ(г1с -1 + а Г{к ►
если же во внешней приграничной точке (хг,у к) соз (м, х) > 0, сое (м, у ) > > 0, то для этой точки составляется уравнение
1.В “ № .к- I + Р1УРПе = Як-
Коэффициенты а#, р1к, Ё/а, Ь[к> входяшне в уравнения (3.4), нс зави сят от нормировки исходных уравнений (1.1). Коэффициенты у{к, вычис ляемые по рекуррентным формулам, своеобразным образом сцепляют уравнения (1.1). В этом смысле метод неполной, факторизации обладает преимуществом по сравнению с различными методами п ерем етки направ лений, так как использование последних становится затруднительным, если границе рассматриваемой облает ис совпадает с координатными линиями счетной сетки.
174
Г Л А В А 3
СХЕМЫ С ПЕРИФЕРИЙНОЙ КОМПЕНСАЦИЕЙ
§ 3.1. Различные типы периферийной компенсации
Компенсация итерируемого выражения (р) слагаемым Ч(Ж^1к ~ наиболее простом, но не единственный способ компенсации. М еюдическ»гм недостатком такого способа компенсации является ослабление главной диагонали факторизованной матрицы. Вое же существующие в литературе итерационные методы, решения систем уравнений типа (1.3) гл. 1 основаны па усилении главной диагонали матрицы исходной системы разностных Уралпений.
Олифант [23], например, предложил итерационную факторизованную |
||||||
систему, эквивалентную уравнению |
<1.3) |
гл. I, |
следующей структуры: |
|||
|
+ 7Т*Г |
4 |
I ,* + 1 |
4 0 » № + 1 .* -1 “ |
|
|
~ * (^А'РН 1 ,Я |
4 а1*Р/,к-Ц)1 . |
|
|
|
|
|
Ф1к ■ ЕщРн-1,к + &!*№.**] +*». |
|
|
|
|
(1.4 |
|
где к = СОНЫ> 0. |
|
|
|
|
|
|
В.П, Гишсии |
[32] иное видоизменение |
в нгерацколную схему |
(2.2) |
|||
гл. 2. Он предложил в качестве сеточной функции |
(А + В )(к(<р) |
искать |
||||
сеточную функцию А\л №) = {КА5)1к(}р) структуры |
(2.2) гя. 2, близкую |
к А(ж(ч>) п смысле разяоженил их в ряд Тейлора в окрестности цеитральной точки плтнгочечного шаблона, и написать итерационный процесс
4 |
<л’ - ^ Ы |
^ (,“ |>) . |
(1-3) |
Для определения |
коэффициентов -цкт |
агкз ^ к. Ь/к* $/*. составляющих |
|
матрицы К%Л и |
в разложениях выражений Л }*((/>) п А ц (ф) В.П. Гннкин |
||
отождествлял члены с |
*рх , <ру , *рхх и Фуу Практически все это равно* |
сильно компенсации двучлене у(кД*(<р) = а(к (0 * _ |1* Р г-1 1* - 1 * вл№ -о,*) в схеме (2.2) гл. 2 его разложением в окрестности центральном точки шаб лона. Итерационная схема (2.2) гл. 2 приняло вид
СМ)
(1.5)
где 1 = I ...........ш . к - 1 , . . . , л ;
УГА= ( Л к * ( 1 “ $1—1 ,А - в < - 1 .* )'1в№ (^1-1.*4 5 Г-1,Я а « = 0 -Л -1 .Л 6|А = 7|*О Ь
Р(А е 7/к^1к 4 аОсРл-1,Н’
= Т/*^/А + 0у*6*_ 1 ,к .
«75
Экспериментальное испмш ш с итерационной схемы (1.4), (1.5) на ре шении диффузионных уравнений показало ее хорошую сходимость. Ско рость сходимости слабо зависит от числа точек сетки.
Компенсация итерируемого выражения О,* О ) его разложением в окрестности центральной точки была впервые использована Стоуном [24].
В работе [24] по аналогии с [4] матрица А + В заменялась произведением |
||
двух треугольных |
матриц. Факторизованная система подучилась явной. |
|
В работе же автора |
[6] было отмечено, что при одной л тон же структуре |
|
компенсированного |
члена |
(а именно, пропорционального функции <^*) |
неявная факторизованная |
система (2,2) гл. 2 позволяет достигать лучшей |
|
сходимости итерационного процесса, чем явная тина (1.3) гл. 2. Приве |
||
денное значение нз |
работы |
[6) позволяет полагать, что структура факто |
ризованной системы (1 .4 )-(1 .5 ) более предпочтите льна, чем факторизо |
ванной системы нз работы (24).
Следует, однако, отмети» необычность итерационной схемы (1.4) - ( 1.5) С возрастанием индекса / коэффициенты итерируемого выражения Я1к(<р),
т*. величины (I - / |
Г |
| |
_ |
'« (I |
Л*-|,* |
- *< -1»л)“1$т-.1,.илгь |
по модулю |
монотонно |
возрастают, достигая значе |
ний, во много раз превосходящих коэффициенты исходного разностного
уравнений |
(1.3) гл. 1. Матрица А + В получается сильно асимметричной. |
||||
Итерируемый двучлен |
в схеме |
(2.2) |
гл. 2 можно компенсировать |
||
линейной |
функцией ///* (? ), содержащей значения искомой |
функции |
|||
со всего |
пхтитошечного |
шаблона. Таким |
образом, примем |
В - П +■ //, |
|
причем |
|
|
|
|
|
Игх (<р) - |
- -*№?{-1.» - |
I> - |
Вс—1 —(1{к'?('к* I 4 |
||
+ еи*щР*к‘ |
|
|
|
(1-7) |
|
Оптимальные значения |
неонределепных коэффициентов а> Ь> с. й и ц |
будем находить прежде всего путем анализа получаемых соотношений между элементами матриц Я, .5, Ъ и Н и элементами матрицы А уравне ния (1.3) гл. 1.
В алгоритме получения схем неполной факторизации важен тот факт,
что уравнение |
(А + В + Н )1к(4Р) = Л* 4 ^/Дс(V5) + 7/д ( ^ ) , т д е //д |
) имеет |
||
структуру (1.7), |
может быть замелено системой двух |
уравнений типа |
||
(1.2), (2.2), |
(3.1) |
гл. 2 с той же самой структурой их |
левой |
части, что |
и в системе, эквивалентной уравнению |
(4 + В )(к - |
4 |
Мен тьсн |
|||||
будут только значения коэффициентов |
у ^ . «/*. 0 /ьб /ь . |
|
|
|||||
§ 3.2. Вариант схемы с полной периферийной компенсацией |
|
|||||||
Итак, заменим исходное уравнение эквивалентной системой |
|
|||||||
Ч к - а /к |
1 .* 4 Т1кIГ/к |
4 |
№) 4 7/1* (у>)], |
|
(2.1) |
|||
Ъ к -$ Ц * Р 1 ,к - I |
“ |
|
I = ЪкЯ>1* I.* * Ч к , |
|
(2-2) |
|||
/= 1 ......... т. |
|
|
|
|
|
|
||
т е а,*, |
0,*, |
$,*, |
6/Аг, у,* |
- |
неопределенные коэффициенты, |
а выражение |
||
И1*(?) |
содержит |
значения |
сеточной функции ^т о л ьк о с ггнтиточсчного |
шаблона.
т
Эта система эквивалентна одному уравнению
(] + а/к й _ |,1 гМ * -® |* Л -1 .* |
- Л * Л .* - 1 |
~ в/*^/л+1 |
* |
|||
+ в’« Л -1 ,* Л -1 Л -1 + аг/*б/_ \щк ^ -\,к * \ - |
|
|
||||
- 7а А*№) + 7(а« г*(0) +■7а / « • |
|
(2 3 ) |
||||
Из сопоставления (2.3) гл. I и (1.3) гл. I следует, что |
|
|
||||
7Г*А*№) “ Ал ^ - • ,А^1- 1.» - 1 |
* а Г к& (-1 ,»Л- I,**1 • |
|
(2-4) |
|||
Виецем 7ц / /м (<0) следующей структуры: |
|
|
||||
7а ^Л *М я ®Т*01-1.&ОМ,№ |
|
“ ТМг.Лг-1 -® |Ы Л*Ц т) + |
|
|||
т-ад5^1^(6^,7,.- к ^ _ I,*- - |
ЛУУ**1 “ (Г/ы ^ 1^), |
|
(2.5) |
|||
где *, я, <-*, 0( - |
пока неопределенные параметры, |
|
|
|||
I I |
при |
1 = 1 ,.. . ,;л |
- |
1, |
|
|
О |
при |
/ = т . |
|
|
|
|
Слагаемые о |
выражении |
(2.5), содержащие ^ а * служат для усиления |
главкой диагонали факторизованной матрицы (А + /? ♦ //), так что н итоге
линейная комбинация я ^ _ , |А + до*,*-! * |
0|<"Фн|.* компенсирует сумму |
||
+ 0 (ч>(кш /шлейная |
комбинация |
к ц .! ,* * |
Ч ? 1,л* 1 4 |
компенсирует сумму |
* ° г*Р№- |
|
|
Потребуем, чтобы параметры к, т|, <а,0 удовлетворяли усповига |
|||
1 4 0Г = к + гг * о(ы -» е, |
|
|
(2.6) |
где с - малая положительная величина или нуль. |
|
||
Сопоставление уравнений |
(2.3), гл. 2 и |
(1.3) гл. |
1 с учетом (2.5) при |
водит к следующим соотношениям, связывающим кеоффшшентысистемы (2.1) -(2.2) с коэффициентамиураинснин (1.3) гл. I:
1 + ®/Л{ / —| ,* - |
4 * |
( Л - 1 .* + * / - 1 .* ) = 71* Р*к► |
(2.7) |
||
<*А - |
* «А < * - |
1Л * ЙГ- |.к) = 7 « « « * |
|
||
Л * - |
Т?*|*'Л- 1Л “ 71*Ь1к, |
|
(2.8) |
||
&Гк - |
*? < *!*$ /-|,Л = 7а 4 ь . |
|
|
||
4/* - |
°1 иа(к( Л —1.* |
*г_ 1 ,* ) = Ъ к Са . |
|
||
или |
|
|
|
|
|
Ут = [Р1**0 - # А - м + |
Ч и а д - 1 . * + в Л - | , * ^ ? / - м ) Г \ |
||||
»/* = |1 -*< Й г-|,е +&1-\.к)Г* Шкацс. |
|
||||
Р<к = Гйг&1* + Т^ОГ/А-Дт—I,*. |
|
|
|||
$№ = 7«</|* + >!«№&/-Т,к. |
|
|
|||
$№ = У1кс1к л ° { ы а (к |
|(А+ |
1<Аг). |
|
177
Итерационную схему |
(2 .1 )-(2 .2 ) |
с учетом (2.4) и (2.5) |
можно запи- |
|
сать окончательно и виде |
|
|
||
+ « ,* « ,. |
, |
+ «,■?«-1» - |
- |
|
|
|
|
|
(2.9) |
* Ф - в ..* Ф |
|
|
. + г (Ч. |
(2.10) |
Уравнение (2.10) |
решается методом одномерной прогонки |
(см., напри |
||
мер. (33)): |
|
|
|
|
РГк - С1 “ Л*^|,Л-1Р/.А- I )"' г |
|
|
||
М1к = Р1МкЩ .к-1 |
+ */*). |
(-- П) |
||
= РиЛ*1йг,*т1 + ^Иг |
|
|
Чтобы не хранить в памяти вычислительном машины коэффициенты р1к
или не пересчитывать юс, удобно цвести обозначения |
|||
01* = РдА *. |
5/* =*>/*$/*, |
Ы |
- РивЪпо |
гПс = РГА2« . |
Р(каЛ |
- |
|
в|А = ---------- |
|
||
|
Р1- I.* |
|
|
После этого необходимо хранить п памяти лишь коэффициенты а ^ , 0 ^ , |
|||
и делать прогонку для функций г(к} 1Уд и у 1к (на этот факт обра |
|||
тила влнмаш<с Ж.Н. Бельская). |
|
|
|
Естественно, |
что в итерационной |
схеме (2.9), (2.10) нужно стремиться |
|
к тому, чтобы в выражении Оц (у) |
4-2//*(р) сумма коэффициентов была |
близкой к нулю, а сумма модулсП коэффициентов была как можно мень
шей по |
сравнению с коэффициентом а{к (и л н ^ д ) исходного уравнения |
(1.3) |
гл. I. |
Будем называть сеточную линейную функцию (А + В )(к{\р) близкой
к сеточкой линейной функции А1к(^) по модулю |
невязки, если сумма |
|
коэффициентов выражения |
близка к нулю, |
и близкой по норме |
невязки, если сумма абсолютных значений коэффициентов выражения В!к(у) мала по сравнению со значением коэффициента ркк в выраже нии Л ц (у]. В рассматриваемой здесь схеме (2.9), (2.10) близость линей ной функции {А 4- Я )ГА(^) к функции А{к(у) по модулю невязки обеспе чивается соотношением (2.6).
С точки зрения полезности слагаемого.*; 0 ^ /* в левой части уравнении
(3.13) |
гл. .1 и одновременно |
близости |
выражений [А |
- О + Н)<*{?) |
и |
р) |
коэффициент при Фгк И сумма КОЭффиЦИЙНТОВ |
при |
И |
||
|
в выражении Огл (у) |
4 #м(ч>) |
должны быть соизмеримы, т.е. |
оптимальное значение параметра 6/ в линейной комбинации Н$к(^) должно быть величиной порядка единицы* Остальные параметры, таким образом, связываются условием (2.6). З а м е т и здесь, что итерационный процесс,
17»
осуществляемый но схеме |
(3.33) гл. I с учетом <1.34) |
гл. I и реализован |
ный п [33] и последующих работах автора, можно записать в виде |
||
Я5(<ЛП |
Г,4Ф<'-'>. |
(2.12) |
Как следует щ уравнения |
(2.12), в отличие от классического метода пере* |
мсниых иапрланешГ и его различных модификаций вида (см. (34, 35, 29,36] илр.)
(А Ч -«Л,)<Л'+а1,)<*11>-•1>,' - 1,) = т ( Р - Л ф ( ,- 1>). |
<2.13) |
введение итерационного параметра т в методе неполной факторизации сводится к специальной нормировке исходного разностного уравнения
(3.33) |
гл. I с помощью диагональной |
матрицы Г, после чего факторизо |
|||||
ванный оператор, близкий к оператору |
ГЛ, составляется из матриц Й и 5 |
||||||
с единичными элементами на главной диагонали. |
|
|
|||||
Исследуем теперь пространственную устойчивость схемы |
(2.9), (2.10). |
||||||
Методом индукции можно показать, что коэф ф ициент |
$/*,€<* Удов |
||||||
летворяют условию |
|
|
|
|
|
||
|
+ |
1- |
|
|
|
|
(2-14) |
Действительно, при / = 1 , . . . , |
гм - I из соотношения |
(2.7) |
с учетом (1.4) |
||||
гл. 1 И (2.6) можно получить |
|
|
|
|
|
||
1 4 й Г*$Г-1Л “ 0® «(Л -1Лг+ Л - 1 .* )^°/* |
+ 5^_1>(с) + |
||||||
+ 0,к - |
т)а(кР(_ 1 т - |
|
- « а д |
|
|
||
ими |
|
|
|
|
|
|
|
I - (д |
-&Гк -&{к |
- |
Бт-М “ Л-1.* “ ®Г—I,к * |
|
|||
4-(1 4-0 -К - |
П - Ы ) ( Й - 1 Л |
■•■^-1.*)]- |
|
|
Прапая часть этого нсравеистпа по предположению положительна, следо вательно, условие (2.14) выполняется.
Теперь нужно показать, что ^ I, или вынести условие! при котором < к. Так как формула дня а{к имеет сложную структуру, для удобства
анализа устойчивости схемы (2.9), (2.10) запишем ее при / |
= 1 , . . . . м - 1 |
|||
в виде |
|
|
|
|
Тис- . |
1г- 1 л 7 )-|,* |
" — [/**‘•‘^ |
( уО4 ^ * ^ ) ] , |
(2.15) |
«I* |
|
Чк |
|
|
*р{к |
+ 5 Г*Д*+1 = $|*(^Г* 4 ?1к)* |
(2.16) |
||
где 7)* =2ц ^ 1к. С учетом |
(2.14) м (2.8) можно написать неравенство |
|||
т - Ч - 1 . » < 7 ^ ( 1 - й - м |
■ |
|
||
Чк |
|
|
|
|
_ _______ а1кИ ~ (Л - 1,* 4 $ / - 1.*)]________________ |
|
|||
СДгМ —« (Дг—1^1 + Л -1,*Л 4 |
1.* |
|
17?
Если принять к < |
1 и обозначить |
|
||||
Р»* 4 &№ = Днь |
|
Мп |
( |
|
||
|
*<к = |
|
|
|||
то получим |
(при |
/= |
1, . . . ,ЫГ - |
]) |
|
|
ал |
щ. |
^ |
|
<4* |
|
(2.17) |
~ — |
&-1,* ^ |
|
7---------------- |
|||
«* |
|
|
с1* 4 и л Г* *Г—I,к |
|
||
Из |
неравенства |
(2.17) следует, что каково бы |
ми было соотношение |
между коэффициентами ахк н с**, выбором параметра правая часть этого неравенства всегда может быть сделан! мешшо едшшцы. Это очень важно, капрнмед при расчете турбулентных течении жидкости, гдо внзкость к теп* лопроводность являются сильно переменными величинами, Таким обра зом, схема (2.9), (2.10) является проетранстое1шо устойчивой. 11 рц исполь зовании схемы (2.11) для решения уравнений (2.10) необходимо сшс вы полнение условия РкРп < !•
По поводу выбора итерационных параметров к, тг и со можно высказать
еше одно соображение. Чтобы коэффициенты |
были приближен |
но пропорциональны коэффициентам |
параметры т? и и , соглас |
но (2.8), следует связать соотноше1шем ы «т?/2,если коэффициенты Ь(к, с(* рзвловеликп, или соотношением и < т?/2, если сумма Ь(Н * с1а значительно превышает 2сц . Если же коэффициенты Ь(к и 41к малы па сравнению с коэффициентом с(к, то здесь всякий итерационный процесс
типа (2.9), (2.10) будет хорошо сходиться.
Таким образом, следует принять со < гЦ2. При х - ц = и = 0 и е > 0 |
|
схема (2.9), (2.10) превращается л схему (2.2) уп. 2, а при к |
1, ю = 0, |
е = 0 - в схему (1.4) , (1.5). 0 схеме |
(2.1), (2.2) |
компенсацию можно за |
|||||
давать немного по-другому: |
|
|
|
|
|||
4 |
б/_1,*6Р/-М +» |
|
4 <*/*(№-1,* + бг-1,*) X |
|
|||
Х Ф м * |
- КФ1- 1,к -°4 «Р/Т1,*) 4 */*0(к<Р*к• |
|
(2.18) |
||||
Тогда методом индукции нетрудно показать, что коэффициенты |
01к, |
||||||
6т, ец удовлетворяют условиям |
|
|
|
||||
Я г * |
- |
4 *№ 4 |
+ У 1 к 4 ( к |
+ 0 ^ * :°7 к |
4 5Ук«М < |
I» |
|
*ДгЕ Й -1.* 4 */-!.*• |
|
|
|
(219) |
_______________________ Чк____________________________
^(I - К1><к) (,Ь<к + а1к + с,к * ^^к) + 1(1? + 0,0У+ С)»,к ♦ % \а,к
Согласно формулам |
(2.19) |
схема |
(2.9), (2.10) выгодно отличается 01 |
схем (2.2) гл. 2 и |
(3.1) |
гл. 2. |
поскольку (2.19) содержит слагаемое |
(т?+ о(и))»,ка1к в знаменателе формулы для агк.
Выбором параметров к, ч, ы, с , *,* всегда может быть обеспечена про-
стрэнетвенная устойчивость схемы |
(2.9), (2.10), причем без диагонально |
го преобладания в итерируемом |
выражения У/*А* {у) + 7 г а (чО * |