книги / Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек
..pdf= 13,3 см; В = 15,7 см. Оболочка изготовлена из алюминиевого сплава с ffr = 148 МПа, Е - 6,9 • 10 МПа и нагружена осевой си лой Л = 8,75 - 10 Н, равномерно распределенной по торцам. Под крепление отверстий осуществляется по контуру замкнутыми ра мами и дополнительными шпангоутами. Все подкрепления выпол нены из равнобоких уголков о отношением высоты поперечного
сечения к толщине стенки, равным р |
= 10. В качестве начальной |
принималась точка с координатами |
= 0,85; Хг - 5,4; = 38; !* = |
- 42; Х5= 0,67; Х6= 0,55; Х7= 0,05 (см) и У0 = 556 см 3. Исходя из конструктивных и технологических требований устанавливались следующие ограничения на варьируемые параметры:
0,1 < £ , « 5 ; 0,5<я:г « 1 0 ; 10С С 4 <100; К К З ^ О О О ;
0,1<ас6<1; 0,1<£е<1; 0,005«а:7< 0,05 см.
Предварительные исследования функций 4s (m,n) и с использованием методики, описанной в 2.3.2, для каждого из слу чаев деформации показали, что они не являются унимодальными, т. е. имеют место два и более экстремумов. Поэтому минимизация выражений для параметров критических напряжений и fy по параметрам волнообразования т и п выполнялась путем перебо ра на сетке т * /t. Устанавливались следующие пределы измене ния параметров волнообразования:
для |
к / п < ш о ; |
о < л < ю |
о ; |
для у |
s 1< / п ^ г 0; |
1^ / г < 4 |
0 ; |
6 результате вычислений на ЭВМ по описанному алгоритму по
лучен оптимальный проект оболочки: |
= 0,599; £ • = 5,08; |
= |
= 66,6; Г4 = 102,1; Х5 = 0,541; Х6 = 0,325; |
х?= 0,05; VQ - 495 см 3. |
Оболочка подкреплена сорока рядовыми стрингерами и восемью рядовыми шпангоутами. Определяющим является первый случай потери устойчивости для оболочки с отверстиями S = 1, = = 0,556. Процесс оптимизации способствовал уменьшению веса оболочки на 11 %'по сравнению с начальной. При работе поисково го алгоритма был получен ряд близких по величине локальных ми нимумов функции цели, отличающихся от оптимального не более чем на 5 %. Наиболее характерные в конструктивном отношении решения приведены в.табл. 5.
Рассмотрим теперь весовую оптимизацию продольно сжатых ребристых цилиндрических оболочек с большими прямоугольны ми отверстиями, прямолинейные края которых подкреплены стрин герами, имеющими длину оболочки, а криволинейные - непрерыв ными шпангоутами (рис. 9). Жесткость этих стрингеров и шпангоу тов постоянная по длине и значительно больше жесткости регу лярных ребер. Известны-конфигурация поперечного сечения ребер и отношение высоты сечения к толщине стенки р, Толщина обшив
ки, размеры и шаг расстановки ребер, их жесткость могут бьпь
I
|
|
Рио.9 |
|
|
Номер варианта |
& |
Ctl |
й)1 |
й |
|
||||
1 |
495 |
0,599 |
5,08 |
66,6 |
II |
504 |
0,665 |
4,95 |
63,3 |
«1 |
499 |
0,798 |
4,04 |
38.7 |
IV |
501 |
0,886 |
6,27 |
93.7 |
определены |
введением |
сле |
|||||
дующих |
независимых |
|
пере |
||||
менных: |
- |
отношение |
|||||
веса ребер при их регуляр |
|||||||
ном |
расположении |
к |
|
весу |
|||
оболочки и отношение весов |
|||||||
стрингеров |
и |
шпангоутов |
|||||
в предположении |
отсутствия |
||||||
отверстий и их подкрепления; |
|||||||
|
|
относительное |
рас |
||||
стояние между регулярными |
|||||||
стрингерами, и шпангоутами; |
|||||||
1 5| Х6 - |
соответствуют отно |
||||||
шениям £5 - |
1с2^ п / ( 7ГГЬ); |
||||||
Х6 = ZFt f{Lh); Х7-Н |
- |
|
тол |
||||
щина |
обшивки; |
здрсь |
Fn , |
||||
Fz - |
площади |
поперечного |
|||||
сечения окаймляющих стрин |
|||||||
геров и шпангоутов. Так как |
|||||||
число |
окаймляющих |
|
стрин |
||||
геров и шпангоутов известно |
|||||||
и равно соответственно 2 |
|||||||
|
|
|
|
Таблица 5 |
|||
|
|
|
Л |
|
|
|
S. |
«1 |
t |
|
|
|
см |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
102,1 |
0,541 |
0,325 |
|
0,050 |
|||
139.8 |
0,489 |
0,325 |
|
0,050 |
|||
51.8 |
0,65.1 |
0,298 |
|
0,046 |
|||
65,3 |
0,516 |
0,296 |
|
0,046 |
Номерварианта
I
II
III
IV
е»
МП»
94,2
90,8
93,7
88,4
Случайдеформации
л и и и
|
|
|
Продолжение табл. 5 |
||
|
|
Поперечное сечение, мм . |
|
||
|
стрин |
шпан |
|
ДОПОЛНИ* |
|
^min |
гера |
гоута |
ремы ] тельного |
‘А |
|
|
|
|
|
шпангоута |
|
0,656 |
6x0,6 4 |
1-3,5x0,3 |
.14x1,4 |
[13x1,3 |
40/6 |
0,648 |
7x0,7 |
L 5x0,5 |
.14x1,4 |
[13x1,3 |
40/6 |
0,537 |
5x0,5 |
L 3x0,3 |
.15x1,5 |
[11x1 |
72/17 |
0,525 |
8x0,8 |
L 3x0,3 |
[14x1,4 |
112x1,2 |
32/14 |
и 2, то характеристики их жесткости (как и для регулярных ребер) вычисляются по формулам-, приведенным в 3.2.1. Смысл и количе ство случаев деформаций оболочки при потере устойчивости ана логичны принятым для варианта подкрепления отверстий рамами.
В терминах частично целочис пенного НЛП задача весовой опти мизации рассмотренной оболочки может быть сформулирована следующим образом: найти минимум объема материала оболочки
г |
&L к |
х .х* |
г . В |
y ~ f ( X ) = Z r r ^ L { i - |
2 1 * |
1 2 |
H v r < ) |
|
г я г/. |
1 + я , |
^2*2
Lk ** к *
t |
_ |
L |
[ |
. |
min. |
|
1*1* |
kA |
\ l * r |
|
|
на множестве Я, заданном нелинейными ограничениями типа не* равенств:
а) по прочности: д^(Х)= G0 -G T z 0; дг (Х)=6р- 6Г < 0;
б) по устойчивости: g3{X)=N-N^<Q; |
о |
|
j= i,7 ; |
||
в) конструктивных: х ■ • |
с х . с х - |
• |
: - ю |
ч |
|
где напряжения в обшивке |
|
|
|
|
|
У |
N |
|
|
|
|
|
хлх л |
|
|
|
|
17ГГХ |
r f |
- ’т т г г ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
напряжения в вертикальных элементах окаймления |
|
||||
|
|
т |
л 2 |
|
|
р L о '!* * |
О + а у * " ] г р |
т |
г |
|
|
ХЬТ1 |
|
|
|
|
|
определяются согласно выражениям (3.32), (3.33).
Поставленная задача имеет такую же структуру, как и в случае подкрепления отверстий рамами, поэтому ее решение выполня лось с помощью ранее описанного алгоритма случайного поиска.
Решение производилось при следующей исходной информации: L =40 см; Г = 20 см; к* = 13,3 см; j = 15,7 см; £ = 6,9 • 104 МПа; GT =148 МПа; р = 0,3; w = 8,75 ■104Н; все подкрепления принима лись из равнобоких уголковых профилей; iff = 10. Устанавливались
такие |
ограничения |
на варьируемые параметры: 0,1 < |
< б; |
0 , 5 |
1 0 ; 10 |
150; 10< (Г. * 300; 0,1 < 2 |
£ 1 ;0 ,0 6 |
|
0,01*5 |
0,5. |
|
В каждом отдельном случае деформации при фиксированных значениях варьируемых параметров находился минимум по параметрам волнообразования т ип,причем наиболее опас
ным случаем потери устойчивости |
считался случай с наименьшим |
значением коэффициентов yt или |
В качестве начальной при- |
I|
Номерварианта
1 II III IV
сЙ» |
СО |
Ч |
a |
О, |
f |
?1 |
8 , |
|
|
|
|
|
|
см |
|
394 |
0,619 |
6,824 |
58,4 |
76,8 |
0,767 |
0,226 |
0,035 |
401 |
0,494 |
6,509 |
57,4 |
136,7 |
0,764 |
0,236 |
0,036 |
409 |
0,842 |
6,105 |
30,8 |
52,1 |
0,716 |
0,227 |
0,034 |
403 |
0,689 |
7,837 |
116,9 |
84,8 |
0,693 |
0,215 |
0,037 |
Номерварианта
1
И
III
IV
®о* |
Случай деформации |
D • |
стрин гера |
|
vmn |
|
|
МПа |
|
|
|
1386 |
ir=6 |
1,247 |
L 4x0,4 |
1357 |
t= 6 |
1,241 |
L 4x0,4 |
1170 |
t = 6 |
0,958 |
L 3x0,3 |
1193 |
t= 6 |
1,435 |
L7x0,7 |
Продолжение табл. 6
Поперечное сечение, мм |
|
||
шпан гоута |
О 1 |
дополни тельного шпан гоута |
|
|
1C |
|
% , |
|
l l |
|
|
L 2x0,2 |
L 14x1,4 |
L 6x0,8 |
64/14 |
L3x0,3 |
L 15x1,5 |
L 9x0,9 |
64/8 |
1_2х0,2 |
L 14x1*4 |
L 9x0,9 |
80/23 |
L 2x0,2 |
L 14x1,4 |
L9x0,9 |
32/14 |
нималась точка с координатами: х Л= 0,4 см; X t = 5,1* x s = 130,3; Хц = 80,6; xs= 0,7; Xs- 0,1; X r = 0,Ьб см и / 0 = 474 см Э.
В результате вычислений на ЭВМ получен оптимальный
проект облочки со следующими параметрами: |
= 0,619 см; х * = |
|||
6,824; S j = 58,4; X k = 76,8; Х 6 = 0,757; Х 6 = 0,226; Х 7 |
= 0,035 см ;£ 0= |
|||
= 394 см3. Наименьшие критические напряжения |
соответствуют |
|||
шестому случаю деформации |
оболочки с |
отверстиями: 5 = 6, |
||
Рт 1л .= 1.247 при m = 2, я = 8. |
В процессе |
реализации поисковой |
процедуры методом случайного поиска получен ряд близких по величине-локальных минимумов объема оболочки, наиболее ха рактерные из которых представлены в табл. 6.
3.3. ВЕСОВАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ОБОЛОЧЕК ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ОСЕВОГО СЖАТИЯ
И КРУЧЕНИЯ
Рассмотрим шарнирно опертую по краям круговую ребри стую цилиндрическую оболочку с заданными геометрическими размерами L и г, нагруженную продольной сжимающей силой N и крутящим моментом М ^. Оболочка подкреплена ортогональной сеткой ребер жесткости и выполнена из материала с заданными
механическими характеристиками. Используются расчетные фор мулы и постановки из работы [10]. Для обеспечения устойчивости оболочки при совместном действии указанных нагрузок необхо димо выполнение условие
м * р * м ь
для всех рассмотренных в 3.1. случаев деформации. Запишем вы ражение для критического крутящего момента:'
Af£p * r f E t г ЗггаЯ , |
(3.38) |
где Г т - параметр критических напряжений, который определяет ся, согласно [1Q], для каждого из приведенных в 32 случаев де формации оболочек при потере устойчивости. Выражения для г включают шесть случаев деформации ($ = 1 + 6): общий случай и пять частных случаев, описывающих характерные особенности деформации ребер. На основании классификации, принятой в [4], рассмотрим общий ( з1 = 1) и следующие частные случаи дефор мации: первый ( Sj = 2), второй ( Sa = 3), четвертый ( Эц = 4), пятый (£5 = 5), восьмой ( $ш - 6). Дополнительно ( $7 = 7) учитывается ограничение по устойчивости панели, которая выпучивается без деформации ребер. Для каждого из рассмотренных случаев зна чения критических напряжений минимизируются п о т и п,о также по ft или Q. - углам наклона вмятин, образующихся при потере устойчивости.
Продольные напряжения в обшивке 0"о и стрингерах Gj. равны между собой и определяются по формуле
S0 = B ^N /{tn rh (H - ^ ). |
(18 9 ) |
Крутящий момент воспринимается обшивкой; соответствующие
касательные напряжения равны |
|
|
T0 = M(i/ ( 2 |
) ir ’t6). |
(3.<0) |
Предельные значения напряжений для стрингеров и обшивки оп
ределяются так: |
____________ |
|
6р » 0 ,; |
- 6Г . |
(341) |
Выразим все характеристики жесткости через составляющие в е к т о р а Т г д е имеют тот же смысл, что и в 3.2, а х 5 ~ отношение толщины обшивки к радиусу оболоч ки. Тогда при заданных нагрузках, генеральных размерах оболоч ки и материале задача оптимизации состоит в нахождении векто ра Г, который минимизирует объем материала конструкции ' '
К = / Д О - < - m in |
(3.42) |
при ограничениях по устойчивости |
|
|
i = 1,2....... |
7; |
(3 *3 ) |
по прочности |
|
|
|
|
дгР)=ос-бг*;о-, |
|
|
<*•*« |
|
и при конструктивных ограничениях |
|
|
||
„m in |
^ ^ |
m ax |
|
|
X . |
< * у < х |
4: |
j = \ z , - * , s . |
(М б ) |
Анализ математической модели задачи (3.42) - (3.46) показыва* |
||||
ет, что это - многоэкстремальная |
задача нелинейного |
програм |
мирования с частично целочисленными переменными. Функции, участвующие в ограничении (3.43), имеют в области изменения па раметров конечное число размеров И, кроме того, варьируемые параметры подкрепления связаны с параметрами волнообразова ния tn и п при выпучивании оболочки. Дополнительно в состав ос новного алгоритма, реализующего задачу (3.42) - (3.45), необходи мо включить алгоритм минимизации параметра критических на пряжений Г по т , п , Ь, 0. в каждом из рассмотренных случаев деформации.
По описанной методике выполнено оптимальное проектирова ние оболочки при следующих значениях исходных данных: L = = 40 см; Г = 20 см; GJ. = 148 МПа, £ = 6,9 • 104 МПа; N ~ 1,0 ■105 Н; Мк = 4,0 - Ю н - м. Все подкрепления выполнены из равнобоких уголков с ф = 12. На переменные накладывались такие ограниче ния: 0,1« <: б; 1 < x t < 1,0; 10 < х ь < 190; 10 < 250; 0,001 £ ха < 6,1. В результате решения задачи получен оптималь ный проект, а также ряд точек со значением функции цели, близ ким к оптимальному. Наиболее характерные из них приведены в табл. 7.
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
Параметр |
|
|
Номер варианта |
|
|
|
1 |
И |
HI |
IV |
V |
|
|
|
VI |
|||||
|
305,0 |
з ю . о : |
299,0 |
302,0 |
308,0 |
301,0 |
х г |
0,880 |
0,912 |
0,761 |
0,822 |
0,879 |
0,902 |
1,98 |
2,02 |
2,11 |
2;76 |
2,33 |
2,34 |
|
X £ |
43,82 |
35,10 |
176,51 |
98,15 |
64,62 |
161,65 |
L |
140,84 |
125,65 |
190,20 |
172,96 |
152,74 |
149,98 |
г '. » 4 |
16,75 |
16,98 |
15,92 |
16,65 |
16,60 |
15,65 |
|
86 |
105 |
23 |
39 |
59 |
25 |
|
9 |
10 |
7 |
7 |
8 |
9 |
к |
0,029 |
0,024 |
0,091 |
0,065 |
0,043 |
0,098 |
0,044 |
0,041 |
0,045 |
0,041 |
0,044 |
0,037 |
|
fUJ I |
|
|
3.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЕКТЫ ОБОЛОЧЕК ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ОСЕВЫХ СЖИМАЮЩИХ СИЛ
И ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ
Рассмотрим шарнирно опертую по торцам стрингерную цилин дрическую оболочку заданных длины L и радиуса подвержен ную совместному действию осевой сжимающей силы N и вну треннего давления (рис. 10).
Выражения для продольных и окружных напряжений в обшивке и продольных напряжений в стрингерах при совместном действии осевой силы .и внутреннего давления записываются следующим образом:
N |
|
N - р |
ч |
Н(1+Р) |
6 = - — |
(Э.*6) |
|
V |
h |
|
|
Здесь N - N /lffr; р - |
отношение площадей поперечного сечения |
стрингеров и обшивки; {J - коэффициент Пуассона.
Ограничение по прочности будем формулировать в предполо жении, что материал ее идеально пластический, на основе теории
наибольших касательных напряжений: |
|
|
|
|
0f - |
[ 0 т ] . |
|
(i4 7 j |
|
Подставлял выражения для |
бл и 62 |
в (3.47), получим условие |
||
прочности стрингерной оболочки в виде |
|
|
|
|
2 я г { Я [ С т ](1 + р ) - r g ( l + |
|
} > N . |
(а 48) |
Для формулировки ограничений по устойчивости используются расчетные формулы, полученные в [2], в предположении, что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и на кручение при одночленной аппроксимации перемещений. Эти формулы име ют следующий вид:
общий случай деформации при потере устойчивости
~ 1 +1fk l V |
|
12(1” jL4*)’ |
|
|
|
|
|
(А49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
первый частный случай деформации |
|
|
|
||||||
ч |
1 |
[О |
t a k f h 2 |
|
п |
Н 1 |
• |
(5.50) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ч -^ Г .У ' |
|
||||
|
|
|
|
|
' |
m i |
|
|
|
второй частный случай деформации |
|
|
|
||||||
|
|
t p k n * |
|
п |
|
|
|
<551) |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
Здесь |
|
6 (1 -р г) |
|
JE |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
^кр & |
|||
1 |
Н |
я |
Г - |
л |
- |
|
|||
+ = |
__ ■ |
- ------- ; |
оС |
= |
2717*2) |
|
Р= 2 к г D |
||
|
Г 1 |
• |
27СГ |
|
|
|
„ A* tim in ')'
В выражении (3.49) число полуволн в окружном направлении не должно быть кратным числу стрингеров к {г п $ п ^ ) . Для част ных случаев потери устойчивости (3.60) - (3.51) может выполнять ся соотношение кратности числа полуволн в окружном направле нии числу стрингеров (2 п = /ц к ).
Из трех рассмотренных случаев потери устойчивости в дей ствительности может иметь место тот, которому соответствует наименьшее значение критических напряжений 6 ^ ~ Е у Г .
Выбирал в качестве подкрепления стрингеры из полосы толщи ной Ар (высота стрингера Н определяется.по нормативным значе ниям РА = ///Л р, обеспечивающим местную устойчивость стринге ра), будем отыскивать такие значения толщины обшивки а, тол щины ребра h f и количества стрингеров ft, чтобы при заданной негрузке N обопчка имела минимальный объем и одновременно удовлетворялись условия прочности (3.48) и устойчивости
2 n p E h l ( H f k ) ^ M . |
(3.52) |
Вводя обозначениях А~Н, х г ~ Нр> х ь- К , Хц-п, х 5= т |
и подстав- |
78
ляп их в (3.48) - (3.52), получаем задачу частично целочисленного НЛП: найти неотрицательные значения я 1г x t , x i l которые миними зировали бы функцию цели
|
Ф * |
m .ln (2 тггас,, + А л J ) L |
(3.53) |
и одновременно удовлетворяли условиям |
(3.S*) |
||
|
2яг{г^1?т] ( 1 + ^ ) - Г 9 ( 1 + ^ + р 7 ^ } э « ; |
||
|
|
|
(3.55) |
где |
f |
ПСГХй |
|
|
|
В качестве примера определим оптимальный проект стрингер ной оболочки радиуса г = 1 м и длины L - 2 м, нагруженной осе вой сжимающей нагрузкой N - 83,3 • 104 Н и внутренним давлени ем ч = 0,532 • 104 Па. Модуль упругости В = 6,87 • 10е Ла; 0Г = = 1,47 • 10е Па; р = 0,3; А = 13. Оболочка подкреплена стрингера ми в виде полосы. На оптимизируемые параметры наложены огра
ничения: 0,1« 1,5 мм; 1,0 ^ h p « 2,5 мм; 100; 1 <
<л<*50; 1</П«50.
В табл. 8 приведены значения оптимальных параметров, объе мы и параметры критических напряжений для всех трех форм по
тери устойчивости, а также значения сил N |
при которых напря |
жения равны предельным. |
v |
Как следует из табл. 8, лимитирующим является ограничение по устойчивости. Наиболее опасным оказался второй частный слу чай потери устойчивости ( у = 1,349), когда для того, чтобы /V превысило заданную нагрузку, необходима большая толщийа стрингера и большее их число.
Рассмотрим теперь оболочку, усиленную стрингерами и шпан гоутами (рис. 11), подверженную совместному действию осевой сжимающей силы N и внутреннего давления ф.. Ограничения по прочности и устойчивости по-прежнему будут иметь вид (3.48) и (3.52), с той лишь разницей, что в (3.52) выражения для параметра у будут следующими:
а) общий случай деформации
|
У |
[8И +0,+ «,)+ ^ |
у; |
|
С]; |
|
@56) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8 |
|
м* |
у |
h'MM |
Лр, ММ |
К,шт |
v, |
|
|
|
|
m in' |
|
Vs |
V 10* |
||||||
п/п |
|
|
|||||||
|
CMS |
|
|
|
|
|
|
H |
H |
1 |
12975 |
0,98 |
1,0 |
25 |
1,925 |
|
|
84,3 |
96 |
2 |
11334 |
0,88 |
1,0 |
9 |
— |
2,426 |
|
83,6 |
83,9 |
3 |
17480 |
0,997 |
1,81 |
58 |
- |
- |
1,394 |
83,6 |
129,3 |
б) частные случаи деформации: первый
[ М + * S1 >+ + 2 V V + с ] •
второй
Уг = fl( A * Q 3+Sj ) + -!-(1 + U'g) + с ,
Гп
третий
^ — ^ [ e (A + Q ,+ S t ) + ^ - ( 1+trf + i ^ ) + C ] , четпертый
^ - ^ { I M + W + ^ j l i * 4 ) + C ] , пятый
r r - ^ +V V ^ (1+2,f<)+C1’
шестой , в= [8 (Д + 0 , + 5г )+ -^ (1 + 1 Г ,) + С 1 ,
седьмой
V T t[B(A+V У + + гir, «• vs>+ С],
ВОСЬМОЙ
Г | - в ( А * 0 ^ у + Т Г + С -
во
(».«?)
( Ш )
(359)
(3.60)
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)