книги / Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек
..pdfВ качестве средств прогнозирования компромисса {F j№ )} в 2.4.3. рассмотрены модели и методы, основанные на: оптимальной линейной аппроксимации области, Парето (2.32); по возможности равномерном заполнении (2.32) точками решений МКЗ; аксиомати зированном подходе к выбору модели компромисса { F ( £ ) } в
Ъх [26]. |
4 |
2 .4 .2 . Постановки многокритериальных задач оптимизации
Когда на начальных этапах решения, задач ОПК однозначное за дание цели невозможно, многокритериальный подход позволяет сформулировать задачу проектирования и предложить некоторые рациональные схемы анализа, на основе которых в конечном сче те будет найдено компромиссное решение.
Аксиоматический выбор принципа оптимальности в задачах проектирования подкрепленных оболочек по критериям надежно сти, веса и долговечности. Характерной чертой постановок задач ОПК с указанными критериями является то, что все еще отсутству ют достаточно полные исследования, соответствующие норма гивы и рекомендации по выбору допустимой надежности конструк ций, особенно для систем с неэкономической ответственностью [7; 27], а срок эксплуатации устанавливают ориентировочно. Вме сте с тем в ряде работ показана существенная зависимость эко номических характеристик от уровня надежности. Таким образом, формализация задач ОПК с учетом показателей веса G надежно сти Я, срока эксплуатации Т происходит в условиях неполной информации.
Противоречивый характер, несопоставимость показателей {G, Р, T jf а также их взаимообусловленность, требуют примене ния многокритериального подхода, который точней отражает ре альные условия проектирования. Причем здесь для обоснования компромисса частных критериев в форме максимина вида (2.52) может быть применен аксиоматический подход [26], описанный далее в 2.4Д
Рассмотрим класс задач проектирования подкрепленных обо лочек, для которого существенными являются флюктуации полей сжимающих напряжений по одной пространственной координате Z ! Остановимся на методе оценки надежности с по мощью аппарата теории выбросов случайных полей из допусти мой области, разработанном в [7].
Принимается, что сжимающие усилия создают случайное узко полосное [19] поле напряжений Q(Zt t ) стационарное по своим переменным. Расчет оценок надежности проведем для однородно го случайного поля, вероятностные характеристики у которого ин вариантны относительно сдвигов координат.
При конструктивных параметрах 1 , допустимом уровне на грузки Q *{£)r который достаточно высок, и заданном сроке эк-, сплуатации Т оценка надежности Р может быть представлена как [7]
(2.33)
uZ i
где
t6 [o ,r]}, »met,(Q. *(Z ))
- математическое ожидание числа максимумов поля Q(Z, •*) на единице поверхности в единицу времени, превышающих уровень Q*№). Считаем, что нагрузка создает поле Q (Z ,*) - гауссов ское однородное узкополосное и стационарное по обеим перемен
ным, тогда [7] |
|
|
|
k _ |
« |
|
|
(IQ' ./ |
mQ" |
— --------<П*1Г\ п, 1 Г |
] |
||
|
mQn |
(Q ( X ) - m Q) |
||||
* |
zz |
't t |
|
|
|
|
|
m a i |
|
|
|
|
|
|
|
|
m a ffo |
|
|
(2.34) |
|
Здесь обозначено: |
- |
математическое ожидание и дис |
|||
персия нагрузки соответственно; т п п |
гппи - математические |
|||||
|
|
|
|
wzz |
|
и t . |
ожидания вторых частных производных по координатам Z |
||||||
|
Если при проектировании некоторой конструкции ограничение |
|||||
на поведение конструкции определяют I |
функций Qj(X) |
(напри |
мер, ограничения по прочности, устойчивости и т. д.), то для оцен ки надежности величина 0*(Х) формируется из условия
Q *(Z )=m In Q,IX). |
(2.35) |
1rt |
|
С учетом сказанного приходят к расчету надежности Р при задан ном сроке эксплуатации Т в виде
<**>
Оценка надежности Р « Р(2*) согласно (2.35), (2.36), когда Q-(Z) представляют критические силы потери устойчивости кон струкций и элементов, зависящие от параметров волнообразова ния m и л , практически носит алгоритмический характер.
Исследуем вопрос обеспечения надежности Р совместно с анализом оценок Т и реса Q в рамках многокритериального под хода как задачи обоснования компромисса критериев { ( 7r Pt Т ),
При формулировании свойств рационального компромисса кри териев {G f Pf Т} учтем следующее: во-первых, уровень информа тивности - предполагается известной лишь информация об исход ных диапазонах изменений некоторых показателей; во-вторых, свойство множества критериев F -{G ,P t Т } \ устанавливаемое на основе соотношения (2.33). Здесь имеет место связь, характер
которой согласуется с рассмотренной в 2.4.1, 2.4.3, гарантиру ющая единственное решение с известными свойствами для прим ципа оптимальности вида (2.52); .принцип гарантированного ре зультата отражает также полноту системы критериев [14). Ввиду наибольшей информативности компромисса (2.52) применение его для исследования исходной проблемы проектирования здесь оказывается более целесообразным, чем использование других моделей.
Выражения для критериев эффективности представим в ви де [26]
1) F(X)-p[X) =v>mQx |
Р > |
Р |
|
1 |
x e fl, |
mm |
m a x |
|
|
г) F(x)=T(x)=>max; г , < г |
(2.37) |
|
2 |
X € D Z |
m ax» |
3) F, (X) = GOT) => min ,
где D j. - допустимая область выбора решений (2.4) - (2.14). До стижимые оценки критерия Q(X) находятся из решений скаляр ных задач оптимизации. Если предположить, что связь критериев Q и Т в течение всего срока эксплуатации Т е [7jnin> нв изменяется, то нормированные оценки критериев будут наиболее простыми:
, ~ |
1 -Р |
Тm a x - |
Т |
~ |
о - о ,mua |
}• |
(2.38) < |
|
|
Р ■ ' |
Г |
- Т |
- ' |
|
^ т а ж - ^m in |
||
|
m in |
'т а * |
|
т т |
|
|
|
|
Получение оценок надежности в соответствии с (2.33) - |
(2.36), |
обоснование компромисса в форме (2.52) и принятие частных кри териев эффективности по (2.37) завершает постановку многокри териальной задачи. В 3.10.1 обсуждаются результаты проектиро вания многослойных стрингерных оболочек на основе принципа оптимальности (2.52).
Многокритериальные модели стохастического программирова ния. Оптимальные проекты оболочек X полученные при сведе нии задачи ОПК к модели нелинейного программирования, как правило, находятся на границе области J) поскольку минимум критерия, например веса достигается при X = 0. Следова тельно, проекты могут оказаться недопустимыми {Х°ф Ъ ^) уже при малых отклонениях конструктивных параметров от оптималь ных значений [23; 32; 27], особенно с учетом требований надежно сти [27].
_ Рассмотрим вопрос о возможности использования проектов Х°, полученных из решений задачи НЛП (2.52) при допущении слу чайных малых отклонений от X имеющих место в процессе из готовления оптимальной оболочки; считаем вектор искомых пара метров случайным: X = X ^ .
учитывал рассеяние значений Х±, выделим два аспекта проб лемы: 1) оценка гарантии того, что решение задач НЛП (2.52) будет
приемлемым и в предположении флюктуаций |
если математи |
|
ческое ожидание |
равно оптимальным значениям параметров |
|
Х °: М [ Х ^ J -X 0; 2) оценка возможности „стандартизации” реше |
ния Х ° путем замены значений х? ближайшими из сортимента X is [22]. Рассмотрение этих вопросов позволяет установить це лесообразность применения модели НЛП по сравнению с более сложными подходами: 1) стохастического [35], 2) дискретного [ 12; 35] программирования.
Сформулируем многокритериальную задачу стохастического программирования (ЗСП), имеющую детерминированным анало гом модель проектирования (2.52), (2.37). Для случайных реализа ций X| вес оболочки £?(Х, t )= G t является многомерной случай ной величиной. Введем вероятностные оценки (?., Рассмотрим два типа таких характеристик и соответственно два* вида постано
во к многокритериальных |
задач стохастического программиро |
вания: |
|
а) зададим Pg - вероятность того, что случайные реализации |
|
G t не превысят значения |
G * тогда G* - частный критерий je c o - |
вой оптимальности оболочки при стохастическом векторе 3L ,a целевая функция, заменяющая третье уравнение (2.37), примет !ид
. { '% P V s 6 * )3sPew ;
б) мерой (?(1) выберем среднее значение реализаций Q. : & L ) тогда целевая функция, заменяющая третье уравнение-(2.37), примет вид
M [G fe] ^ |
т ‘1,г , , |
( 2Л 0 ) |
* |
|
|
где М - знак математического ожидания [35].
С учетом (2.39), (2.40) задача оптимального проектирования многослойной ребристой оболочки сводится, в соответствии с классификацией скалярных постановок задач стохастического программирования [35], к: а) многокритериальной Р-модели; б) многокритериальной М -модели стохастического программиро вания (обе модели рассмотрены в 3.10.2).
Оптимизация ребристых цилиндрических оболочек многоцеле вого применения. Различными классами задач ОПК являются [6; 23]: выбор параметров конструкции {X 9} , оптимальных при за данном воздействии Q0; создание оптимальных систем для не скольких видов воздействия {Q j}{ . Последнее может рассмат
риваться как проектирование при неопределенности условий эк сплуатации относительно характера нагрузки. При исследовании ребристых оболочек здесь возможно: 1) выделение одного вида
нагрузки Qj0 , |
определяющего оптимальный набор [У Д /)} для |
|
всех {Q jJ; 2) |
(z j-'] отличен от каждого из |
М L j [6]. |
Критерии оптимальности оболочек многоцелевого применения при неполной информации часто связаны с обеспечением ограни чений проектирования, требований работоспособности для всех q,c наиболее полным учетом имеющейся и возможностью полу чения дополнительной информации об условиях .эксплуатации.
В исследованиях многофункциональных конструкций [6; 23; 32] найдены условия оптимальности, обеспечивающие минимум веса (объема), и соответствующая целевая функция не задавалась при формулировке задачи ОПК. Получение подобных соотношений в случае проектирования ребристых оболочек при частично целочи сленном наборе X , учете общих и частных форм потери устойчи вости оболочки, учете ограничений прочности и устойчивости эле ментов и т. д. не представляется возможным; задача ставится в терминах нелинейного программирования [12; 34].
Выберем мерой эффективности проекта при некотором воздей
ствии Qj, Je [1: l j ] вес (объем) конструкции |
V (I). Вводя безраз |
|
мерные параметры x i = b 0 f r , х г = h J r , x |
^ h j r t xA= b Jb c\ |
|
K ! h m x 6 e *> * 7= |
пРеАСтавим Г(Х} в виде |
|
K X ) = gbp [(Z rr - x 2xAxe) ( l/V - z 3z s x 7) |
+ |
|
+ P o /VXl X* Y |
i3 rl >w Xl X SX7)> |
(2Л1) |
где 7г0 - толщина оболочки; КС,Ь Ш- высота, а |
Ьс,Ът - толшина |
стрингеров и шпаунгоутов; д = 9,8 м /с2; Ф= r fL ; bp=p0r 5; р с =
=/с/Я0; (\ц=Р ш /Р0; Po.Pc.Pwплотности материалов обшивки, стрингеров и шдангоутов соответственно. Обозначим V- v(£)Jbft.
Учет возможности многоцелевого применения оболочки дости гается путем введения дополнительных ограничений в задачу ОПК или на основе многокритериального подхода, в зависимости от целей и имеющейся информации об условиях эксплуатации. При детерминированных Q j наиболее известен в качестве компро миссного принципа оптимальности принцип равенства
opt,{К} =[Pt {X °)= Fz |
■№")], |
(глг) |
|
— - 0 |
^ |
|
0^_ оди |
когда приведенные массы Vj (Х °) |
для всех воздействий |
||
наковы; X ° - искомые значения параметров |
причем Х°е Р^\ |
Рх - парето-оптимальные оболочки. Реализация (2.42) также воз можна при минимизации (2.41) и объединении различных ограни чений задач НЛП, составленных для каждого вида воздействий Qj.
В постановках, где критериями качества служат оценки несу щей способности оболочки при нескольких нагрузках, задается ресурс / = и ставятся двойственные к (2.41) задачи [34] выбо-
ра параметров 2 ° , макисмизирукицих допустимые величины воз действий {Q ;}^ Здесь определение рациональных значений воз действий {fly Ш } можно представить в виде
min {------ ----------- = & |
Г |
m a x |
|
( * . « ) |
j e l j l Щ |
' • |
VtX)$ f i |
|
|
и |
|
|
||
|
|
|
|
|
Q ™ x -Q jtX ) |
|
=s> rmni |
(2M ) |
|
m ax v |
= |
Q 'I |
||
l |
|
J J |
£€e.d r |
|
|
|
P<X)*£ |
|
Постановки (2.43), (2.44) предполагают решение следующих од
нокритериальных задач оптимизации: |
|
J e l j , |
(2.45) |
2eJ),'X |
|
при этом AQ j = 0 у1йэс- Q j, где Q j = m in Qjfc. |
Различная эна- |
чимость режимов воздействий Q j, связанная, например, с инфор мацией о частоте их возникновения, может учитываться введени ем в (2.43), (2.44) коэффициентов XjtZJ \ j =1 .
При условиях, когда возможны отклонения амплитуд многова риантной нагрузки от расчетных значений, возникают вопросы вы бора запаса несущей способности конструкций [7; 22]. Сформули руем соответствующую модель многокритериальной оптимиза
ции. Пусть - вес оптимальной многофункциональной
оболочки при воздействиях {Q ?|, |
амплитуды которых Qj извест |
ны неточно. Необходимо найти |
оболочку заданного веса V * - |
= С -др*, С > 1 , удовлетворяющую требованиям проектирования
для наибольших возможных амплитуд |
Q j: m ax (Q j - Q j), j =; |
= t , Исследование проектов |
конструкций, 'соответству |
ющих указанным условиям и содержанию категории оптимально сти, выполняется за счет постановки задачи ОПК с критерием вида
min { A |
. )/(?•}=> max |
, |
(2.46) |
/е l j |
Х й Ь |
х |
|
F($h<P0'
где Kj - коэффициенты, учитывающие информацию о возможных изменениях внешних воздействий j -й природы; если таких дан ных нет, то A j - j J, 1c e [ l 7 J .
Помимо названных постановок (2.41) - (2.46), сводящих пробле му проектирования подкрепленных цилиндрических оболочек при нескольких видах нагружения к многокритериальной задаче не-
линейного программирования в рамках априорного подхода к МКЗ, возможно использование других моделей и методов, изло женных в 2.4.1, 2.4.3. Проектирование многофункциональных реб ристых оболочек рассмотрено в 3.10.3.
2 .4 .3 . Методы векторной оптимизации
Сравнение оценок частных критериев F(.[X) возможно, если они имеют одинаковую природу, в частности - безразмерны. В дальнейшем используем естественную нормализацию частных критериев вида [31; 18]
|
Я(Х) = |
^ |
(2.47) |
|
£■ ^ ^ |
|
|
|
J |
J |
|
где F j |
- наилучшая, a F? - |
i f |
|
наихудшая оценки /у (X ) B D J - |
(2 .4 )- (2.14); предполагается, что * F- (X) максимизируется. Рас смотрим примеры методов оптимизации, раскрывающих содержа ние подходов, перечисленных в 2.4.1.
Алгоритм оптимальной линейной аппроксимации области ком промиссов. Содержание предлагаемой аппроксимации Рр и со ответствующих процедур решения МКЗ (2.2) состоит в следующем.
Пусть выделено два частных |
критерия t = 2 { F fc(X), F j{X )} и |
имеется типичная область Рр |
(рис. 3). Требуется указать одну |
точку с0 е Рр (и установить способ ее нахождения), для которой средняя погрешность при замене Рр линейными отрезками Q С0 и С0Ь будет минимальной. Оптимальная аппроксимация предназна чена для решения МКЗ в рамках человеко-машинной процедуры (см. 2.4.1, подход 4) с заданной точностью при наименьшем коли честве вычислений „точек" области Парето (2.32) либо при обеспе чении минимальной средней погрешности при заданном числе то чек в Рр. Прогнозирование значений { f j Р,(Х )} на р-м этапе осу ществляется по кусочно-линейным моделям области (2.32) и пре дельным погрешностям {Д /у (р\х ) } , предъявляемым лицу, прини
мающему решение (ЛПР). |
^ |
L |
|
Обозначив зависимость |
Ft (Xj - Ф |
. в |
область Рр, а для |
аппроксимации/^, прямыми йС0,СоЬ через |
^ G(X) = « ^ [ ^ ( х ) ] , |
||
запишем погрешностмзледующим образом: |
|
£«- Т = т / • (*■«>
Чтобы облегчить изложение и сделать его более наглядным, пред ставим рассуждения геометрически. Ясно, что ба минимально, если для точки С0 касательная К я параллельна Q&; здесь площадь треугольника асоЬ наибольшая ( h =ftm ai)»а площадь 3^ - мини- ' мальна (на рис. 3 3^ заштрихована). Аппроксимащ1Я Рр с укаэан-
47
ными свойствами получается при решении задачи оптимизации для скалярного критерия вида
т а * |
{ ♦ ( |
! ) = . I X) } , |
(2.49) |
i e l L |
|
|
|
выражающего при А * - A i |
идею компромисса критериев в форме |
абсолютной уступки 110), т. е. из проектов Х \ X "fc2 L предпочте
ние отдается X* в том случае, если Д/ v |
= Fk ( 1 0 ~ '/* J X |
м) > |
|
> |Л Г ^| (считается, что |
{$') > Fk u |
), Ft IX) < Ft (X"). |
В точ |
ке с0, где находится решение задачи (2.49) [18], выполняется соот ношение |Д ^ |= |Д Ft | (уступки не различимы).
Обозначим задачу (2.ч9) при А* = А ц, через 3 ^ Оценка предель
ной погрешности Д |
т а я Ц V ( Fk ) - Va (Fk ) Л также вычи |
||
сляется за счет решения |
задачи (2.49) |
при Д . ф Л ;. Обозначим |
|
ее 3t . Значения коэффициентов I |
, А| |
г задачи Зг определяют |
ся условием параллвльноотикасательной К • прямой’асп при Fk <
< Ft (или параллельности д 2 |
прямой QC« при F„ < F. |
(риа 3). |
||
я * " - # |
U |
f l 2 1 l |
tth |
|
Помимо проверок типа Fk < F j |
для нахождения |
{X kr |
Aj j |
мож |
но уточнить у ЛПР область предпочтительных оценок F; (X), на-
48 |
J |
пример, в виде: получены F,? F.* 6 Рг : решение МКЗ в области |
||||
—(opt) |
я i |
Р |
|
|
гк |
> г к . Если это так, то анализ продолжается в области С0 Ь, |
|||
в противном случае - в области QВ0 (рис. 3). |
||||
_ |
В случае Fk p**> Fk |
для нахождения решения задачи Зг { |
||
F ^ } коэффициенты |
А |
определяются соотношениями: |
||
A^7Al[ ) s Ft(2,/(1 “ Fx*Jr |
Л(^ + |
= 1. Оценка предельной по- |
||
грешностиаппро^симации^<ра [ F J I ) ] , A f |
j находится из соот |
|||
ношений Fj1 J= F t *+ оУк (Рк ~ F k ), о)к - |
- P il^ - F ^ ) и очевид |
ных условий ортогональности спЬ и de (рис. 3): |
ь), и )и = -}• |
R - |
|||||
j!(2 ) |
ir№ ) |
Р |
0 |
Ь |
К |
f |
I |
= r L |
|
- г ^ ) . |
Отсюда ясно, что если на |
некотором |
|||
р -м этапе оценка |
kFmax приемлема для ЛПР, то дальнейший вы |
||||||
бор решений осуществляется на аппроксимации |
Фа . Причем, ре |
||||||
шение задачи Зг может использоваться для уточнения связи |
Р1 ~ |
||||||
~ Уа ^ к ) |
и уменьшения фактической погрешности Д F k it)' |
В рамках изложенного алгоритма t -критериальная задача сво дится к последовательности двухкритериальных. Рассмотрение двухкритериальных задач опирается на гипотезу „бинарности сравнений” : ЛПР устойчиво сравнивает объекты, отличающиеся по двум критериальным свойствам [24]. Блок-схема и описание ал горитма оптимальной аппроксимации Рр даны в приложении.
Процедура многокритериальной оптимизации'подкрепленных оболочек с равномерным размещением точек в области компро миссных решений. Отличительной чертой рассматриваемого под хода к решению МКЗ является стратегия рационального исследо вания области Парето (2.32) с помощью определенным образом подобранных „скалярных" моделей задач ОПК. Эти задачи априори (за счет своей формулировки, а не в результате отбора из некото рого множества пробных точек, заданных в пространстве, пара метров проектирования [33]) обеспечивают, по возможности, „рав номерное", согласно [33], размещение решений в области (2.32). Реализация класса возникающих здесь задач ОПК проводится ме тодами случайного поиска, приведенными в 2.2. Эффективность этих алгоритмов обусловлена тем, что на определенных этапах случайный вектор Xь е 2 ^ , нв пРиг°Днь,й Аля одной из задач ОПК, может оказаться приемлемым для некоторой другой. Тем самым обеспечивается снижение ресурсов ЭВМ на реализацию совокуп ности искомых решений.
Подход с использованием равномерного зондирования Рр пред ставляется более обоснованным при достаточно большом числе критериев эффективности {fy ( I) } . На его основе происходит де композиция процесса проектирования на следующие этапы: 1) ап проксимация (подготовка диалога с ЛПР);Ч2) прогнозирование {F.C(X)} и выбор оптимума ^ p t (диалог „ЭВМ-ЛПР"); 3) расчет
Г |
Ресурс для аппроксимации |
1 |
|
{р-узлаб) |
|
|
Равномерная расстаноВка узлоб |
|
|
б области Парето pF |
, I-подготовка |
|
± |
|
|
диалога |
Построение модели аппроксимации области Парето по р-узлам: А р £ А $ ,+(1-£)Ар<*1>ec[0,1]
—4------------------- |
Г — И----------------- |
|
|
|
ВыяВление предпочтений /7ПР |
|
|
|
на подели аппроксимации Apf |
|
|
|
Отсечение части рг как не Вптинальной |
II: прогнозиро |
|
|
|
||
г-6 - |
|
вание и |
|
Отбор узлоб В области предпочтительных |
Выбор F$pt |
||
|
|||
|
решений p'f ; нормализация Гу |
(ЭВМ-/1ПР) |
Ш-расчет параметров оптимальной конструкции
Рис. 4
оптимальных параметров Xopf (рис. 4). „Равномерное” заполне ние P f „узловыми" точками позволяет повысить качество соот ветствующей аппроксимации Ар^ (2. 32), а подготовительный
этап сокращает время обращения к модели (этап „диалога" „ЭВМ-РПР” ) до приемлемого для проектировщика.
После выбора на к -и шаге установленная структура
предпочтений ЛПР (и „узлы” Р р ) переносится на часть области (232) и процесс расстановки точек в Рр, построения аппроксима-
ции^ А рр, прогнозирования |
и выявления предпочтений ЛПР |
а Рр расчета параметров |
повторяется. |