книги / Основы экспериментальной механики разрушения
..pdfРис. 3.4. Плоскости действия максимальных касательных напряжений при плоском напряженном состоянии (а) и плоской деформации (б)
наклона площадок, на которых действуют максимальные каса тельные напряжения, по отношению к плоскости xz не постоя нен, а является функцией угла 0. Однако, эти площадки всегда остаются ортогональными лицевой поверхности образца в силу постоянства направления действия третьего главного напряже ния Оз=0г.
Поскольку касательные напряжения являются причиной развития пластического разрыхления материала — образова ния и роста микропустот, то, очевидно, эти процессы наиболее интенсивно протекают по плоскостям действия ттахЭто схема тически показано на рис. 3.5. При разрушении по механизму пластического сдвига рост трещины определяется обозначенны ми на схеме направлениями.
Более детализованная картина развития пластических де формаций в вершине изображена на рис. 3.6.
Рис. 3.5. Направления наиболее ин тенсивного развития пластического разрыхления при плоском напряжен ном состоянии (а) и плоской дефор мации (б)
Рис. 3.6. Развитие пластических де формаций при плоском напряжен ном состоянии (а) и плоской дефор мации (б)
Рис. 3.7. Модель трещины с узкой |
Рис. 3.8. Упругопластический |
аналог |
|
пластической зоной |
задачи |
Гриффитса |
|
Модель Леонова—Панасюка—Дагдейла* |
позволяет |
обоб |
щить этот подход на случай, когда размер пластической зоны гр не мал, гр>0,21о. Предполагается, что исходная трещина со свободными от напряжений поверхностями длиной 210 может быть заменена модельной длиной 2l=2(î0+rp). Однако в отли чие от линейной задачи концевые области модельной трещины размером гр остаются заполненными пластически деформиро ванным материалом, как показано схематически на рис. 3.7, б. Этот материал обладает определенной несущей способностью и стягивает противоположные поверхности трещины, не давая им разойтись.
Если материал считать упруго-идеальнопластическим, то его скрепляющее действие может быть эквивалентно заменено по стоянным напряжением, равным пределу текучести ат, как по казано на рис. 3.7, в. Таким образом, вместо исходной трещины размером /о с пластическими зонами длиной гр рассматривает ся модельная трещина размером 1=10+гр без пластических зон, но дополнительно нагруженная на концевых участках стя гивающими напряжениями от.
Модельная трещина погружена в упругодеформированный материал, и, следовательно, напряженное и деформированное состояния вокруг нее определяются коэффициентами ннтенсив-
* В литературе можно встретить другие названия модели: б,,-модель, модель БКС (Билби—Коттрел—Свинден) и др. Близкая по форме модель предложена Г. И. Баренблаттом.
Что касается первой из двух задач, решения которых входят в (3.1), то она в точности совпадает с задачей Гриффитса, рас смотренной в разделе 2.3, и имеет решение
K\ = pVnl. |
(3.3) |
Обратимся ко второй задаче. Для нее
p(xi)——Отпри /—rp c l^ l < /, *2= 0.
После подстановки этого условия в (3.2) получаем
Условие (3.1)'с учетом (3.3) н (3.4) приводит к следующе му выражению для определения гр:
rpjl= \ —cos (яр/2ат) • |
(3.5) |
Поскольку ï=lo + rp, то окончательно можем записать
Гп = /„ ( sec 2зх — 1 |
(3.6) |
Последняя формула определяет длину пластической зоны в вершине трещины-разреза длиной 2/0 в зависимости от внешней нагрузки р и свойств материала от при полномасштабной теку чести.
Рассмотрим случай, когда р<Сот, т. е. реализуются условия квазихрупкого приближения. Разлагая sec(np/2oT) в степенной ряд и отбрасывая малые слагаемые, из (3.6) получаем
|
r , = ^ = |
i № |
I « y |
|
|
(3.7) |
|
|
|
8’2р |
8 ^ |
®т ) |
|
|
|
Здесь |
/Ci(/0) = |
— коэффициент интенсивности напряже |
|||||
ний, |
соответствующий |
трещине |
исходной |
длины /0 |
без |
учета |
|
пластических зон. |
|
|
|
|
|
фор |
|
Сравним размеры пластических зон, определяемые |
|||||||
мулой (3.7) и формулой (2.55), |
учитывая, |
что имеет |
место |
||||
плоское напряженное |
состояние. Формула |
(2.55) |
определя |
||||
ет (см. рис. 2.13) половину длины |
пластической |
зоны, по |
|||||
этому сравнение необходимо производить с величиной |
d == |
||||||
= 2 Гр = (1 /* х а д у * т)2. |
|
|
|
|
|
Менее громоздкое по сравнению |
|
x2i |
|
|
|||
с (3.10) |
выражение для uz{x{) полу |
|
kp |
|
|||
чается, |
если воспользоваться извест |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
ным решением задачи теории упру |
|
|
|
|
|||
гости о расклинивании разреза дву |
|
|
|
|
|||
мя равными противоположно напра |
•< |
0 |
l |
X |
|||
вленными |
силами. Последняя зада |
|
|
|
|
||
ча представлена на рис. 3.9. Раскли |
|
|
p |
|
|||
нивающие |
силы |
Р приложены к |
|
|
|
|
|
верхнему и нижнему берегам разре |
Рис. |
3.9. |
Расклинивание |
раз |
|||
за на расстоянии | |
от начала коор |
реза сосредоточенными силами |
|||||
динат. Решение этой задачи для пе |
|
|
|
|
ремещений точек разреза и напряжений на продолжении разре за имеет вид
и0(х!) = ------- Г(/, х и |
*) при |
%\<z, *8=о, |
|
ъЕ |
|
|
|
Р У> —S |
при |
|x ,|> z, «= 0, |
(3.12) |
< (* i)= |
где
Г(/, xlt I) = In p - x i e - V j p - x D i p - P )
р-х&+ Y {P - 4 Y ~ p )
Вобщем случае произвольного распределения нагрузки p(g) на берегах разреза сосредоточенную силу Р можно представить
ввиде P=p(\)d%. Тогда после интегрирования по всей поверх ности разреза получим
|
I |
|
|
|
UiiXi) = — |
j* р(Ъ)Г(1, х и 1Щ, |
|
||
|
-I |
|
|
|
a*a(*i)=----_ |
— Р I |
Pit) y p - v |
d6. |
|
*1 |
||||
л Y |
|
|||
|
|
Поскольку распределение напряжений p(g) в рассматривае мой задаче определяется равенствами (3.9), то после подста новки в предыдущие формулы имеем
+ (*i-M«)r A *i. — h ) ~ i V 1' — *’ arccos(/„/J)], |
(3.13) |
67
Поскольку /<?=лр2/о и в рамках линейной механики разруше ния при плоском напряженном состоянии в силу (2.82)
G \~K i/E , то из полученного соотношения следует
/С? |
г |
G y а,0,. |
(3.15) |
б, = — |
« — пли |
||
£зт |
от |
|
|
С другой стороны, для трещины в идеально хрупком мате риале, как следует из (2.41), раскрытие в вершине х = 0 отсут ствует. Однако в квазихрупком приближении за раскрытие в вершине условно можно принять удвоенное смещение на рас
стоянии от вершины действительной трещины x = r p= K 1/2JWÎ- Это соответствует схеме, представленной на рис. 2.13, на кото рой модельная квазихрупкая трещина имеет увеличенную на гр длину.
Из (2.41) с учетом сказанного получаем
о |
о |
и (х + 1 )/р = 8 /£ , |
то окончательно мо |
|||
Так как гр=К\/2пс'; |
||||||
жем записать |
|
|
|
|
|
|
о |
4 к * |
А О |
1 |
~ |
ъ |
« |
‘А I |
|
|||||
о. = |
— |
= — |
или Gi = |
—-ато,. |
||
1 |
- Е - т |
гзг |
|
4 |
т 1 |
Можно видеть хорошую коррелированность между получен ным результатом и оценкой (3.15), вытекающей из модели Лео нова—Панасюка—Дагдейла. В экспериментальной механике разрушения обычно пользуются соотношением (3.15) как более удобным.
Таким образом, модель Леонова—Панасюка—Дагдейла в предельных случаях согласуется с моделью линейной механики разрушения (квазихрупкое приближение) и является обобще нием последней на упругопластическне среды. Она успешно ис пользуется, как отмечалось, при анализе состояния тонкостен ных металлических тел с трещинами, а также тел из полимер ных материалов, в которых причиной образования зон нелиней ного деформирования перед вершиной трещины часто является механизм крейзинга.
Для учета пластического упрочнения материала на практи ке вместо От в модели используют напряжение оо, равное сред
нему арифметическому из пределов текучести и |
прочности |
О о = ( о т + о в)/2 . Это повышает точность расчетов. |
Иногда с |
этой же целью прибегают к замене от на ов. Существуют и бо лее сложные приемы *
* См.: П а и а с ю к В. В. Деформационные критерии в механике разру шения // Физико-химическая механика материалов. 1986. № 1. С. 7—17.