- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
|
|
|
~ |
-► s |
|
|
|
Rp + а/р. . . |
Rp + ( t p - l H a / p ) . . |
|
|
о |
Ир |
Ур |
tp |
п |
t► |
(* |
|
||||
|
|
|
|
|
|
A «--------------------------- |
|
|
|
|
|
Рис. 35
23.2.Относительное изменение платежей
Ктаким потокам платежей можно причислить, например, последова тельности платежей, у которых соседние платежи отличаются друг от дру га в q раз (рис. 36).
|
|
R |
R - q |
R ( f A |
R - f |
|
|
0 |
1 |
2 |
............. t |
|
n |
|
|
|
|
Рис. 36 |
|
|
Дисконтируя такую последовательность платежей, получим геомет |
||||||
рическую прогрессию |
|
|
|
|||
|
|
R - K R - q - f ..........R -q '-'-l> ........... R -q"-'-*» |
||||
с первым членом Л-я и знаменателем |
qnt сумма которой равна совре |
|||||
менной |
величине |
рассматриваемого |
потока |
платежей при |
||
т = р = 1 |
и вычисляется по формуле |
|
|
|||
|
|
|
|
q • v -\ |
<7-0 + 0 |
Наращенная сумма этого потока вычисляется по формуле
5=/1-(1 +/)" = R £-- —
9 - 0 + 0
Для р-срочной ренты с постоянным темпом роста q платежей и на числением сложных процентов один раз в году (т = 1) будем иметь послс-
довательность платежей Rpy Rp •q•, |
л |
-1 |
R |
, Rp •qn p |
|
, где Rp =— . |
Современная величина такой последовательности платежей может быть получена дисконтированием каждого платежа на начало потока
RpУР, Rp -q- S<Up\ . , Rp • iP’PW ri
идальнейшим их суммированием как членов геометрической прогрессии,
аименно
А - * , . * ' * |
’ |
1 |
q - (\ +i)Up |
Р |
q j}l p - \ |
При этом наращенная сумма рассматриваемого потока платежей оп ределяется по формуле
J’ P _ 0 + 0 "
5 = Л -0 + 0" = Rp -
q - (\ +i)Up
Если при базовом размере платежа RQ изменения платежей в потоке начинаются с первого платежа, т.е.
Д0 -*, До*<72, Ло-*1, Ro • я" >то ПРИ разовом начислении про центов в году (ш = 1) современная величина и наращенная сумма потока платежей могут быть вычислены по формулам
A = Ro.q . k l ^ l z l |
и s= R0 . q . ^ U L . |
|
° |
<7-0 + 0 |
9 - 0 + 0 |
Если годовой темп прироста а платежей в потоке отличен от нуля, т.е. изменение платежей происходит в q = 1 + а раз, то значения современ ной величины потока платежей и его наращенной суммы вычисляются со ответственно по формулам
, г |
„ |
«1 +0/0 +а>Г-1 - |
И О +О/О+о))" |
-4 = 'г“ |
<1+а) |
------|+ < г - (| + 0 |
-----------— S --------- |
|
|
S = A-([ +i)n =R0 -(l+ d) |
(1 + Q "-(1 + d)" |
|
|
|
1- a |
2.3.3. Разовые изменения платежей в потоке
Для потока с разовыми изменениями платежей Rt наращенная сумма
и современная величина потока определяются путем прямого счета, на
пример, при начислении сложных процентов по процентной ставке / один раз в году (т = 1):
5 = £ Д , - 0 + 0"- ' |
и |
Л = Х Д ,-0 + 0 “'> |
|
|
|
|
|
/=1 |
|
а при непрерывном начислении процентов по силе роста 8 - |
|
|||
S = £ f i r e*("~0 |
„ |
А = £ к г е -* ' |
|
|
'=> |
„ |
|
'=> |
+ п„ |
Если в потоке платежей продолжительностью п = п\ + п2 + |
периодов на f-м этапе (t = 1, 2 , . . . , к) член ренты R, постоянен и сложные
проценты начисляются один раз в году (т = 1) по процентной ставке / в течение п, периодов (рис. 37), то наращенная сумма и современная вели чина такого потока платежей вычисляются по формулам
|
|
|
|
►S |
|
Rb /, щ |
|
Rt , U Щ |
Rk, i, пк |
|
|
0 |
1 |
............... t ................. |
к-1 |
к |
/ |
А -------------------------------- |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37 |
|
|
|
5 = ЛГ* , -0 + 0',~"1+ Л2. ^ 2... |
(1 + 1Г -'Ч-»2 + |
|
+ Л**4 4:/- |
||
A = Rr а]п |
+R2 •a]lr . ■^ + |
+Rk . ... |
+»2+~+»*-i, |
где sji:j и а , - коэффициенты наращения и приведения ренты, которые определяются согласно формулам (9Н) и (9П).
Если рента р-срочная, то s%:i и аЦ.л берутся соответственно форму лам (ЮН) и (10П).
2.3.4.Непрерывное поступление изменяющихся платежей
Очевидно, что общая сумма поступлений непрерывного потока пла тежей, подчиненных некоторому закону R( = /( /) , за время п составит
с = ] /( * ) • * .
О
При этом наращенная сумма потока платежей при непрерывном начисле нии процентов по силе роста 8 будет равна
О
а современная величина такого потока платежей определяется по формуле
п
A = \ m - e - S t -clt.
о
Рассмотрим ноток платежей, линейно изменяющихся во времени, с начальной величиной Я0 и приростом а, т.с. Rt = Я0 + a-t. Современная величина такого потока может быть вычислена следующим образом
/1 = |(Л 0 + йг.О -с- <У'- Л |
= Л0 |
------ — |
+ - - |
I ----- -------- |
н-е- |
|
( D , |
« |
a |
_ Sn |
|
Л |
0 |
т ) -a**—s n‘e |
> |
где а™#- коэффициент приведения непрерывного потока с постоянными платежами и непрерывным начислением процентов по силе роста 5.
Для рассматриваемого потока платежей процентная ставка 8 может быть определена при всех заданных остальных параметрах потока по ме тоду Ньютона с использованием функций
f{S>=R<y(\-e- &,,) |
+ |
- п ■е- * и| |
а - А ■S, |
/'(<*> = /> •(/?(,+ |
* " ) -с-'*" + и-е |
|
Если рассматриваются экспоненциально меняющиеся платежи в по токе, т.с. Rt = RQ-er t , с начальной величиной платежа R0 и постоянным
темпом роста у, то современная величина такого потока может быть найде на следующим образом:
Непрерывная процентная 8 при наличии остальных данных о потоке рас- считывается по итеративной процедуре метода Ньютона:
ed 4 > - - A . . ( r . 4 y l
______ £4)__________ |
(к = 0 ,1 ,2 ,...), |
|
4 м - 4 - |
_ п .еи - ь ) п |
|
А |
|
*0
_1_ начиная с *§ = — + у ----— и с использованием функций
/1+1
f X S > = A - n .eir-*>n
*0
Задачи
1.(Абсолютное изменение платежей). Пятилетний контракт преду сматривает, что, после первого платежа 5000 д.е., производимого в конце первого года, последующие платежи ежегодно увеличиваются на 1000 д.с. При этом на платежи начисляются сложные проценты по годовой про центной ставке 0,08. Определите наращенную сумму потока платежей дан ного контракта, а также его современную величину.
2.(Абсолютное изменение платежей). По условиям контракта в те чение 3-х лет в конце каждого полугодия выплачиваемые платежи увели
чиваются на 1000 д.с., при этом величина первого платежа равна 1000 д.с., и в течение всего срока контракта начисляются сложные проценты по го довой процентной ставке 0,1. Определите наращенную сумму потока пла тежей, а также его современную величину.
3. (Размер платежей в потоке). По контракту 200000 д.с. текущего долга погашается в течение 6-ти лет потоком ежегодно возрастающих на величину первой выплаты платежей с начислением в конце каждого года на остаток долга сложных процентов по годовой процентной ставке 0,05. Определите размеры платежей в потоке.
4. (Относительное изменение платежей в потоке). Контракт преду сматривает погашение задолжности в конце каждого года в течение 8-ми лет потоком возрастающих на 10% платежей с первой выплатой в 18000 д.е. и ежегодным начислением сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06 на сумму оставшегося долга. Найдите современную величину и наращенную сумму такого потока платежей.
5. (Относительное изменение платежей в потоке). В условиях задачи 4 платежи осуществляются в конце каждого квартала и первый платеж ра вен 4500 д.е.
6. (Разовые изменения платежей). Проект кредитуется в четыре эта па: сначала предоставляется 30000 д.е., затем через полгода - 70000 д.е., еще через год - 150000 д.е. ,после чего еще через 1,5 года предоставляется 200000 д.е. Определите величину задолжности по кредиту через 4 года с момента предоставления первой суммы кредита, а также современную ве личину кредита на момент предоставления первой суммы кредита, если кредит дается под сложные проценты по годовой процентной ставке 0,09.
7. (Разовые изменения платежей). Четырехгодичный контракт преду сматривает взносы в 2 этапа с начислением на них сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08 на первом этапе в течение первых 1,5 лет и по годовой процентной ставке 0,1 на втором этапе в последующие 2,5 года. На первом этапе взносы по 5000 д.е. производятся в конце каждого полу годия. На втором этапе взносы по 8000 д.е. производятся в конце каждого квартала. Определите наращенную сумму потока платежей.
8.(Непрерывный поток платежей). Предполагается, что непрерывно
иравномерно поступающий в течение 20-ти лет ежегодный доход от экс плуатации нефтяного месторождения составит 10 млн. д.е. Оцените нара щенную сумму такого потока платежей, если на них ежегодно начисляют ся сложные проценты по годовой процентной ставке 0,1.
9.(Непрерывный поток платежей). В условиях задачи 8 на платежи
непрерывно начисляются проценты по силе роста 0,1.
10. (Непрерывный поток платежей). Определите срок, за который наращенная сумма станет в 6 раз больше годовых взносов, если взносы по ступают непрерывно и равномерно и на них непрерывно начисляются про центы по силе роста 0,06.
11. (Процентная ставка потока платежей). Выразите через силу рос доходность инвестиций в 1 млн. д.е., если ежегодная отдача от Них в 150000 д.е. поступает равномерно в течение 10-ти лет.
12. (Процентная ставка потока платежей). Отдача от 1 млн. Д * е . , ин вестированных в проект, составляет в первый год 300000 д.е. В последую щие 5 лет отдача ежегодно возрастает на 10000 д.е. Определите доходность инвестиций, измеренную в виде непрерывной процентной ставки.
13. (Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей). Плани руется с момента t = 0 ежегодно увеличивать выпуск продукции на 200000 д.е. в течение 3-х лет. В начальный момент t = 0 выпуск продукции оцени вается в 5 млн. д.е. Определите суммарный стоимостной объем выпуска продукции с непрерывно начисляемыми процентами по силе роста 0,08.