- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
у —У'Х
х0 =*3+“ ~ ,(*4~*з)-
Ул~Уг
Далее для заданного значения у0 е[у3, у4] находится соответствующее ему значение дс0, оценивается |/( х 0)-> '0 1и т.д.
|
|
Задачи |
1. Найдите положительный корень уравнения |
||
|
Д х ) а х3 - 0,2• х 2 - 0,2• л:-1,2 = 0 |
|
с точностью до |
0,01, |
используя метод: а) линейной интерполяции; |
б) Ньютона. |
|
|
2. Вычислите отрицательный корень уравнения |
||
|
f (x) 3 X4 —3• х 2 + 75 • х —10000 = 0 |
|
с точностью до |
0,1, |
используя метод: а) линейной интерполяции; |
б) Ньютона. |
|
|
3. Вычислите с точностью до 0,001 единственный положительный корень уравнения f(x) =x5 - х - 0 ,2 , используя метод: а) линейной ин терполяции; б) Ньютона.
4.Найдите величину переменной /, при которой функция
рg looo-o+0~3+ loo-
i
принимает значение 850.
Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
2.2.1.Наращенная сумма
Рассмотрим задачу создания сберегательного фонда. Пусть ежегодно сумма R вносится в конце каждого периода равными долями р раз в году на счет в банке. Начисление сложных процентов по номинальной годовой ставке j производится т раз в году. Требуется определить наращенную сумму такого потока платежей за время г.
Очевидно, что рассматривается р - срочная рента. Если число дней в году равно Куто платежи производятся через К/p дней (рис.23а) или через Мр часть года (рис. 23Ь).
Общее число платежей, произведенных в течение л = т/ К лет, будет равно т /(К/р) = пр.
О |
Ыр Rip |
Rip Rip |
|
—► |
— ►К/p ■*— |
к |
2К- |
т [дни] |
|
|
|
|||
<- |
2-К/р-> |
|
|
|
(р-т к/р) -
НК/р)=К ►
Рис. 23а
R |
|
|
О Яр Rip |
Rip Rip |
|
-► 1/р |
1 |
* [год] |
2Л/р~* |
|
|
-(P-1)'(1/P) -
Р-(1/р)=1------ ►
Рис. 23Ь
Тогда на первый платеж, произведенный через 1/р года после начала ренты, будут до конца ренты начислены сложные проценты т{п - 1/р) раз и сумма этого наращенного платежа к концу срока ренты согласно форму-
R ( |
: \ m<n-Vp) |
|
ле (4Н) станет равной —• |
1 + — |
.Н а второй платеж, произведен- |
Р V |
т) |
|
ный через 2-(1/р) года после начала ренты, будут до конца ренты начисле ны сложные проценты /л {и - 2-(1/р)) раз, и сумма этого наращенного пла-
|
R |
/ |
• у |
,-(и-2*(,/р)) |
тежа к концу срока ренты станет равной |
—• |
\ |
1+— |
и т д |
(рис. 24). |
Р |
т) |
|
|
|
|
|
|
( я //>)■(! + j / m)m(n-1/p)
(Л/р)-(1 + у / m)m^n_2(l/p^
|
|
|
|
|
|
|
►(Л /р ) - (1 + ;/т )т-2(1/р) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
►(Л/ рХ1+У / |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= (Л /р ) - ( 1 + у / т ) " (,,я) |
||||
Л/р |
Л/р Л/р Л/р |
|
|
Л/р |
Л/р i?/p |
|
|
|
|
||
О 1 |
|
2...р-1 |
р ___ |
1 |
|
р-1 р |
|
|
|
t |
|
О |
|
|
1 |
л-1 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 24 |
|
|
|
|
||
|
Сумма наращенного платежа, произведенного за 1/р года до оконча- |
||||||||||
|
|
|
|
|
р |
/ |
.yi-(l/p) |
|
|
|
|
ния срока ренты, станет равной — • |
1 + — |
На последний платеж |
|||||||||
|
|
|
|
|
Р \ |
т) |
|
|
|
R |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
проценты не будут начислены, и его величина останется равной |
—. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
Таким образом, к концу срока ренты все платежи с начисленными на |
||||||||||
них процентами образуют последовательность: |
|
|
|
|
|||||||
р |
/ |
;\т-(п-\1 р) |
р ( |
. у и ( л - 2 ( 1 / р ) ) |
р |
( |
. ч ш ( 1 / р ) р |
||||
* |
h |
u ) |
|
- - 1 + - |
|
|
р |
\ |
т) |
А |
|
р |
\ |
т) |
|
р \ |
т) |
|
|
р |
|||
которая представляет собой п-р члено40в геометрическойес: |
прогрессии с пер- |
||||||||||
|
|
R ( |
|
. у и * (л - 1 / р) |
|
/ |
|
. у - т / р |
|
||
|
|
|
j \ ппп-мр) |
|
( |
|
:\- |
|
Сумма чле |
||
вым членом —*|. |
1+— I |
иизнаменателем 11+—— | |
|
||||||||
|
|
р \ |
|
т) |
|
|
\ |
|
т) |
|
|
нов этой геометрической прогрессии рассматриваемого потока платежей и суммы геометрической прогрессии:
.ч ш - ( /! - 1 /р ) ( / |
||
I |
(4• |
) |
|
|
р V ntj
S =—
соответствует наращенной сумме может быть найдена по формуле
• \- т - ( 1 /р ) * н * р
-1
р)
-1
Таким образом, ответ на поставленный в задаче вопрос может быть найден по формуле
|
S |
(8Н) |
|
, М Г-. |
|
где величина |
--------------Р Н )------- |
-■- называется коэффициентом на- |
ращения и представляет собой сумму рассматриваемой ренты, годовые выплаты которой равны единице.
Если числитель и знаменатель коэффициента наращения разделить на величинуу/m, то
|
|
-1 |
|
р |
P \ j ! t r i ) |
_ |
s mn:j/m |
smn:jIm = / |
\ш/р |
Г" |
~ |
|
j / m |
|
|
где snw j/m и sm!p\jlm затабулированы для часто встречающихся вели
чин m-njlm, т/р.
Из формулы (8Н) легко получить выражение коэффициентов нара щения финансовых рент с различными параметрами.
1.Рента с годовым периодом (р = 1) платежей членов ренты R и
числением сложных процентов по процентной ставке / = у один раз в году (т = 1 ):
, _ (1 + 0 ” -1
ЛПА —
I
Для часто встречающихся значений i и п величина коэффициента на ращения затабулирована. Отсюда формула наращенной суммы потока пла тежей имеет вид
S = R- (l + o " -1 |
(9H) |
2. P - срочная рента с годовыми платежами Л и с начислением слож ных процентов один раз в году (т = 1) по процентной ставке i:
(1 + 0 " - 1
sp =-
Откуда формула наращенной суммы потока платежей имеет вид |
|
5 = Л (1 + 0 " -1 |
(ЮН) |
,/„ • |
р(1+о ^ -1
3.Рента с годовым периодом (р = 1) платежей членов ренты R и на числением сложных процентов т раз в году (т > 1) по номинальной про центной ставкеj:
О+ у / ш Г " - !
,(l +j / m ) m‘” - 1 ______ j ! т_______smn\j/m
s mn:j/m~ / |
. |
\m |
t ~ |
/ . . , |
\m |
, “ |
s |
’ |
(1 + J / |
m) |
-1 |
(1 + J / |
m) |
- 1 |
sm:jlm |
|
j / m
где snwj/m И sm:j/m затабулированы для часто встречающихся величин
m-nj/m, т.
Формула наращенной суммы потока платежей имеет вид
. |
~ |
(ПН) |
|
/ |
• V» |
||
|
К ) -■
4. Р-срочная рента с годовыми платежами R и начислением сложны процентов р раз в году (т = р):
™=Р _ К Г -
*тп:j/m
Откуда формула наращенной суммы потока платежей имеет вид
S = R- К Г - |
(12Н) |
5. P-срочная рента с годовыми платежами R и непрерывным начис лением сложных процентов по силе роста 8:
( l + j l m T ’ - i |
„IlSli0 |
e, ; _ t |
s l x = lim |
p.f taj(,+jl„r,lY‘’-l)"r V "O' |
|
|
С учетом введенного ранее обозначения номинальной процентной ставкиj при непрерывном начислении сложных процентов через 5 имеем
е * п - \
sw.S- р-{еЛ р - \ )
Формула наращенной суммы потока платежей имеет вид
R |
e s " - \ |
S = |
(13Н) |
Ре а р - \
6.Рента с годовым периодом (р = 1) платежей членов ренты R и не прерывным начислением сложных процентов по силе роста 5:
е*а -1
S"'S e S- \ '
Отсюда формула наращенной суммы потока платежей имеет вид
„&п |
-1 |
S = R- |
(14Н) |
И - 1 Замечание. Коэффициенты наращения потоков с непрерывным по
ступлением постоянных платежей (т.е. р -> оо ) при различных способах начисления процентов можно найти, переходя к пределу при р -> оо в соот ветствующих формулах коэффициентов наращения р-срочных рент. При этом необходимо учитывать, что приращение показательной функции
/(х ) = а* в точке лг0 равно А/(х0) = д*0+Лг - а х° « ах° - In а-Ах и при
х0 = 0, Ах = \/р, а = 1 + / имеем (\ + i)Up -1 ~ • 1п(1 + /).
Р
Таким образом, коэффициент наращения для непрерывного потока постоянных платежей с ежегодным начислением сложных процентов по процентной ставке / равен
с о |
р |
1 (1+ 0” -1 |
1 |
(1+ i T - l |
(1+ |)л -1 |
|
P—>°° |
(1 + | ) ^ —1 |
p |
(1 / /7) «1П(1 “h /) |
ln(l + /) |
|
Соответствующая такому потоку наращенная сумма может быть |
||||
найдена по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
S = R- |
(1+ /)л -1 |
|
(15Н) |
|
|
|
н п т - |
|