Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

3.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Cu′

C =

C j

ab X

ab →

U ab

i L

∫uab dt → I L =

= − j

−∞

jω

X L

Тогда

I = I R + IL + IC

−

= U ab Y ,

(3.41)

= U ab

− j

X L

X C

где Y – полная комплексная проводимость,

= G − j(BL − BC ) ;

Y =

−

− j

X L

X C

активная проводимость G =

;

индуктивная проводимость BL

;

X L

емкостная проводимость BC =

= ω C .

X C

На основании формулы Эйлера

Y = Ye− jϕ =

G2 + (BL − BC )2 e− j arctg

BL −BC

= Y cos ϕ − jY sin ϕ .

(3.42)

Действительная часть комплексной проводимости G = Y cos ϕ

называется активной проводимостью;

мнимая часть комплексной проводимости B = Y sin ϕ

называ-

ется реактивной проводимостью.

Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементом общим является

111

напряжение Uab , вектор напряжения и выберем в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.20).

+j	I	I C I L ϕ < 0 +j		I C ϕ > 0
	I	U R	U ab U R
			U ab U R
				+1
I		+1		+1
I			I	I L
			I
		Рис. 3.20
		Рис. 3.20
Возможны три характера такой цепи:
BL >BC –		индуктивный характер,	ϕ > 0 ;
BL = BC	–	резонанс токов, ϕ = 0 ;
BL < BC	–	емкостный характер, ϕ	< 0 .

Таким образом, в параллельных ветвях характер цепи определяет большая реактивная проводимость или меньшее реактивное сопротивление.

3.4.Методы расчета цепей синусоидального тока

инапряжения

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют вид, аналогичный соответствующим выражениям для цепей постоянного тока (это было показано в предыдущих разделах):

∑ I = 0; ∑U = ∑ E ,

(3.43)

при этом токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в эти уравнения в виде комплексных величин.

Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, для цепей синусоидального тока можно обосновать аналогичность алгоритмов

112

расчета всеми изученными ранее методами анализа, применимыми для расчета цепей постоянного тока. Однако, несмотря на общность методов, расчет цепей синусоидального тока сложнее и обладает рядом особенностей, которые будут рассмотрены в следующих разделах.

3.4.1. Эквивалентное преобразование пассивных цепей

При последовательном соединении n приемников с комплекс-

ными сопротивлениями Z 1 ,Z 2 ,…, Z n		эквивалентное или общее ком-
плексное сопротивление цепи
n	n	n
Z = ∑ Z i =∑ Ri		+ j∑ X i = R + jX .	(3.44)
i =1	i =1	i=1
При параллельном соединении n приемников с комплексными
проводимостями Y 1,Y 2 ,…,Y n	эквивалентная или общая комплексная
проводимость цепи
n	n	n
Y = ∑Y i =∑Gi		− j∑ Bi = G − jB .	(3.45)
i=1	i=1	i=1

Пример смешанного соединения приемников дан на рис. 3.21.

Известно, что R1 = 10 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 1 Ом, XL = 1 Ом, XC =

2 Ом.

Для данной схемы общее или эквивалентное комплексное сопротив- R1 ление определяется следующим обра- зом:

Z	экв	= R +	(R2 − jX C )(R3 + jX L )			,
		1	R2	+ R3 + j( X L	− X C )

R2 X C

R3 XL

Рис..33.21.

Z экв	=10 +	(2 − j2)(1 + j1)	= 10 +	2(1 − j1)(1 + j1)	= 10 +	2(1 +1)(3 + j1)	=
		2 +1 + j(1 − 2)		3 − j1		(3 − j1)(3 + j1)

113

= 10 +

4(3 + j1)

= 10 +

12 + j4

= 11,2 + j0,4 Ом,

+12

Rэкв

= Re(Z экв ) = 11,2 Ом,

X экв = Im(Z экв ) = 0,4 Ом.

Определим эквивалентную проводимость:

11,2 − j0,4

11,2

−

экв

Z экв

11,2 + j0,4

11,22 + 0,42

− j

0,4

= 0,089 − j0,003 См,

11,22 + 0,42

Gэкв

= Re(Y экв) = 0,089 См,

Bэкв = Im(Y экв ) = 0,003 См.

Таким образом, переход от известного сопротивления к проводимости осуществляется по формуле

Y =	1	=	R	− j	X	,	(3.46)
	Z		Z 2		Z 2

а переход от известной проводимости к сопротивлению −

Z =	1	=	G	+ j	B	.	(3.47)

	Y Y 2				Y 2

При преобразовании соединения потребителей треугольником в эквивалентную звезду (рис. 3.22) и обратно применяются формулы, аналогичные формулам для постоянного тока, в которых используются комплексные сопротивления и проводимости:

		a
a		Z 13
Z 3	Z 1
c	Z 23	Z 12
c	b
Z 2	c	b
	Рис. 3.22

114

–

преобразование «треугольник –

звезда»

12 =

Z 1 Z 2

;

Z 13 =

Z 1 Z

;

Z 23

Z 2 Z 3

;

(3.48)

Z 1 + Z 2 + Z 3

Z 1

+ Z 2

+ Z 3

Z 1

+ Z 2 + Z 3

–

преобразование «звезда – треугольник»

Y 1

Y 12 Y 13

;

Y 2 =

Y 12 Y

;

Y 3

Y 23 Y 13

(3.49)

Y 12 + Y 23 + Y 13

Y 12

+ Y 23

+ Y 13

Y 12

+ Y 23 + Y 13

Следует иметь в виду, что после преобразования соединения пассивных элементов треугольником в эквивалентное соединение звездой или обратно комплексные сопротивления преобразованной схемы могут получиться с отрицательными действительными частями, т.е. отрицательными активными сопротивлениями. Эти сопротивления имеют исключительно расчетный смысл и на практике в электрических цепях не могут быть реализованы.

3.4.2. Обобщенный закон Ома в символической форме

Обобщенный закон Ома для участка			E	Z
цепи с источником гармонической		ЭДС 1	E	Z	2
(рис. 3.23)		+		I	–
U12 = I Z E ,		(3.50)		I
U12 = I Z E ,		(3.50)		. 3.23
			Рис. 3.23
где «+» соответствует противодействующему источнику, «–» –					содей-
ствующему.
I =	U12 ± E	,			(3.51)
I =		,			(3.51)

где «+» соответствует содействующему источнику, а «–» – противодействующему.

115

3.4.3.Уравнения мощности в символической форме

Вп. 3.1 показано, что мгновенная мощность определяется следующим образом:

p(t) = u(t)i(t) = UI cos ϕ −UI cos (2ω				t + ψ	u + ψ	i ) .
Если принять ψ u	= 0 ,	тогда	из ψ	u − ψ	i = ϕ	следует, что
ψ i = −ϕ .	−UI cos(2ω t − ϕ ) .
Тогда p(t) = UI cos ϕ	−UI cos(2ω t − ϕ ) .
Мгновенная мощность		имеет	постоянную			составляющую

UI cos ϕ и гармоническую составляющую, изменяющуюся с двойной

частотой.

Активная мощность – это постоянная составляющая мгновенной мощности или среднее значение за период:

P =	1	T	p(t)dt = UI cos ϕ = I 2 R = U 2G.	(3.52)
P =	T	∫	p(t)dt = UI cos ϕ = I 2 R = U 2G.	(3.52)
акт	T	∫
акт
		0

Единица измерения мощности – ватт (Вт). Активная мощность всегда положительна.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока, поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз, а полной мощностью

S = UI = I 2 Z = U 2Y ,

(3.53)

где U, I – действующие значения соответственно напряжения и тока. Полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжениях и токах. Также амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной

мощности S называют вольт-ампер ( BA ).

116

Как следует из формул, для повышения Рис

. 3. .324.24

коэффициента мощности приемника нужно уменьшать его реактивную мощность.

В то время как активная мощность определяет совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни переда-

117

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициен-

том мощности:

P	=	UI cos ϕ	= cos ϕ .	(3.54)
S
		UI

Для эффективного использования электротехнических устройств необходимо обеспечить более высокий коэффициент мощности или меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т.е.

cos ϕ → 1, ϕ → 0 .

Для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям электропередачи необходимо также обеспечить высокий коэффициент мощности. При данном значении Р приемника ток в линии тем мень-

ше, чем больше cos ϕ : I =		P
					.
	U cos ϕ
При расчетах электрических цепей находит применение реак-
тивная мощность Q:
Q = UI sin ϕ = I 2 (X L − X C ) = U 2 (BL − BC ),							(3.55)
которая положительна при индуктивном характере цепи (ϕ							> 0) и от-
рицательна при емкостном характере цепи						(ϕ < 0). Единица измере-
ния реактивной мощности –		вар.
Активная, реактивная и полная мощности
(рис. 3.24) связаны соотношениями							S
						Q
			Q
S 2 = P2 + Q2 ;				= tg ϕ .		(3.56)	ϕ

ваемой энергии в единицу времени. Реактивная мощность является характеристикой запаса энергии электрического и магнитного полей. В электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности реактивную мощность рассматривают как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую условно называют реактивной энергией, Wp = Qt (вар ч), и на практике измеряют счетчика-

ми.

Введем понятие комплексной мощности. Для того чтобы получить полную, активную и реактивную мощности из известных комплексов тока и напряжения, используют следующие соотношения:

			~			= UIe j (ψ u −ψ i ) = UIe jϕ =
			S	= U I = Ue jψ u Ie− jψ i			(3.57)
			= UI cos ϕ + jUI sin ϕ			= P + jQ,

где	~	–	комплексная мощность,		*	сопряженный комплекс тока.
	S				I –
			Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощно-
сти равна активной мощности,					а мнимая часть – реактивной мощно-

сти. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S. Для определения полной мощности можно использовать также следующие формулы:

~	= I 2 Z = U 2 Y .	(3.58)
S

Рассмотрим комплексные мощности для различных потреби-

телей:

для активного сопротивления:

~
S	= U I = IR I = Ie jψ i RIe− jψ i = I 2 R;		(3.59)
P = I 2 R;		Q = 0;	(3.59)
P = I 2 R;		Q = 0;

для индуктивности:

~			= I 2 jX L	;
S	= U I = IjX L I				(3.60)
P = 0;		Q = I 2 X L ;

118

для емкости:

~
S	= U I = I (− jX C )I = − jX C I 2 ;	(3.61)
		(3.61)

P = 0; Q = −X C I 2 .

3.4.4. Баланс мощности

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мощностей. Сумма всех отдаваемых мощностей равна сумме всех получаемых мощностей. Выясним, соблюдается ли баланс для комплексных мощностей, а следовательно, и для реактивных мощностей.

Пусть общее число узлов схемы равно n. Запишем для каждого узла уравнение по I закону Кирхгофа для комплексных сопряженных токов:

*	*	*
I 12	+ I 13	+…+ I 1n = 0,
*	*	*
I 21	+ I 23	+…+ I 2n = 0,		(3.62)
	…
*	*	*	= 0.
I n1	+ I n 2	+…+ I n,n−1	= 0.

Эти уравнения записаны в общей форме в предположении, что каждый узел (здесь узел – место соединения не менее двух ветвей) связан с остальными n – 1 узлами. При отсутствии каких-либо ветвей соответствующие слагаемые в уравнениях становятся равными нулю. При наличии между какой-либо парой узлов нескольких ветвей число слагаемых соответственно увеличивается.

Умножим каждое уравнение (3.62) на комплексный потенциал узла, для которого составлено уравнение:

	*			*			*
ϕ	1 I 12	+ ϕ		1 I 13	+…+ ϕ 1 I 1n			= 0,
	*			*			*
ϕ	2 I 21		+ ϕ	2 I 23		+…+ ϕ	2 I 2n = 0,			(3.63)
			…							(3.63)
			…
ϕ	*		+ ϕ	*		+…+ ϕ	*		= 0.
ϕ	n I n1		+ ϕ	n I n 2		+…+ ϕ	n I n,n−1		= 0.

119

Просуммируем все уравнения (3.63) с учетом того, что сопряженные комплексы токов входят в эти уравнения дважды (для двух


различных направлений),		причем	I 21= − I 12
чим
(ϕ 1 − ϕ		+ (ϕ 1 − ϕ
(ϕ 1 − ϕ	2 )I 12	+ (ϕ 1 − ϕ	3 )I 13	+…+

+ (ϕ n−1 − ϕ 1 )I n−1,1 +…+ (ϕ n−1 − ϕ

и т.д. В результате полу-

(ϕ 1 − ϕ
(ϕ 1 − ϕ	n )I 1n +…
	(3.64)

n )I n−1,n = 0.

В этом выражении столько слагаемых, сколько ветвей, и каж-

дое слагаемое представляет собой комплексную мощность ветви Si .

Таким образом, сумма комплексных получаемых мощностей во всех ветвях равна нулю. Полученное равенство выражает баланс мощно-

стей	~	= 0 . Из него следует равенство нулю в отдельности суммы оп-
	S

ределяемых активных и суммы определяемых реактивных мощностей.

I	I	Следует отметить, что взаимное
I	I	направление токов и напряжений на по-
		требителях и на источниках противопо-
	U	ложно, как показано на рис. 3.25. По-
U	U	скольку отрицательные получаемые мощ-
	.25	ности представляют собой мощности от-
	Рис. 3.25	ности представляют собой мощности от-

даваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех

получаемых реактивных мощностей равны друг другу:	~	~	или
	Sпол	= Sотд

~	~
Sист	= Sпотр .
	~			=
	Sист	= ∑± Ei Ii	+ ∑±U J i Ji	=
		i	i

= ∑ P ± j∑Q = ∑ I 2 R +

							(3.65)
	∑ I			− ∑ I			(3.65)
		2	X L		2
j			X L			X C .
				Q
				Q

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.91 Mб18Теория инженерного эксперимента..pdf
#
12.11.202310.16 Mб2Теория информации..pdf
#
12.11.202315.46 Mб0Теория ленточных конвейеров для крупнокусковых горных пород..pdf
#
12.11.2023610.78 Кб1Теория лидерства лидерство в организации..pdf
#
12.11.20231.63 Mб8Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы.pdf
#
12.11.20233.18 Mб54Теория линейных электрических цепей. Ч. 1.pdf
#
12.11.20231.54 Mб5Теория линейных электрических цепей. Ч. 2.pdf
#
13.11.202324.53 Mб11Теория литейных процессов..pdf
#
12.11.202313.07 Mб7Теория механизмов и машин задания, упражнения и задачи к курсовому проекту..pdf
#
12.11.202316.79 Mб5Теория механизмов и машин курсовое проектирование..pdf
#
12.11.20239.05 Mб44Теория механизмов и машин сборник задач и тестов..pdf