книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1
.pdfконтуров и источников. С усложнением электрических цепей такой расчет становится крайне затруднительным, в связи с чем требуется применение метода, позволяющего рассчитывать электрические цепи переменного тока аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным методом служит символический метод.
3.3.Символический метод расчета цепей с гармоническими воздействиями
Расчет цепей периодического синусоидального тока облегчается, если поставить в соответствие синусоидальной функции комплексное число или вектор. Установим данное соответствие.
Пусть некоторая электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС и т.д.) изменяется по синусоидальному закону
v = Vm sin(ω t + ψ ) .
В прямоугольной системе координат (рис. 3.12) расположим
под углом ψ вектор V , длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm
(причем, ψ > 0, если отсчитывается против часовой стрелки).
|
|
|
j |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vm sin(ω |
t + ψ |
) |
Vm |
ω |
t + ψ |
|
|
|
|
|
Vm cos (ω |
t + ψ |
) |
+1 |
|
|
|
|
|
Представим себе, что вектор с момента t = 0 начинает вращаться вокруг начала
координат в положительном направлении с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω . В момент времени t ≠ 0 вектор составляет с осью абсцисс угол ω t + ψ . А его проекция на ось ординат
V y = Vm sin(ω t + ψ ) будет равна мгновенному значению величины v.
Таким образом, между мгновенным значением v(t) и вектором V можно установить однозначное соответствие. На этом основании век-
тор V будем называть вектором, изображающим функцию времени, и
101
обозначать V . Эти векторы являются математической абстракцией, не имеющей физического смысла, а служат исключительно для удобства расчетов. Поэтому такие изображения функции времени называют
символическими.
Если считать ось абсцисс осью вещественных величин, а ось ординат – осью мнимых величин на комплексной плоскости, то полученный вектор соответствует комплексному числу V с модулем Vm и
аргументом ψ . Это комплексное число называют комплексной амплитудой. Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной синусоидальной функции.
3.3.1. Понятие о комплексных числах
j
b A
ϕ
a |
+1 |
Рис. 3.13 |
|
Рис. 3.13 |
|
алгебраическая: |
|
Мнимая единица – это число, дающее в квадрате −1: j = −1 . Введение мнимой едини-
цы дает возможность перейти к комплексному числу (рис. 3.13).
Применяются четыре формы записи комплексного значения синусоидальной величины:
полярная, показательная, тригонометрическая и
A = A |
ϕ |
= Ae jϕ = A cos ϕ + jAsin ϕ = a + jb, |
(3.31) |
где a = Re( A) = Acos ϕ |
|
и b = Im(A) = Asin ϕ – соответственно действи- |
|
тельная и мнимая составляющие комплексного числа; A = |
a2 + b2 ; |
ϕ = arctg b . a
Переход от показательной формы к тригонометрической выполняется при помощи формулы Эйлера: A = Ae jϕ = Acos ϕ + jAsin ϕ .
102
При значении угла ϕ = |
π |
и ϕ = − |
π |
|
из формулы Эйлера следуют два |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|||||
часто встречающихся соотношения: e j |
|
= j |
и e− j |
|
= − j = |
1 |
. |
||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
||
|
Операции над комплексными числами |
||||||||||||||||||||||
|
|
A ± B = (a1 + jb1 )± (a2 + jb2 ) = (a1 ± a2 )+ j(b1 ± b2 ), |
|||||||||||||||||||||
|
|
A B = (a1 + jb1 ) (a2 + jb2 ) = (a1a2 − b1b2 )+ j(a1b2 + b1a2 ), |
|||||||||||||||||||||
|
|
A |
= |
a1 + jb1 |
= |
a1a2 + b1b2 |
+ j |
a2b1 − a1b2 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
B a2 + jb2 |
a22 + b22 |
|
|
|
a22 + b22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A B = Ae jϕ 1 Be jϕ 2 |
= ABe j (ϕ 1 +ϕ |
2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Сопряженным комплексному числу I = a + jb = Ae jϕ называют |
||||||||||||||||||||||
число, имеющее противоположный |
знак |
фазы или мнимой части |
|||||||||||||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = a − jb = Ae− jϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если i = Im sin(ω |
t + ψ i ), |
то |
Im |
= Ime jψ |
i – комплексная амплиту- |
|||||||||||||||||
да, а |
Ime jω t |
= Ime j (ω t +ψ i ) – |
комплексное изображение мгновенного значе- |
||||||||||||||||||||
ния, |
где e jψ |
i называют фактором поворота, умножение на который |
означает поворот на угол ψ i в комплексной плоскости; e jω t называют фактором вращения, умножение на который означает вращение вектора с постоянной частотой ω в положительном направлении вокруг начала координат.
В этой связи следует отметить, что умножение комплексного
числа на |
|
−1 = e± jπ означает поворот вектора на π , умножение на |
|||||
± j = e± j π |
2 |
– поворот на ± |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Комплексное мгновенное значение может быть представлено с |
|||||||
помощью |
формулы |
Эйлера |
в |
тригонометрической форме |
|||
Ime j (ω t +ψ i ) |
= Im cos (ω t + ψ |
i )+ jIm sin(ω |
t + ψ |
i ) . Интересующая нас функ- |
ция времени, описывающая изменение тока в цепи во времени (мгно-
103
венное значение), есть мнимая часть комплексного значения тока: Im(Ime j (ω t +ψ i ) )= i(t) . Именно это соотношение позволяет утверждать,
что между мгновенным значением синусоидальной величины и ее символическим изображением существует однозначное соответствие.
При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения, сокращенно их называ-
ют комплексными значениями I , а соответствующие им векторы на комплексной плоскости – векторами комплексных значений. Связь между комплексной амплитудой и комплексным действующим значением устанавливается по формуле:
I = Ie jψ i = Im e jψ i ; Im = 2I . |
(3.32) |
2 |
|
Пример символического представления функции времени тока
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||
i =10sin ω |
t + |
|
|
: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 10e j |
π |
|
|
комплекс амплитудного значения; |
|||||||
Im |
3 |
|
– |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
j |
ω t |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||
i (t) = 10e |
|
|
|
|
– комплекс мгновенного значения; |
|||||||
I = 10 e |
j |
π |
|
|
|
|
комплексное действующее значение или ком- |
|||||
3 |
|
– |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плекс тока.
Совокупность векторов, символически изображающих синусоидальные величины одной частоты, представленную на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и обеспечения их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений, описывающих электрическую цепь.
104
|
Взаимное расположение векторов на векторной диаграмме не |
|||||
изменится, если начальные |
фазы ψ |
всех комплексных |
значений |
|||
уменьшить или увеличить на одну и ту же величину. Это означает |
||||||
лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. |
||||||
Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы век- |
||||||
тор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действи- |
||||||
тельных величин. Такой вектор называют исходным вектором. |
|
|||||
|
Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.) |
|||||
в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений выби- |
||||||
рается положительным. Это направление выби- |
i |
|
|
|||
рается произвольно и показывается стрелкой на |
I |
|
|
|||
схеме |
соответствующего |
участка |
цепи |
|
|
|
(рис. 3.14). |
|
|
Рис..33.14. |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
При выбранном положительном направлении синусоидальная |
|||||
величина представляется мгновенным значением i = Im sin (ω |
t + ψ i ) |
и |
||||
соответствующим комплексным действующим |
значением |
I = Ie jψ |
i . |
|||
Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидаль- |
||||||
ных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и ком- |
||||||
плексных значений соответствуют их одинаковые положительные на- |
||||||
правления. |
|
|
|
|
|
|
|
Теоремы символического метода |
|
|
1. Об однозначном соответствии символического изображе-
ния данной тригонометрической функции: |
u(t) ↔ |
U . |
Это было пока- |
|||||
зано выше: u(t) = Im(U s ) , где U s = Ume j (ω t +ψ |
u ) , где U s – |
символическое |
||||||
изображение u(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. О линейном преобразовании: если uk (t) = Im(U m |
e jψ u e jω t ) , то |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
λ k uk (t) = Im(λ kU m |
e jψ |
u e jω t ) , т.е. λ k uk (t) → |
λ kU k . |
|
|
|
||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
3. О сумме: если u1 → |
U1,u2 → |
U2 , |
то u1 + u2 → |
U1 +U2 . След- |
||||
ствие: ∑λ k uk (t) → |
∑λ kU k . |
Следует отметить, |
что алгебраической |
сумме мгновенных значений соответствует векторная сумма символи-
105
ческих изображений (векторы складываются по правилам векторной алгебры).
u′(t) |
|
4. |
О производной: если u(t) → |
U , а u(t) = Im(Ume jω t e jψ |
u ) , тогда |
|||||||||||||||||
= |
(Im(U |
|
e jω t e jψ u ))′ |
= |
Im(j |
ω |
U |
|
e jω t e jψ u ), |
. . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
т е |
дифференцированию во |
||||||||
временной области соответствует умножение вектора на jω |
в ком- |
|||||||||||||||||||||
плексной области или поворот вектора на |
π |
: u′(t) → jω U . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Об |
интеграле: если u(t) → |
U , |
а |
u(t) = Im(Ume jω t e jψ u ) , то |
||||||||||||||
t |
|
|
|
t |
Im(Ume jω t e jψ u |
)dt = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
u(t)dt = |
|
Im |
|
U me jω t e jψ u |
→ |
jω |
, т.е. интегриро- |
||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
jω |
|
|
|
|
|
|
|
|
ванию функции во временной области соответствует деление вектора
на jω в комплексной области или поворот вектора на угол − π . 2
Таким образом, символический метод позволяет свести дифференциальные уравнения, которыми описываются цепи переменного тока во временной области, к виду алгебраических уравнений в комплексной области. Полученное таким образом решение можно затем перевести во временную область.
3.3.2.Законы Ома и Кирхгофа
всимволической форме
По I закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е.
∑ik = 0 .
В соответствии с теоремой о сумме I закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записывается в виде
∑ Ik = 0 |
(3.33) |
106
По II закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е. или
∑uk |
= ∑ek , |
|
|
||||
|
|
dik |
|
1 |
|
|
|
или ∑ Rk ik |
+ Lk |
+ |
∫ik dt = ∑ek . |
(3.34) |
|||
|
|
||||||
|
|
dt Ck |
|
|
Но в соответствии с теоремами символического метода II закон Кирхгофа в символической или комплексной форме записи имеет следующий вид:
|
|
1 |
|
|
|
|||
∑ Ik Rk |
+ jω L Ik + |
|
Ik = ∑Ek |
или ∑U k = ∑ Ek . |
(3.35) |
|||
jω C |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
Закон Ома в общем виде |
|
|
||||||
|
|
Z = |
U |
. |
|
(3.36) |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I |
|
|
Рассмотрим закон Ома в символической форме записи для пассивных элементов цепи гармонического тока (рис. 3.15).
I R
U R
Если u(t) → U R , i(t) → I (по тео-
реме о линейном преобразовании), то закон Ома в символической форме для рези-
стора: U R = IR
Z = R
I L L
U L
Рис. 3.15
u = Li′ →
L L
U L = jω LI L = jX L I L
(по теореме о производной).
Закон Ома в символической форме для индуктивности:
π
U = jX L , Z = X L e j 2 . I
|
|
|
|
|
|
|
|
I C C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U C |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
|||||
uC |
= |
|
|
∫iC dt → |
||||||||
C |
||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
UC |
|
= |
|
|
|
1 |
IC = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
jω C |
|||||||
− j |
1 |
|
|
IC = − jX C IC |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
ω C |
|
(по теореме об интеграле). Закон Ома в символической форме для емкости:
U = − jX C , Z = X C e− j π2 . I
107
+j |
|
+j |
U L |
ϕ = |
π |
+j |
|
+1 |
I |
|
|
2 |
I С |
|
|||
U R |
|
|
I L |
|
= − π |
|||
|
+1 |
|
+1 |
ϕ |
||||
|
ϕ = 0 |
|
|
U С |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
Рис. 3.16 |
|
|
|
|
На рис. 3.16 приведены векторные диаграммы напряжений и токов соответственно для сопротивления, индуктивности и емкости.
3.3.3.Последовательное соединение R, L, C
всимволической форме
По II закону Кирхгофа для схемы на рис. 3.17
a |
|
R |
L |
C |
b |
uab (t) = uR + uL + uC . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
|
|
|
uR → |
U R = RI ; |
|
U R |
U L |
U C |
|
uL → U L = jX L I ; |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
РисРис. 3. .317.17 |
|
|
uC → |
UC = − jX C I. |
На основании теоремы о сумме
U ab = U R +U L +UC = I (R + jX L − = I (R + j(X L − X C )) = I Z ,
где Z – комплексное сопротивление цепи.
На основании теоремы Эйлера
U ab = IZe jϕ = I R2 + (X L − X C )2 e
jX C ) = |
(3.37) |
, |
j arctg X L − X C
R . (3.38)
Полное сопротивление равно модулю полного комплексного сопротивления Z = R2 + (X L − X C )2 , аргумент полного комплексного
108
сопротивления равен |
|
разности фаз напряжения |
и тока |
||
ϕ = ψ u |
− ψ i = arctg |
X L − X C |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
R |
|
|
|
|
В общем виде комплексное сопротивление можно представить |
||||
|
Z = Ze jϕ |
= Z cos ϕ + jZ sin ϕ = R + jX , |
(3.39) |
где R – действительная часть комплексного сопротивления, назы-
вается активным сопротивлением, R = Z cos ϕ ; X – мнимая часть ком-
плексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением,
X = Z sin ϕ = X L − X C .
Таким образом, закон Ома в символической форме общем виде
I = U , где Z может представлять, в частности, следующее: для со-
Z
π
противления Z = R , для индуктивности Z = jX L = X Le j 2 , для емкости
− j π
Z = − jX C = X C e 2 .
Введем понятие комплексной проводимости
1 |
= Y . |
(3.40) |
|
Z |
|||
|
|
Для рассматриваемой цепи построим векторную диаграмму токов и напряжений. Поскольку для всех элементов общим является ток, выберем вектор тока в качестве исходного вектора, направив его по действительной оси (рис. 3.18), и сориентируем по отношению к нему напряжения на R, L, C элементах.
+j |
U L U C ϕ > 0 |
+j |
U L |
ϕ < 0 |
|
U ab |
I |
U R |
|
|
U R |
|
||
|
|
|
+1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
I |
|
U ab |
U C |
|
Рис. 3.18 |
|
||
|
|
|
|
Возможны три характера такой цепи:
109
X L >X C |
– |
индуктивный характер, |
ϕ |
> 0 ; |
|
X L |
= X C |
– |
резонанс напряжений, |
ϕ |
= 0 ; |
X L |
< X C |
– |
емкостный характер, ϕ |
< 0 . |
Угол ϕ (разность начальных фаз напряжения и тока) определяется углом поворота вектора тока к вектору напряжения по кратчайшему пути: если поворот определяется против часовой стрелки, то ϕ > 0 (отстающий ток, индуктивный характер), иначе – ϕ <0 (опере-
жающий ток, емкостный характер). Как видно из приведенных выше формул, характер цепи определяет большее реактивное сопротивление.
3.3.4.Параллельное соединение R, L, C
всимволической форме
a |
I |
|
|
|
|
I R I L |
IC |
U ab |
R |
L |
C |
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
. 3. |
|
|
|
Рис. 3.19 |
|
Пусть к цепи, состоящей из параллельного соединения R, L, C элементов (рис. 3.19), приложено напряжение uab = U m sin ω t , которому соответствует в
символической форме U ab . Определим
токи во всех ветвях.
По I закону Кирхгофа мгновен-
ное значение тока
i(t) = iR (t) + iL (t) + iC (t) .
Согласно теореме о сумме
i(t) → I = I R + I L + IC .
Применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме:
iR |
= |
uab |
→ I R |
= |
U ab |
, |
|
|
|||||
|
|
R |
|
R |
110