Лекция №18. Теоретические основы аналоговой и гибридной вычислительной техники

План лекции

1. Сущность моделирования. Системы аналогий. Критерии подобия.

2. Масштабы и масштабные уравнения.

3. Примеры использования масштабных уравнений.

4. Пример моделирования дифференциального уравнения второго порядка.

Основные понятия моделирования. Система аналогий, критерий подобия

Различают два основных вида моделирования: физическое и математическое.

Когда физика явлений, происходящих в объекте и модели, одинакова и модель и объект описываются одинаковыми математическими и логическими выражениями, то мы имеем случай физического моделирования. (Например, поведение самолета в аэродинамической трубе). Физическое моделирование отличается наглядностью и применяется тогда, когда на данном этапе развития науки объект еще не поддается детальному математическому описанию.

Основной недостаток физического моделирования – высокая стоимость.

Если физика явлений, протекающих в объекте и модели разная, но они описываются одинаковыми математическими и логическими выражениями, то мы имеем случай математического моделирования. Основное преимущество математического моделирования, за счет которого оно получило наибольшее распространение, это возможность изучения новых процессов и явлений с помощью хорошо изученных процессов и устройств.

В основе математического моделирования лежит понятие системы аналогий. Различают системы электромеханических, электрогидравлических, электротепловых аналогий. Причем эти системы аналогий могут строиться по прямым аналогиям и непрямым.

При использовании систем прямых аналогий каждому физическому элементу исследуемого процесса (устройства) соответствует аналогичный элемент модели.

Рассмотрим, например, систему прямых электротепловых аналогий. Смысл её можно пояснить на примере распространения электрического тока через проводник и процесса распространения тепла через стержень.

Рис. 135. Процесс распространения тепла

На рисунке q – тепловой поток, входящий в стержень. При этом количество тепла будет:

,

(135)

где Δn – нормаль (одномерное распространение), так какT₁ > T₂.

Для металлического провода процесс протекания тока можно показать так:

Рис. 136. Процесс протекания тока

Ток через стержень:

,

(194)

где , так какU₁ > U₂.

То есть вид математических выражений абсолютно одинаковый.

В системах непрямых аналогий нет однозначного соответствия между элементами объекта и модели. Например, рассмотрим два формальных уравнения:

.

(195)

Полный аналог по записи уравнения уравнение для тока через конденсатор.

.

(196)

Аналогичность математических зависимостей еще не гарантирует сходство моделей и объекта. Чтобы получить это сходство необходимо составлять критерий подобия. И на основе этого критерия определить параметры модели.

Для получения этого критерия в общем виде каждую переменную входящую в уравнение объекта и модели представляют в виде двух сомножителей одного размерного и второго безразмерного.

Для уравнений (302) и (303) составим критерий подобия. Для этого распишем их в виде размерных и безразмерных величин:

,	(197)
	(198)

Аналогично можно записать:

.

(199)

Если в двух этих уравнениях выражения, стоящие в скобках, будут равны, то можно сказать, что уравнение (305) подобно уравнению (306) потому, что они в этом случае выражены в безразмерных величинах.

Поэтому далее, задаваясь предположительными значениями объекта или процесса можно подобрать параметры модели и исследовать объект с помощью полученной модели.

Сложность этого процесса в том, что имеем только одно уравнение при нескольких неизвестных.

Поэтому для получения параметров модели таким способом используют методы планирования многофакторного эксперимента. Планирование экспериментов – целая наука.

Учитывая трудоемкость подобного использования критериев, при построении аналоговых процессов стали использовать понятие масштаба по каждой переменной величине.