8.2. Точность аналитического способа определения площадей

Для треугольника:

.

, (37)

т.е. квадрат относительной погрешности вычисления площади треугольника, прямоугольника, параллелограмма равен сумме квадратов относительных погрешностей измерений основания и высоты фигуры.

Для трапеции:

,

относительная СКП вычисления площади составит

(38)

Если принять, что относительные погрешности измерения основания и высоты фигуры одинаковые и равны

,

то из (45) найдем

. (39)

Пример: Основание и высоту фигуры площадью P=100га, измерили на местности с относительной погрешностью , СКП площади составит.

Для четырехугольника по форме близкого к квадрату, в котором измерены все стороны и два угла, т.е. и, справедливо выражение

(40)

Если для вычисления площади четырехугольника, использовались три известные стороны и два угла (40), то

(41)

Пример: При относительной погрешности измерений и СКП измерений угла, относительная погрешность определения площади составит.

Из приведенных примеров, очевидно, что относительная погрешность вычисления площади аналитическим способом несколько больше относительной погрешности измеренных линий и зависит не только от точности измерений на местности, но и от применяемых формул.

8.3. Вычисление площадей графическим способом

На плане контур, площадь которого хотят определить разбивают на геометрические фигуры, в которых измеряют длины сторон и высоты. Далее по формулам (38-44) находят площадь.

Существует ряд условий при вычислении площадей графическим способом, к которым относятся:

1. для вычисления площадей участков, имеющих большое количество углов, целесообразнее вычислять площадь по графическим координатам точек;

2. при выборе разбиваемой на плане фигуры, предпочтение отдают треугольникам, причем наилучшим вариантом являются равносторонние треугольники ;

3. если высоты или основания представляют собой линии, измеренные на местности (стороны теодолитного хода), то для повышения точности вычисления площадей, длины этих линий не измеряют на плане, а берут из результатов непосредственных измерений;

4. точность вычисления площади неравностороннего треугольника выше, если короткое основание (высота) измерено на местности, а длинная высота (основание) получена с плана

5. для контроля и повышения точности площадь определяют дважды: по двум различным основаниям и двум высотам. Затем сравнивают расхождение полученных площадей и при их допустимости

,

вычисляют среднее значение.

8.4. Точность вычисления площадей графическим способом

Если в треугольнике измерено по плану основание и высота, то погрешность вычисления площади можно найти из выражения

(42)

Погрешности измерения основания и высоты по плану можно считать одинаковыми , тогда с учетом, получим погрешность вычисления площади треугольника

(43)

В случае если получим, но, тогда

(44)

Для трапеции, прямоугольника и параллелограмма обозначим и, тогда погрешность вычисления площади данных фигур составит

(45)

В случае если получим, но, тогда

(46)

Из сравнения формул очевидно, что погрешность вычисления площади треугольника меньше погрешности определения площадей других фигур.

Обозначив , гдеK – коэффициент вытянутости фигуры, то из (46) получим

. (47)

Так как площадь треугольника и, то

откуда.

Подставив выражение в (50) найдем

(48)

Из анализа формул (47) и (51) видно, что погрешность определения площади вытянутого треугольника по плану больше погрешности определения площади треугольника при враз. Это заключение верно и для прямоугольника, трапеции и параллелограмма.

Пример. На плане масштаба 1:500 измерены ,. Площадь треугольника,, или в масштабе плана0,2м., . По формуле (51) найдем

, или .

Если основание измерено на местности рулеткой с относительной погрешностью, по формуле (44) получим

Следовательно, погрешность измерения на плане короткого основания снизило точность вычисления площади треугольника в пять раз.

Если площадь многоугольника разбита на треугольников с соотношением, т.е., то погрешность определения его площади, составит

.

СКП площади каждого треугольника определим по формуле

,

тогда

.

Следовательно, на точность определения площади контура на плане не влияет на сколько треугольников разбит этот контур. Нет необходимости стремиться к тому, чтобы число треугольников было наименьшим, а надо стараться, чтобы выполнялось условие .

Погрешность площади, вычисленной по графическим координатам точек можно рассчитать по формуле

,

в которой СКП измерения координат на плане с помощью измерителя принимают равной .

При измерении площади контура с помощью квадратной или параллельной палетками ее погрешность характеризуется эмпирической формулой