6.4. Точность площадей контуров, изображенных на плане

Погрешность положения точек границы контура вызывает погрешность площади этого контура.

Если известны координаты поворотных точек контура ,, то его площадь можно вычислить по формуле

,(11)

где P – площадь контура с n поворотными точками.

После дифференцирования по переменным ,и перейдя от производных к СКП получим

.

Считая и, получим

. (12)

Зная координаты поворотных точек длину диагонали D (рис.6) вычислим по формуле

Тогда подставив выражения в (14) получим

(13)

Если известны длины сторон и углы между ними, то длину диагонали D вычислим по формуле

и

(14)

Формулы (15), (16) позволяют вычислить СКП площади контура любой формы.

Для прямоугольника с соотношением сторон(рис.7), получим

.

Площадь прямоугольника найдем, как , отсюда выразим

.

Подставив в вышеприведенную формулу, найдем СКП площади участка прямоугольной формы

(15)/

Для участка квадратной формы (K=1) СКП его площади составит

(16)

Из анализа приведенных формул можно сделать вывод, что погрешность в площади фигуры значительно уменьшается с увеличением числа поворотных точек и несколько увеличивается с увеличением ее вытянутости (К).

6.6. Точность превышений и уклонов, определяемых по плану

Обычно точность изображения рельефа на плане характеризует СКП высоты точки , лежащей на горизонтали, т.е. СКП положения горизонтали по высоте. В литературе предложено много формул для определения, которые основываются на формуле Коппе

(17)

где a – величина, характеризующая точность определения точки по высоте; b - величина, характеризующая сдвиг точки в горизонтальной плоскости; - угол наклона местности.

Точность определения точки по высоте зависит:

- погрешности определения высоты станции;

- погрешности определения превышения на пикеты;

- погрешности обобщения рельефа;

- погрешности из-за топографической шероховатости.

Сдвиг точки в горизонтальной плоскости зависит:

- погрешности определения планового положения станции;

- погрешности определения планового положения пикетов;

- погрешности интерполирования горизонталей;

- погрешности вычерчивания горизонталей тушью.

Большое распространение получила формула проф. Н.Г. Видуева

(м) (18)

где - высота сечения рельефа;- уклон местности;M - знаменатель масштаба плана.

При ,,получим

Эти формулы достаточно хорошо описывают и погрешности положения горизонтали на фотоплане.

При копировании горизонталей на проектный план погрешность положения горизонтали увеличивается, т.е. увеличиться параметр b в формуле (25) во столько раз, во сколько погрешность положения контурной точки на копии больше погрешности этой точки на оригинале.

СКП превышения определяют по формуле

где и- СКП определения высот точек 1 и 2.

При , получим

(19)

Эту формулу можно применять, если значения отметок инезависимы между собой, что имеет место, если точки 1 и 2 расположенных на несмежных горизонталях, т.е. на горизонталях, положение которых на плане получено интерполированием по различным пикетам.

Для небольших расстояний отметки будут коррелированны и формула для вычисления СКП превышения, будет иметь вид

(20)

где r – коэффициент корреляции на.

При r =0,5, , т.е. СКП превышения равна СКП положения горизонтали по высоте.

Как известно уклон определяется по формуле

(21)

После дифференцирования и перейдя к СКП, получим выражение

.

Поскольку относительная погрешность определения расстояния по плану в несколько раз меньше относительной погрешностипревышения, можно принять

. (22)

Следовательно, относительная СКП определения уклона линии по плану равна относительной СКП определения превышения концов этой линии.

Подставив (29) в выражение (30) получим

(23)

Погрешность определения уклона линии больше для коротких расстояний.