- •Тема 1. Элементы линейной алгебры. Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 2. Основы математического анализа
- •2.1. Функции. Предел и непрерывность функции. Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •2.2. Производная функции. Приложения производных Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 3. Дифференциальные уравнения Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 4. Ряды Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 5. Исследование операций Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •1. Ресурсная задача.
- •2. Транспортная задача.
- •Тема 6. Теория вероятностей Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 7. Математическая статистика Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Приложения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения
- •Литература
- •Оглавление
2.2. Производная функции. Приложения производных Теоретические вопросы
1. Определение производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
2. Производная суммы, разности, произведения и частного.
3. Производная сложной функции.
4. Производные основных элементарных функций.
5. Логарифмическое дифференцирование.
6. Дифференциал функции.
7. Правила Лопиталя.
8. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум.
9. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
10. Асимптоты графика функции.
11. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
12. Функции двух переменных.
13. Частные производные первого порядка, их геометрический смысл. Градиент.
14. Экстремум функции двух переменных.
Методические указания и примеры выполнения заданий
Пример 1
Найти производные следующих функций:
1. ; 2.; 3.; 4.
Решение:
1. Используем правило дифференцирования произведения и таблицу производных:.
2. Используем правило дифференцирования частногои таблицу производных:.
3. Обозначим , тогда. По правилу дифференцирования сложной функции имеем
.
4. Найдем производную сложной функции .
Пример 2
Применяя предварительное логарифмирование, вычислить производную функции .
Решение:
Прологарифмируем левую и правую часть выражения
Дифференцируя левую и правую часть, получаем
,
.
Ответ: .
Пример 3
Применяя правило Лопиталя, найти предел функции .
Решение:
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида, т.к.и. Производные функцийисуществуют, причем. Наконец, существует предел отношения производных. Поэтому применимо правило Лопиталя:
Ответ: 3.
Пример 4
Методами дифференциального исчисления исследовать функции и построить их графики по следующей схеме:
–область определения функции;
Чётность, нечётность функции;
Периодичность;
Точки пересечения с осями;
Экстремум функции, промежутки возрастания, убывания функции;
Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба;
Асимптоты;
Пределы функции на если нет асимптот;
Построение графика функции.
-множество значений функции.
а) Исследовать функцию и построить ее график
Решение.
1. . Функция непрерывна, особых точек нет.
2. Функция общего типа.
3. Функция непериодична.
4. Точки пересечения с осями:
,
–корень, т. к. .
Следовательно, после деления на множитель x+2 получаем
Итак, имеем три точки пересечения с осью OX: (-2,0), (-0.3,0), (-3.7,0),
. Точка пересечения с осью ординат - (0,2).
5. Точки экстремума, промежутки возрастания и убывания функции.
;
Результаты исследований занесём в таблицу:
x |
(-¥,-3) |
-3 |
(-3,-1) |
-1 |
(-1,¥) |
f¢(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
2 |
|
-2 |
| |
|
|
max |
|
min |
|
6. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба.
Результаты исследования занесем в таблицу:
-
x
(-¥,-2)
-2
(-2,¥)
f¢¢(x)
-
0
+
f(x)
Ç
0
È
т.п.
7. Асимптот нет.
8. Рассмотрим пределы функции на +¥, -¥.
Построение графика функции.
б) Исследовать функцию и построить график
Решение.
1. . Функция не определена в точках.
2. Чётность, нечётность. Функция нечётная, т.к. y(-x)=-y(x)
3. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями:
Точка пересечения с осью OX - (0,0).
.
Точка пересечения с осью OY - (0,0 ).
5. Точки экстремума, промежутки возрастания и убывания функции.
что невозможно, следовательно, функция точек экстремума не имеет. Так как - функция убывает на всей своей области определения.
6. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба.
Результаты исследования занесем в таблицу:
x |
(-¥,-1) |
-1 |
(-1,0) |
0 |
(0,1) |
1 |
(1,¥) |
f¢¢(x) |
- |
не сущ. |
+ |
0 |
- |
не сущ. |
- |
f(x) |
Ç |
не сущ. |
È |
|
Ç |
не сущ. |
È |
|
|
|
|
т.п. |
|
|
|
Особо были исследованы на выпуклость и вогнутость окрестности точек, в которых не существует.
7. Асимптоты.
–вертикальные асимптоты.
–наклонная асимптота, где
y=0 – горизонтальная асимптота, как частный случай наклонной.
Найдем пределы функции слева и справа от вертикальных асимптот.
8. Рассмотрим пределы функции на
Построение графика функции.
.
Пример 5.
Найти частные производные первого и второгопорядков функции .
Решение.
Вычислим частные производные первого порядка, рассматривая в первом случае y как постоянную величину, а во втором – x, и, пользуясь правилами дифференцирования сложной функции:
;
.
Аналогично вычислим частные производные второго порядка:
;
;
.