6.4 Электромагнитная индукция.

Открытие в 1831 г. Фарадеем явления электромагнитной индукции было одним из важнейших в электродинамике. Явление состоит в появлении индукционного тока при любых изменениях магнитного потока Ф = ∫( В dS). Основной закон электромагнитной индукции имеет вид

E_i = ─ dФ/dt (6.35)

Формула (6.35) определяет не только величину, но и направление индукционного тока. По правилу Ленца индукционный ток всегда имеет такое направление, чтобы он ослаблял действие причины, возбуждающей этот ток. Это правило было обобщено в принципе Ле Шателье –Брауна на все физические явления. Максвелл по-другому трактовал явление электромагнитной индукции. В его формулировке всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле

∮(Е dl) = ─ ∫(∂В/∂t dS). (6.36)

Полученное уравнение входит в число знаменитых уравнений Максвелла.

Рассмотрим тонкий замкнутый провод, по которому течет ток I, пусть В – индукция магнитного поля этого тока, а Ф – магнитный поток. Обычно магнитный поток пропорционален току

Ф = L I (6.37)

Коэффициент L называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура. Рассмотрим катушку длиной l, на которую равномерно намотано N витков тонкого провода, называемую соленоидом. Если S – площадь одного витка, то индукция магнитного поля внутри соленоида равна

В = μμ₀ IN/l,

магнитный поток

Ф = μμ₀ IN²S/l.

Тогда индуктивность соленоида

L = μμ₀ N²S/l . (6.38)

Энергия магнитного поля внутри соленоида равна

W = LI²/2 = Ф²/(2L) = В² Sl/(2μμ₀).

Так как Sl = V – объём соленоида, то объёмная плотность энергии магнитного поля равна

W = В²/(2μμ₀) = (В Н)/2 (6.39)

Важнейшим применением явления электромагнитной индукции является получение переменного тока. При вращении замкнутой рамки в магнитном поле в этой рамке возникает переменный ток с частотой, равной частоте вращения рамки. Из практических соображений в генераторе переменного тока в статоре расположены три рамки, сдвинутые друг относительно друга на 120⁰, внутри которых вращается постоянный электромагнит. Сила тока в каждой рамке изменяется по гармоническому закону

I = I₀ cos (ωt) (6/40)

Мгновенная мощность тока на резисторе сопротивлением R равна

Р = I²R = I₀²R cos²(ωt) = I₀²R(1 + cos (ωt))/2 (6/41)

Средняя мощность получается при усреднении (6.41). Среднее значение синуса и косинуса за достаточно большой промежуток времени равно нулю, поэтому среднее значение мощности переменного тока определяется выражением

Р^* = I₀²R/2 (6.42)

В электротехнике используется эффективное значение силы тока I_эфф (и напряжения), которое в √2 раз меньше амплитудного значения I₀, при этом формула для мощности такая же, как и для постоянного тока

Р^* = I_эфф² R. (6.42)

Сопротивление элементов цепи переменного тока Z определяется как отношение амплитудных значений тока и напряжения. Можно показать, что сопротивления основных элементов радиотехнических схем определяются выражениями: Z_R = R; Z_L = ωL; Z_С = 1/(ωС).Общее сопротивление последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности определяется формулой

Z = √(R² + (ωL ─ 1/(ωС))²) (6.43)

Величина Z играет роль сопротивления в законе Ома для переменного тока.

При передаче переменного тока на большие расстояния используется высокое напряжение. Это делается для уменьшение потерь в передающих переменный ток линий электропередач, мощность которых определяются формулой

Р_пот = Р² ρl/(U²S)

где Р – передаваемая мощность, U – напряжение, l и S – длина и площадь сечения проводов. Уменьшение потерь за счёт увеличения S , но это связано с увеличением массы проводов и практически не применимо.

Определим мощшость в цепи переменного тока вобщем случае. Если напряжение сдвинуто по фазе относительно тока на угол E, то мгновенная мощность равна I₀U₀ cos(ωt) cos(ωt─δ) .откуда по известной тригонометрической формуле

Р = I₀U₀/2 ((cos(2ωt ─δ) + cos δ)

При усреднении этого выражения получается

Р* = I₀U₀ cos δ /2 (6/44)