Тема № 11 Квантовая физика

Учение о квантах возникло в процессе установления закономерностей теплового излучения. Идея о квантах была высказана им в 1900 году и состояла в том, что излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а конечными порциями, называемыми квантами света или квантами энергии. Значение энергии кванта по теории Планка прямо пропорциональна частоте света, т.е. его важнейшей волновой характеристике. Коэффициент пропорциональности h был назван постоянной Планка и является одной из фундаментальных физических постоянных. Полученная на основе такого подхода формула для распределения излучения абсолютно чёрного тела хорошо согласуется с законами Кирхгофа, Стефана-Больцмана, Вина. Сначала идеи Планка касались только природы света, но затем постепенно проникли во все разделы физики.

Построению квантовой механики предшествовали работы Луи де Бройля. Он предположил, что корпускулярно-волновой дуализм распространяется на обычное вещество, т.е. с частицей, которая движется со скоростью v частица массой m связана плоская монохроматическая волна

Ψ = Ψ₀ ехр( i(kr ─ ωt)) (11.1)

Длина волны де Бройля определяется выражением λ_Б = h/(m v). По этой формуле можно определить длину волны , например, для электрона, ранее считавшегося частицей. Экспериментальная проверка волновых свойств электронов была проведена в 1627 г. Дэвиссоном и Джермером, в этих опытах была открыта дифракция электронов. Это позволило в дальнейшем создать электронный микроскоп, который имел разрешающую способность, на два порядка превышающую разрешающую способность обычного микроскопа. Дальнейшее увеличение разрешающей способности связано с использованием волновых свойств нейтронов и других тяжёлых элементарных частиц. Какова жэ связь волн де Бройля с частицами вещества? Исследованием этого вопроса занимался Шрёдингер. Первоначально считалось, что существуют только волны, частицы же представляют суперпозицию волн, - так называемый волновой пакет. Однако дальнейшие исследования показали, что волновой пакет не может сохраняться длительное время из-за дисперсии. Нельзя принять и противоположную точку зрения, что первичными являются частицы, однако волновые свойства присущи системам многих частиц, а не отдельным частицам. В опытах Бибермана, Сушкина и Фабриканта было доказано, что волновые свойства электронов сохранялись даже когда средний промежуток времени между прохождениями двух электронов в 30 000 раз превышал время прохождения электроном всего прибора. Подобные трудности вынудили Борна предложить статистическую интерпретацию волн де Бройля, согласно которой интенсивность волны де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте.

Согласно статистической интерпретации интенсивность волны де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте. Эту вероятность можно представить квадратом модуля функции Ψ в том же месте, т.е.

│Ψ│² = Ψ^*Ψ (11.2)

В случае плоской волны де Бройля

│Ψ│² = соnst,

т.е. равновероятно обнаружить частицу в любой точке пространства. Квадрат модуля волновой функции имеет смысм плотности вероятности, поэтому он должен удовлетворять условию нормировки

∫ │Ψ│² dV = 1 (11.3).

Основная задача волновой механики состоит в нахождении волновых функций, а также уравнения, одним из решений которого является плоская волна де Бройля. Основное уравнение квантовой механики, получено Шрёдингером в 1926 году.

m

iħ ∂Ψ/∂t = ─ ħ²/(2m)∇²Ψ + U(r) Ψ , (11.4)

где ħ = h/(2π), ∇² – оператор Лапласа, U(r) – потенциальная энергия. Для стационарных состояний уравнение (11.4) имеет вид

∇²Ψ + 2m/ћ² (E – U) Ψ = 0, (11.5)

где E и U – соответственно полная и потенциальная энергии частицы в стационарном состоянии. В одномерном случае уравнение Шрёдингера принимает вид

d²Ψ/dх² + 2m/ħ²(Е ─ U)Ψ = 0 (11.6)

Для одномерного гармонического осциллятора потенциальная энергия равна

U = mω₀²х²/2 (11.7)

В случае водородоподобного атома уравнение Щрёдингера имеет вид

∇²Ψ + 2m/ħ²(Е + Zе²/(4π ε₀r)) (11.8)