Lecture3
.pdf
Работа сил электростатического поля. Теорема о циркуляции напряженности электростатического поля
Работа сил электростатического поля
q |
|
F = qE |
|
dA = (Fdl ) = q(Edl ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dr |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A = q |
! E dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
|
|
! |
|
|
|
1 |
|
! |
|
|
|
|
2 |
! |
! |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rdr |
|
||||||||||||
r |
|
E = |
|
|
|
|
|
Q |
r |
|
A = |
! |
qE dr = |
! |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4!0 r3 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
r3 |
|||||||||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4!0 1 |
||||||||||||||
|
|
r2 |
|
rdr |
|
# |
1 |
|
1 |
& |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
= |
|
|
% |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
r3 |
4! |
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа сил |
электростатического поля не зависит от формы пути, а |
|||||||||||||||||||||||||
определяется только положением начальной и конечной точек. Этот вывод справедлив для любой системы зарядов.
Теорема о циркуляции напряженности электростатического поля
3 |
2 |
|
A132 = A142 = !A241
1 ! !
" E dl = 0
L
4
Ротор векторной функции.
о циркуляции в дифференциальной форме
y
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D |
|
n |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
!y |
!x |
|
||||||
A |
B |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
! |
|
|
|
|
! |
||
F (x, y , z ) dl = |
||||||||
C D A
Fx dx + ! Fy dy + ! Fx dx + ! Fy dy =
B C D
= F x, y , z ) x + Fy (x x, y , z ) y # Fx (x, y + y , z ) x # Fy (x, y , z ) y =
% |
Fy |
( |
% |
F |
x |
( |
|
= F x, y , z ) x + Fy ( y , z ) + |
|
x y # Fx (x, y , z ) + |
|
y x # Fy (x, y , z ) y = |
|||
x |
y |
||||||
|
|
& |
) |
||||
& |
|
) |
|
|
|||
% |
y |
|
F |
( |
Fy |
|
F |
( |
! |
! ! % Fy |
|
F |
( |
||||
= |
|
# |
|
x |
x y = |
|
# |
|
x |
S |
F dl = |
|
# |
|
x |
dS |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
y |
|
y |
" |
x |
|
y |
||||||||
& |
|
|
|
) |
|
|
|
) |
|
& |
|
|
|
) |
|||
!
n x
!
n y
!
n z
dC =
! ! |
%#F |
z |
|
|
|
|
#Fy |
( |
||||||
Fdl = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS = fxdS |
||||
|
#y |
|
|
|
|
|||||||||
|
& |
|
|
|
|
#z ) |
||||||||
! ! |
%#F |
|
|
|
#F ( |
|||||||||
Fdl |
= |
|
x |
|
|
|
|
z |
|
dS = f ydS |
||||
#z |
|
|
|
|
||||||||||
|
& |
|
|
|
#x ) |
|||||||||
! ! |
%#Fy |
|
#F |
( |
||||||||||
Fdl = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dS = fzdS |
|||
|
#x |
|
|
|
||||||||||
! ! |
& |
|
|
|
|
|
#y ) |
|||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||
Fdl = rotnFdS |
|
|
||||||||||||
L
Под n нужно понимать положительную нормаль к площадке dS, составляющую правовинтовую систему с направлением обхода контура, охватывающего эту площадку (правило правого винта).
! |
# |
! |
# |
" |
# |
! |
! ! ! |
||
|
|
rotF = [ F ] |
|||||||
= |
|
i + |
|
j + |
|
|
k |
||
#x |
#y |
#z |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольную поверхность S, которая опирается на контур L
dC = ! Fl dl = rotn FdS = ! rotn F dS
S
dC = ! Fl dl = ! Fl dl
" " |
" " L |
|
|
! Fdl = ! rotF dS |
|
|
||
|
L |
S |
|
||
F dl = rotFdS |
Теорема Стокса |
||
L |
S |
||
|
|||
|
|
|
|
Определение ротора векторной функции
"! Fdl = rotn FdS
L |
! ! |
|
! |
||
" |
||
rotn F = lim S#0 |
! Fdl |
|
L |
||
S |
Проекцией ротора векторной функции на положительную нормаль к поверхности называется предел к которому стремится отношение циркуляции векторной функции вдоль пограничного контура этой поверхности к площади этой поверхности.
Теорема о циркуляции вектора напряженности 
электростатического поля в дифференциальной форме
Edl = 0
L |
! |
! |
! ! |
Edl |
= rotEdS |
||
L |
! |
|
S |
rotE = 0
Непрерывность тангенциальных компонент электростатического поля
n B |
A |
B0 |
A |
|
0 |
B1 A1
A = ! |
! ! B1 |
B0 |
B2 |
A2 |
A0 |
A1 |
E dl = ! E1! dl + ! E1n dl + ! E2n dl ! E2! dl ! E2n dl ! E1n dl = |
||||||
A1B1B2 A2 |
A1 |
B1 |
B0 |
B2 |
A2 |
A0 |
B1 |
A2 |
|
|
|
|
|
= ! E1! dl ! E2! dl = E1! l E2! l = 0 |
|
|
|
|
||
A1 |
B2 |
|
|
|
|
|
E1! = E2!
Тангенциальная составляющая напряженности электростатического поля непрерывна!
силовых линий электростатического поля
1. Густота силовых линий характеризует величину напряженности электрического поля
n |
% EdS = ES + E#S# = 0 |
|
|
||
|
S n |
S |
2. линий
E = E# SS#
dl |
E |
|
dx, dy, dz |
||
|
Ex, Ey, Ez |
|
|
|
|
|||||
! |
|
|
|
! |
dx |
= |
dy |
= |
dz |
|
|
||||||||
dl |
|
|
|
E |
|||||
|
|
|
Ex |
Ey |
Ez |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||