lecture239
.pdfСобственные колебания в линейной консервативной системе с одной степенью свободы. Метод фазовой плоскости (ФП). Фазовый портрет линейной консервативной системы
Маятник
Pendulum_simple.exe
|
|
|
Пример СК В ЛКС |
|
|
|
||||||||
Момент инерции |
|
Момент сил |
|
|
|
|||||||||
M mg |
|
|
mglsin |
|||||||||||
J ml2 |
|
|||||||||||||
l |
||||||||||||||
Закон Ньютона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
0 |
||||||||
J |
|
t2 M |
|
|||||||||||
|
ml mglsin |
|||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
0 |
g |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 x 0 |
|
|
|
||||||
LCtank_simple.exe
|
|
Пример СК В ЛКС |
|
||||||
U |
L |
L |
dI |
, U |
C |
|
1 |
q, I |
dq |
|
|
dt |
|||||||
|
|
dt |
|
C |
|||||
L |
d2q |
|
1 |
q 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dt2 |
C |
0 |
|
|
|
|||||||
LC |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
f |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
q 0 q 0 |
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 02x 0
Линейность
x 02x 0
y x
|
2 |
y 0 x |
|
|
|
|
x y |
|
|
Решение |
|
|
2 |
x t a e |
t |
|
|
||
x 0 x 0 |
|
||
a 2e t 02ae t 0
2 02 0
1 j 02 j 0
Решение
x t a e t |
1 |
j 0 |
частные решения |
|
2 |
j 0 |
|
Общее решение – сумма частных
x t a ej 0t a |
e j 0t |
|
1 |
2 |
|
x(t) – это расстояние, угол, напряжение, ток и т.п. Физическая величина должна быть действительной
j t * j t
x t ae 0 a e 0
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|||||
|
x t |
|
|
|
*e j 0t |
|||||||||
aej 0t |
a |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
* |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
||||||||||||
a |
|
Aej , a |
|
Ae j |
||||||||||
|
2 |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
cos |
ej e j |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
x t Acos 0t |
||||||||||||
x t Ac cos 0t As sin 0t
косинус - синусная форма
Анализ
x t Acos 0t
Собственные колебания гармонического осциллятора есть гармоническое колебание, частота которого зависит от параметров системы и не зависит от начальных условий (система изохронна) . От начальных условий зависят амплитуда и фаза.
Период колебаний – минимальное время, за которое система возвращается в исходное состояние
T 2
0
|
|
|
dq |
|
Энергия |
|
|
|
|
|
|
|
||
q |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
||||
|
|
|
|
|
Lq |
|
|
|
q |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
dq |
|
|
|
|
1 |
|
dq |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dq |
|
|
|||||||||
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
q |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
Lq |
|
dt |
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 1 dq |
2 |
|
d |
1 |
|
2 |
|
1 1 |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lq |
|
|
|
|
|
q |
|
0 |
|
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 C dt |
dt 2 |
|
|
|
2 C |
||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
LI |
2 |
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
d |
|
EМ EЭ 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Энергия не изменяется - система консервативна.