- •Предисловие к первому изданию
- •Предисловие ко второму изданию
- •Раздел 1. Кинематика материальной точки
- •Минимальные теоретические сведения по кинематике
- •Сопровождающая система координат (естественный трехгранник)
- •Преобразование координат, скоростей и ускорений при переходе к другой системе отсчета
- •Некоторые предварительные указания по решению задач по кинематике
- •Примеры решения задач по кинематике
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 2. Динамика материальной точки
- •Минимальные теоретические сведения по динамике точки
- •Методические указания к решению задач по динамике материальной точки
- •Примеры решения задач по динамике
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Минимальные теоретические сведения
- •Законы изменения и сохранения физических величин и интегралы движения
- •Движение в центральном поле
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 4. Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц
- •Минимальные теоретические сведения
- •Проблема двух тел
- •Теория столкновения и рассеяния частиц
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 5. Уравнения Лагранжа.
- •Минимальные теоретические сведения
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 6. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета
- •Минимальные теоретические сведения
- •Уравнения движения твердого тела
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 7. Условия равновесия системы.
- •Минимальные теоретические сведения
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 8. Малые колебания механических систем
- •Основные положения и формулы
- •Линейные колебания в отсутствии диссипативных и вынуждающих сил
- •Алгоритм решения задач при n ≥ 2
- •Вынужденные и затухающие линейные колебания
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 9. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона.
- •Уравнения Гамильтона. Основные положения и формулы
- •Циклические переменные в гамильтоновом формализме
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Скобки Пуассона. Основные положения
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Раздел 10. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.
- •Канонические преобразования
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Уравнение Гамильтона-Якоби
- •Основные свойства уравнения Гамильтона-Якоби
- •Закон движения в формализме Гамильтона-Якоби
- •Алгоритм решения задач в формализме Гамильтона-Якоби
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Обязательные задачи
- •Задачи средней трудности
- •Задачи повышенной трудности
- •Векторы и математические действия над ними
- •Дифференцирование векторов. Приведение матриц к диагональному виду
- •Интегрирование элементарных функций
- •Основные дифференциальные уравнения и методы их решения
- •Библиография
Малые колебания механических систем |
158 |
|
|
нитного движения, и любое колебательное движение имеет периодический характер. Важными характеристиками такого движения являются собственные частоты ωα, число которых для невырожденного случая совпадает с числом степеней свободы механической системы (α = 1,2,…,n). Вторым набором характерных величин являются нормальные координаты θα ~ cos(ωαt + φ0α) – линейные комбинации исходных смещений xj, участвующие в колебании только с одной частотой ωα.
Сначала рассмотрим более простой вариант движения системы с одной степенью свободы n = 1. В этом случае колебательное движение описывается только одной собственной частотой ω.
Линейные колебания в отсутствии диссипативных и вынуждающих сил
Алгоритм решения задач при n = 1
1. Составление исходной функции Лагранжа механической системы:
L(q,q• ) = T(q,q• ) − U(q) = T (2)(q,q• ) + T (1)(q,q• ) + T (0)(q) − U(q),
где верхний индекс d у слагаемых кинетической энергии показывает степень обобщенной скорости q• , входящей в T (d)(q,q• ) (см. (5.19)–(5.21)):
T (2)(q,q• ) = a(q)q• 2/2, T (1)(q,q• ) =b(q)q• , T (0)(q)=T (0)(q).
2.Нахождение точек равновесия. Для инерциальной системы координат мы должны найти точки минимума потенциальной энергии U(q). Часто требуется провести решение в неинерциальной системе координат (например, вращающейся), в которой точки равновесия определятся минимумом эффективной потенциальной энергии Ueff(q) = U(q) − T (0)(q) (см.
также (7.9)). В общем случае точки равновесия q(0) являются решениями следующего алгебраического уравнения1
∂Ueff (q) |
= dUeff |
= 0 . |
(8.1) |
∂q |
dq |
|
|
Таких точек равновесия может быть несколько: q(01), q(02), …. Конечно, если T(0)(q) ≡ 0, то вычисления проводятся в исходной инерциальной системе координат. Тогда здесь и ниже нужно положить Ueff(q) = U(q).
1Для функции одной переменной (n = 1) частная производная совпадает с обычной производной.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
159 |
|
|
3.Определение точек устойчивого равновесия в неинерциальной сис-
теме координат. Вторая производная от Ueff(q) должна быть положительна, т.е.
c(0m) = |
d 2Ueff |
|
′′ |
(8.2) |
|
||||
dq2 |
|
=Ueff (q(0m) ) > 0 |
||
|
|
q=q(0m) |
|
|
|
|
|
|
Колебания возможны только вблизи точек устойчивого равновесия, поэтому дальнейшее решение проводится по отдельности для каждой из них q(0m). Для простоты индекс точки равновесия m ниже мы опускаем:
q(0m) → q0, а c(0m) → c0.
4.Линеаризация функции Лагранжа. Исходную функцию Лагранжа
L(q,q• ) необходимо разложить в ряд Тейлора по малым скоростям x• = q• и смещениям от точки устойчивого равновесия x = q − q0. При этом огра-
ничиваются квадратичными слагаемыми по этим величинам. Кинетиче-
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
ская энергия с этой точностью1 превращается в Teff |
|
|
|
||||||
• |
(2) |
• |
(1) |
• |
~ |
• |
• 2 |
/2, |
(8.2a) |
Teff(q,q) = T |
|
(q,q) + T |
|
(q,q) ≈ Teff(x,x) = a0x |
~
гдеa0 ≈a(q0) – константа. ПотенциальнаяэнергияUeff(q) превращаетсявUeff
|
|
|
~ |
~ |
+ c0x2/2, |
(8.2б) |
Ueff(q) = U(q) − T(0)(q) ≈ Ueff(x) = Ueff(0) |
||||||
|
|
~ |
|
|
~ |
|
постоянное значение Ueff |
в точке равновесия Ueff(0) не дает вклада в |
|||||
уравнение Лагранжа (5.23), следовательно, |
|
|
||||
~ |
• |
• 2 |
2 |
(a0, c0 – константы). |
|
|
L(x,x) = a0x |
/2 − c0x /2 |
|
~
Таким образом, приближенная функция Лагранжа L является функцией Лагранжа линейного гармонического осциллятора.
5. Решение получающегося линейного дифференциального уравнения
d |
∂L% |
∂L% |
|
|
•• |
|
|
|||
|
|
& |
|
− |
∂x |
|
= 0 , или |
a0x |
+ c0x = 0, |
(8.2в) |
|
||||||||||
dt |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
ищем в стандартном виде2
1Легко убедиться, что линейные по обобщенной скорости члены разложения T (1) вклада в линеаризованное уравнение Лагранжа с указанной точностью не дадут.
2Взята реальная часть стандартной подстановки x = Aeiωt, где комплексная амплитуда A = Aeiφ.
Малые колебания механических систем |
160 |
|
|
x = Acos(ωt + φ). |
(8.2г) |
После подстановки (8.2г) во второе уравнение (8.2в) получаем |
|
−a0ω2 + c0 = 0, |
|
откуда определяется собственная частота колебаний |
|
ω = ω0 = c0/a0. |
(8.2д) |
Константы интегрирования: амплитуда колебаний A и начальный сдвиг фазы φ, могут быть найдены из известных начальных условий.
6.Проверка и анализ решения. Рассматривается физический смысл полученного решения, проверяются самые простые предельные случаи.
Алгоритм решения задач при n ≥ 2
Обобщим приведенный выше алгоритм (n = 1) на многомерный случай, когда число степеней свободы механической системы n ≥ 2.
1.Составление исходной функции Лагранжа механической системы (см.
также (5.20) и (5.21))
L(q,q• ) = T(q,q• ) − U(q) = T (2)(q,q• ) + T (0)(q) − U(q) =
=T |
(2) |
& |
(q))= |
1 |
n |
& & |
(8.3) |
|
(q,q) −(U (q) −T0 |
|
∑akl (q)qk ql −Ueff (q) . |
||||
|
|
|
|
2 l,k |
|
|
Для простоты здесь положили T (1)(q,q• ) = 0. Ueff(q) = U(q) − T (0)(q) – потенциальная энергия механической системы для неинерциальной системы координат. Для инерциальной системы координат Ueff(q) ≡ U(q).
2.Нахождение положения равновесия в неинерциальной системе коор-
динат. Точки равновесия q(0)(q(0)1,q(0)2,…,q(0)n) являются решениями следующей системы алгебраических уравнений
∂Ueff |
= 0, |
∂Ueff |
= 0, ... , |
∂Ueff |
= 0 . |
(8.4) |
∂q |
|
∂q |
|
∂q |
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
В общем случае положений равновесия (q(01), q(02), …) может быть несколько. Дальнейшее решение проводится по отдельности для каждого из найденных положений равновесия q(0m). Для простоты индекс m ниже опускаем.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
161 |
|
|
3.Определение положения устойчивого равновесия. Матрица вторых производных U′eff′ (7.7), вычисленных в точке равновесия,
|
c |
c |
... |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
U′′eff (q(0) ) = |
c21 |
c22 |
... |
c2n |
, где ckl = |
∂2Ueff |
|
|
|
(8.5) |
||
|
... ... |
... |
... |
|
∂qk ∂ql |
|
q=q(0) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
c |
c |
... |
c |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n1 |
n2 |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
должна обладать определенными свойствами. Положение равновесия является устойчивым, если любой минор в (8.5) положителен. Достаточно проверить n таких определителей, например,
|
c11 |
|
> 0, |
c11 |
c12 |
> 0, K, |
|
U′′eff (q(0) ) |
|
> 0 |
(8.6) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
c21 |
c22 |
|
|
|
|
|
|
4.Линеаризация функции Лагранжа. Исходную функцию Лагранжа
L(q,q• ) разлагаем в ряд Тейлора по малым скоростям x• j = q• j и смещениям от положения устойчивого равновесия xj = qj − q(0)j с точностью до квадратичных слагаемых. Пренебрегая константой Ueff(q(0)), имеем
%(2) |
(x) = |
1 n |
(0) |
|
|
% |
1 n |
|
(8.7) |
T |
∑akl |
xk xl , Ueff (x) = |
∑ckl xk xl . |
||||||
|
& |
2 l,k |
|
& & |
|
2 l,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь константа a(0) = a |
(q |
(0) |
) , матричный элемент akl введен в (8.3) (см. |
||||||
|
kl |
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
определен в (8.5). |
|
также (5.21)), а постоянный элемент ckl матрицы Ueff |
5.Решение получающейся системы линейных дифференциальных уравнений
|
d ∂L% |
− ∂L% = 0 |
|
a(0) |
&&x |
+ c x = 0 |
(j = 1,2,…,n) |
(8.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑{ kj |
k |
kj k } |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
||||||
|
dt |
∂x j |
∂x j |
|
k=1 |
|
|
|
|
|||
ищется в стандартном виде |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xj = Ajexp(iωt) , |
|
(8.9а) |
где Aj = Ajeiφj – комплексная амплитуда. Напомним, что физический смысл имеет реальная часть (8.9а), т.е.
Re{Ajexp(iωt)} = Ajcos(ωt + ϕj) , |
(8.9б) |
где φj – сдвиг фазы. Мы будем искать n вещественных амплитуд Aj.
Малые колебания механических систем |
162 |
|
|
6. Собственные частоты. Подставим (8.9) в (8.8). Решение получающейся системы n однородных линейных алгебраических уравнений
n |
|
∑{−akj(0)ω2 + ckj }Ak = 0 (j = 1,2,…,n) |
(8.10) |
k=1
ищется из условия нетривиальности (хотя бы две амплитуды Ak отличны от нуля), т.е. обращения в нуль определителя системы (8.10)
|
−a(0)ω2 |
+ c |
K −a(0)ω2 + c |
|
|
||||
det{−akj(0)ω2 + ckj}= |
11 |
K |
11 |
K |
1n |
K |
1n |
= 0 . |
(8.11) |
|
−a(0)ω2 |
+ c |
K −a(0)ω2 |
+ c |
|
|
|||
|
n1 |
|
n1 |
|
nn |
|
nn |
|
|
Из (8.11) получим уравнение порядка n на ω2, имеющее n корней – квадратов собственных частот рассматриваемой механической системы. Дальнейшее рассмотрение задачи зависит от степени вырождения каждого из корней.
7. Нормальные координаты.
7а. Невырожденный случай: все n полученных решений уравнения (8.11) ω2α – различные (α = 1,2, …,n). Каждый найденный корень ωα2 необхо-
димо подставить в систему (8.10)
n |
|
|
∑{−akj(0)ωα2 + ckj}Ak( |
α) = 0 (j = 1,2,…,n). |
(8.12) |
k=1
Используя любые (n − 1) уравнений (8.12) и еще одно условие нормировки колебаний (после чего матрица A становится унитарной):
n |
|
|
|
n |
|
|
||
∑ |
|
Ak( |
α) |
|
2 |
= ∑(Ak( |
α) )2 =1, |
(8.13) |
|
|
|||||||
k=1 |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
пренебрегая несущественными фазами, можно найти все значения вещественных амплитуд колебаний Αj(α) , относящиеся к данной частоте ωα с
точностью "до числа"1. Перебрав все значения α (и ωα!), найдем ортогональную матрицу амплитуд A = {Αj(α) } (нижний индекс – номер строки,
1Если отказаться от необязательного условия (8.13), то значения амплитуд находятся с точностью до произвольной константы.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
163 |
|
|
верхний – номер столбца). Учитывая (8.9), запишем полное решение для смещения xj
n |
|
|
x j = ∑A(j |
α)cα cos(ωαt + φα ) (j = 1,2,…,n). |
(8.14) |
α=1
Здесь cα и φα – произвольные константы, которые можно определить из начальных условий. Смысл записи (8.14) можно выразить так: каждая обобщенная координата xj участвует одновременно в колебаниях с различными частотами ωα, или, вообще говоря, во всех модах колебаний.
Возникает вопрос: нельзя ли найти такую линейную комбинацию исходных смещений xj, которая участвовала бы в колебании только с одной частотой ωα?
Для нахождения таких комбинаций (или нормальных координат θα) обратим соотношение (8.14). Введем нормальные координаты
θα = cαcos(ωαt + φα) |
|
(α = 1,2,…,n) |
(8.15) |
|||||
и перепишем (8.14) в векторной форме |
|
|
Aθ |
|
|
|||
x = Aθ −1 → A |
−1 |
x= A |
−1 |
|
|
|||
умножим |
|
|
|
|
. |
(8.16) |
||
слева на A |
|
|
|
|
|
|
||
обратим |
−1 |
т |
x |
|
|
|
|
|
→ θ= A |
|
x |
= A |
|
|
|
|
Здесь учтено, что для ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной или A−1 = Aт. Нормальную координату θα можно записать и в матричной форме
n |
|
|
θα = ∑Aα( j) xj |
(α =1,2,K,n) . |
(8.17) |
j=1
Таким образом, матрица амплитуд, найденная с помощью (8.12)–(8.13), полностью определяет нормальные координаты.
7б. Случай вырождения: среди n полученных решений уравнения (8.11) есть r совпадающих ω2α1 = ω2α2 =…= ω2αr . Такие частоты ωαm называют-
ся вырожденными, а число r называется кратностью вырождения.
Для таких частот описанная выше процедура нахождения нормальных частот не может быть проведена однозначно. Возникает проблема выбора решений. Это связано с тем, что при подстановке частот в систе-