Semestr1-hyper1

2.4Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса 14

5.9Исследование функций с помощью производных. Поведение функции на про-

межутке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2Неопределенные интегралы от простейших функций. Примеры вычисления

1

§1 Множества и действительные числа

1.1Элементы теории множеств

Множества мы будем обозначать прописными буквами E, A, B, X, Y, . . ..

Мы будем рассматривать числовые множества, множества функций, множества точек на прямой и на плоскости и т.д.

Элементы множеств мы будем обозначать малыми буквами x, y, z, . . ..

x E означает, что x элемент множества E (x принадлежит E);

x / E означает, что x не принадлежит E (используется, также, запись x E).

Замечание 1.1. Если множество состоит из одного элемента x, то оно обозначается {x}, потому что надо отличать логически множество, состоящее из одного элемента, от самого этого элемента.

Следует различать, также, множество A = {1, 2}, состоящее из двух элементов и множество {A}, единственным элементом которого является само множество A.

1.1 Сравнение множеств.

A = B (множества A и B равны) тогда и только тогда, когда каждый элемент A является также и элементом B и обратно.

A B (A является подмножеством B) если из того, что x A следует, что x B. Отношение включения обладает свойством транзитивности: если

A B и B C, то A C.

Из определений следует, что A = B тогда и только тогда, когда A B и B A.

Символом обозначается пустое множество, которое не содержит в себе никаких элементов. По определению A, каково бы ни было множество A.

1.2 Операции над множествами.

Объединение X Y множество, элементы которого обладают свойством "x X либо x Y ";

Пересечение X ∩Y множество, элементы которого обладают свойством "x X и x Y ";

Разность X \ Y множество, элементы которого принадлежат X, но не принадлежат Y .

Операции объединения и пересечения множеств

Благодаря этим свойствам, мы можем использовать следующие краткие обозначения для объединения и пересечения любого конечного или бесконечного числа множеств:

Операции объединения и пересечения связаны между собой следующими отношениями дистрибутивности:

(X Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) (Y ∩ Z), (X ∩ Y ) Z = (X Z) ∩ (Y Z).

Если рассматриваются множества, которые являются подмножествами некоторого множества E, то любому A E сопоставляется множество CA = E \A из E, называемое дополнением A (до E).

2

В теории множеств и её приложениях весьма важную роль играет так называемый принцип двойственности:

\[

C( Xi) = CXi− дополнение пересечения равно объединению дополнений;

ii

[\

C( Xi) = CXi−дополнение объединений равно пересечению дополнений.

ii

1.3 Эквивалентность множеств. Понятие мощности множеств.

Определение 1.1. Пусть X и F – два множества. Функцией, определенной на X со значениями в F (или отображением из X в F ), называется правило f, которое каждому элементу x X относит единственный элемент F , обозначаемый f(x).

Множество E называется областью определения функции f, а подмножество F , определенное равенством G = f(E) = {f(x) : x E} образом множества E при отображении (или при помощи функции) f.

Определение 1.2. Отображение f : E → F называется биекцией, если f(E) = F и x 6= y(x, y E) f(x) 6= f(y). (Здесь и в дальнейшем стрелка " ", называемая импликацией, означает, что из выражения или формулы слева от нее следует выражение или формула справа.)

Определение 1.3. Множества A и B называются равномощными или эквивалентными, если существует биекция f : A → B. Для эквивалентных множеств используется обозначение A B.

Два конечных множества (множества с конечным числом элементов) эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое количество элементов. Для конечных множеств понятие мощности естественным образом совпадает с понятием числа элементов. Кроме того, для конечных множеств помимо понятия равенства мощности имеются понятия "больше" и "меньше". Далее все эти понятия распространены на бесконечные множества.

Определение 1.4. Множество E называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N. Иными словами, элементы счетного множества можно занумеровать с помощью индекса i N.

В двух следующих леммах доказаны основные свойства счетных множеств.

Лемма 1.1. 1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

2. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

3

Доказательство. 1. Пусть A счетное множество и B его подмножество. Занумеруем

элементы множества A: A = {a1, a2, . . . , an, . . .}. Пусть {an1 , an2 , . . . , ank , . . .} те из них, которые входят в B. Если среди чисел n1, n2, . . . есть максимальное, то множество B конечно.

Иначе B счетно, поскольку его элементы занумерованы числами 1, 2, . . ..

2. Пусть A бесконечное множество. Выберем в нем произвольный элемент a1. Поскольку A бесконечное множество, то в нем найдется элемент a2, отличный от a1, затем a3, отличный от a1 и a2 и т.д. В результате мы построим некоторое счетное подмножество

A1 = {a1, a2, . . .} A.

Лемма 1.2. Объединение любого конечного или счетного числа счетных множеств счетно.

[

Доказательство. Пусть A1, A2, . . . счетные множества и A = Ai. Будем считать, что

i

все эти множества попарно не пересекаются: Ai ∩ Aj = при i 6= j. Если это не так, то

Пусть Ai = {ai1, ai2, ai3, . . .}. Запишем все элементы всех множеств Ai в следующую таблицу:

. . . . . . . . . . . . . . .

Теперь все элементы этой таблицы элементы множества A можно занумеровать с помощью одного натурального индекса, например, собирая в блоки элементы с одинаковой суммой индексов (нумерация "по диагоналям"):

a11, a21, a12, a31, a22, a13, a41, a32, a23, a14, . . .

| {z } | {z } | {z }

Отсюда следует счетность множества A.

Из леммы 1.1 следует, что среди всех бесконечных множеств счетные множества имеют минимальную мощность. Возникает вопрос (в особенности в связи с результатом леммы 1.2), есть ли множества большей мощности, чем счетные. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть A некоторое множество и M = M(A) множество, элементами которого являются всевозможные подмножества A. Тогда M имеет мощность больше, чем мощность A.

Из этой теоремы следует, также, что нет множеств максимальной мощности.

1.2Числовая прямая и действительные числа

Будем называть числовой прямой геометрическую прямую, на которой выберем точку 0 – начало отсчета, масштабный отрезок 0E, длину которого примем за 1, и положительное направление от точки 0 к точке E. Каждому рациональному числу, которое представимо в виде дроби mn : m Z, n N,

где Z множество целых чисел и N – множество натуральных чисел, соответствует определенная точка на числовой прямой. Именно, разделив 0E на

n частей, получим отрезок длины n1 , после чего можно построить отрезок

длины mn , m > 0. Отложив вправо от точки 0 отрезок длины mn , получим точку M числовой прямой, соответствующую положительному рациональному числу mn . Соответственно, отложив влево от точки 0 отрезок длины mn ,

получим точку M1 числовой прямой, соответствующую отрицательному рациональному числу −mn , m > 0. Однако не каждой точке числовой прямой будет соответствовать рациональное число. Например, если длина отрезка 0M,

4

√

отложенного вправо от 0, равна 2, то не существует рационального числа, соответствующего точке M. Таким образом, возникает потребность ввести в

рассмотрение множество чисел, более широкое, чем множество рациональных чисел Q.

Пусть M – любая точка числовой прямой. Убедимся, что ей можно поставить в соответствие вполне определенную десятичную дробь. На первом шаге найдем измеряемую величину (длину 0M) с точностью до целых, затем

– с точностью до десятых и т.д. Если процесс измерения оборвется на n-ом шаге, то точке M соответствует рациональное число, представимое в виде конечной десятичной дроби a0, a1a2 . . . an. Если процесс измерения продолжится бесконечно, то возможны два варианта. Первый – это бесконечная, но периодическая дробь. В этом случае точке M также соответствует рациональное

число (примерами служат числа 13, 16 и подобные числа). Отметим, что если

получится периодическая дробь с цифрой 9 в периоде, т.е. a0, a1a2 . . . an99 . . . , (будем называть это "хвостом"из 9) то отождествим эту дробь с конечной дробью (рациональным числом) a0, a1a2 . . . an + 1. Второй вариант – это бесконечная непериодическая десятичная дробь a0, a1a2 . . . an, . . ., которой не соответствует ни одно рациональное число. Числа, представимые бесконечными непериодическими дробями, называются иррациональными числами.

В результате, каждой точке числовой прямой соответствует вполне определенная десятичная дробь. Множество таких дробей называется множеством действительных чисел, которое включает в себя множество всех целых, рациональных и иррациональных чисел. Итак, мы пришли к следующему определению:

Определение 1.5. Неотрицательным действительным числом называется произвольная десятичная дробь вида a = a0, a1a2 . . . , где a0 – неотрицательное целое число, отделенное от остальных членов запятой; остальные члены ai – цифры, причем в этой последовательности цифр нет "хвоста" , целиком состоящего из девяток. Множество всех неотрицательных действительных чисел обозначим R+. Отрицательным действительным числом называется дробь вида a = −a0, a1a2 . . . , где a0, a1a2 · · · R+ и ai 6= 0 одновременно для всех i ≥ 0. По определению считаем 0 = 0, 00 . . . = −0.

Множество всех действительных чисел будем обозначать R.

Лемма 1.3. Множество всех рациональных чисел Q счетно. Доказательство. Q {mn : m Z, n N}, Z множество целых чисел и

N – множество натуральных чисел. Поскольку N и Z счетны, то счетность Q следует из лемм 1.1 и 1.2.

Лемма 1.4. Множество десятичных дробей A = {0, α1α2α3 . . . , αi−цифры}, т.е. множество точек отрезка [0, 1] числовой прямой, несчетно.

Доказательство. Допустим, что A счетно и расположим его элементы a1, a2, . . .

в виде таблицы

Построим теперь десятичную дробь b = 0, β1β2β3 . . . , βi − цифры, используя так называемую диагональную процедуру Кантора. Именно, выберем цифру β1 не совпадающей с α11, цифру β2 не совпадающей с α22 и т.д., вообще, цифру βn не совпадающей с αnn. По построению дробь b принадлежит A, но не совпадает ни с одной дробью ak из таблицы. Полученное противоречие доказывает несчетность A.

5

Отметим лишь одну неточность в приведенном доказательстве. Две десятичные дроби с бесконечным числом нулей в конце ("хвостом" из нулей), например, 0, 5000 . . . и с "хвостом" из девяток 0, 4999 . . . формально не совпадают, однако означают одно и то же число. Чтобы избежать недоразумений, при построении дроби b не будем использовать цифры 0 и 9. Тогда доказательство полностью корректно.

Множество точек отрезка [0, 1] имеет мощность, называемую мощностью континуума. Множества мощности континуума называются континуальными. Нетрудно проверить, что множество точек любого отрезка [a, b] = {x R : a ≤ x ≤ b}, a < b, эквивалентно множеству точек отрезка [0, 1], поэтому имеет мощность континуума. Более того, множество всех действительных чисел R эквивалентно множеству точек отрезка [0, 1] и имеет мощность континуума. Поскольку множество всех рациональных чисел счетно, то континуальным является множество иррациональных чисел.

Лемма 1.5. Множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность континуума.

2.1 Свойство порядка действительных чисел.

Два действительных числа a = ±a0, a1a2 . . . и b = ±b0, b1b2 . . . равны между собой тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и ak = bk для всех k = 0, 1, . . . .

Если a и b положительны, то считается a < b (или, что все равно, b > a), если a0 < b0 или если найдется индекс l такой, что ak = bk для k = 0, 1, . . . , l и

al+1 < bl+1.

Если a положительно (отрицательно), то считается, что a > 0 (a < 0).

Если a < 0 и b > 0, то a < b. Если a < 0 и b < 0, то a < b в случае |a| > |b|. Здесь |a| = a, если a ≥ 0 и |a| = −a, если a < 0 – модуль числа a.

Лемма 1.6. 1. Для каждой пары действительных чисел a и b имеет место одно и только одно из следующих соотношений: a > b, a < b или a = b (полная упорядоченность множества R).

2.Из a < b и b < c a < c (транзитивность отношения неравенства).

3.Если a < b, то существует действительное число c такое, что a < c < b.

4.Для любого действительного числа a > 0 существует натуральное число n > a (архимедово свойство действительных чисел).

Доказательство. Первые два свойства являются простым следствием определений знаков равенства "=" и неравенства "<".

Докажем третье свойство. Рассмотрим сначала случай 0 ≤ a = a0, a1a2 . . . < b = b0, b1b2 . . .

и an < bn. Положим

Построенное число c удовлетворяет неравенствам a < c < b. Если теперь a < 0, b ≥ 0 или a < 0, b < 0 (a < b), то следует рассмотреть случаи |a| > b или |a| > |b|, для которых существование числа c мы доказали. Искомое число будет равно −c.

При доказательстве свойства Архимеда достаточно для числа a = a0, a1a2 . . . взять n = a0 + 1 N.

Свойство непрерывности множества действительных чисел.

Определение 1.6. Множество E R называется ограниченным сверху (снизу), если существует b R такое, что a ≤ b (a ≥ b) для любого a E, при этом число b называется мажорантой (соответственно, минорантой) множества E. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется

ограниченным.

6

Определение 1.7. Наименьшая мажоранта ограниченного сверху множества E называется точной верхней гранью E и обозначается одним из символов: sup E, sup a (supremum – наивысшее). Наибольшая миноранта огра-

a E

ниченного снизу множества E называется точной нижней гранью E и

обозначается одним из символов: inf E, inf a (infimum – наинизшее).

a E

Число M = sup E можно описать следующими двумя свойствами:

a ≤ M a E (M это мажоранта для E); ε > 0 a E : a > M − ε (M

это наименьшая мажоранта для E). Аналогично, m = inf E< если

a ≥ m a E (m это миноранта для E); ε > 0 a E : a < m + ε (m это наибольшая миноранта для E).

Теорема 1.2. (Свойство непрерывности действительных чисел) Непустое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань.

Доказательство. Ограничимся случаем, когда E R+, и доказательством существования sup E. E ограничено сверху, следовательно, E имеет мажоранту, в качестве которой можно взять натуральное число n0. Пусть c0 – наибольшее из целых чисел, стоящих до запятой у чисел множества E. Тогда c0 ≤ n0. Пусть E0 часть E, состоящая из чисел, у которых до запятой стоит c0:

E0 = {c0, a1a2 . . . } E.

Пусть c1 – наибольшая из цифр, стоящих на первом месте после запятой у чисел множества E0, и E1 состоит из тех чисел в E0, у которых на первом месте после запятой стоит c1:

Пока нельзя утверждать, что записано действительное число, так как в (1.1) может оказаться хвост из девяток. Определим действительное число γ по следующему правилу:

существует n такое, что a / En. Это означает, что найдется k ≤ n такое, что ak 6= ck и a = a0, a1a2 . . . an · · · < c0, c1c2 . . . ck00 · · · ≤ γ.

Докажем теперь, что γ = sup E. Возьмем любое число d < γ (d = d0, d1d2 . . . ). Тогда найдется такое n, что di = ci при всех i < n, но dn < cn. Отсюда следует, что любое число a En будет больше d, так как ai = ci = di при всех i < n и an = cn > dn. Таким образом, d не может быть мажорантой E, и, следовательно, γ – наименьшая мажоранта E, т.е. γ = sup E.

Замечание 1.2. Числа sup E и inf E не обязательно принадлежат множеству E. Если конечное число M = sup E принадлежит E, то оно называется максимальным элементом множества E. Аналогично, если конечное число m = inf E принадлежит E, то это минимальный элемент множества

E.

Ограниченное сверху (снизу) множество E в Z или в N всегда имеет максимальный элемент M = sup E (минимальный элемент m = inf E).

Ограниченное сверху (снизу) множество E Q рациональных чисел может не иметь sup E (inf E) в Q.

7

Для доказательства последнего утверждения достаточно взять какое-либо положительное иррациональное число (бесконечную непериодическую дробь) a = a0, a1a2 . . . an . . . , а в множество E Q включить все рациональные числа, меньшие a, в частности, все числа вида a0, a1a2 . . . an при любом фиксированном n. Тогда в R множество E будет иметь sup E = a, а в Q супремума у E нет.

8

1.3Топология числовой прямой

Числовая прямая и множества числовой прямой

Напомним, что мы отождествили множество всех действительных чисел R с множеством всех точек числовой прямой.

Промежутками в R будем называть следующие числовые множества: интервал (a, b) = {x R : a < x < b}, отрезок [a, b] = {x R : a ≤ x ≤ b}, "полуинтервалы" [a, b) = {x R : a ≤ x < b} и (a, b] = {x R : a < x ≤ b}.

Определение 1.8. Окрестностью точки a R называется любой интервал (c, d), содержащий точку a; обозначение окрестности U(a). ε-окрестностью точки a R называется интервал (a − ε, a + ε), ε > 0; обозначение Uε(a).

ˇ

Проколотой окрестностью точки a R называется множество U(a) =

\{ } ˇ \{ }

U(a) a ; соответственно, Uε(a) = Uε(a) a – проколотая ε-окрестность.

Определение 1.9. Множество называется открытым, если оно вместе с каждой своей точкой содержит целиком и некоторую окрестность этой точки.

Множество F R называется замкнутым, если его дополнение CF = R\F открыто.

Отрезок [a, b] – пример замкнутого множества, интервал (a, b) – пример открытого множества. Промежутки [a, b) и (a, b] не относятся ни к открытым, ни к замкнутым множествам.

Все точки любого множества делятся на два вида: предельные и изолированные.

Определение 1.10. Точка a R называется предельной точкой E, если

Точка a E называется изолированной точкой E, если существует такая

Некоторые свойства множеств

1.Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Доказательство. Пусть множество F замкнуто и a – его предельная точка, не принадлежащая F . Тогда a принадлежит его дополнению F c. Но F c – открытое множество,

Пусть теперь множество F содержит все свои предельные точки. Допустим, что оно не замкнуто, т.е. F c – не открытое множество. Последнее означает, что существует точка a F c, которая не входит в F c вместе со своей окрестностью. Иными словами, любая

ˇ

проколотая окрестность Uε(a) пересекается с F . Но это означает, что a предельная точка F и должна принадлежать F . Получено противоречие, доказывающее, что F – замкнутое множество.

2.Если E – бесконечное множество, то любая окрестность точки, предельной для множества E, содержит бесконечное множество точек из E.

Доказательство. Пусть a – предельная точка бесконечного множества E. Допустим, что найдется ее окрестность, содержащая лишь конечное число элементов x1, x2, . . . , xm из E. Тогда минимальное расстояние между a и всеми xk положительно: ε = min{|a −

| | − | | − |} ˇ

x1 , a x2 , . . . , a xm > 0 и проколотая ε-окрестность Uε(a) имеет пустое пересечение с E, что противоречит определению предельной точки.

9

Пример 1.1. Покажем, что любая точка R является предельной точкой множества рациональных чисел Q. Пусть a R и U(a) = (c, d) – произвольная окрестность точки a. Из свойств порядка действительных чисел следует, что существует действительное число q такое, что c < q < a, причем из доказательства данного свойства следует, что можно взять q Q. Таким образом, точка a является предельной точкой множества Q. Если a / Q, то мы получаем пример, когда предельная точка множества не принадлежит самому множеству.

Здесь предложено подчеркнуть, что предельная точка может не принадлежать множеству

Расширенная числовая прямая

Часто бывает удобно пополнить множество действительных чисел элементами (несобственными числами), обозначаемыми через +∞ и −∞ и называемыми соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность. По определению считается, что

Здесь не нравится x = ±∞

Множество действительных чисел, дополненное элементами +∞ и −∞ называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается через R = R {+∞} {−∞}.

Иногда бывает удобно дополнять множество действительных чисел одним элементом ∞ (бесконечность без знака). В этом случае ∞ уже не связана отношением порядка с действительными числами.

Введем системы окрестностей несобственных чисел ∞, +∞ и −∞.

Определение 1.11. Проколотой окрестностью в R точки +∞ (соответственно −∞) называется любой полубесконечный интервал (M, +∞), где M R (соответственно, интервал (−∞, N), где N R).

Проколотой окрестностью в R {∞} точки ∞ называется всякое множе-

ˇ ∞ −∞ ∞

ство вида U( ) = ( , N) (M, + ).

Упражнения

1.Может ли множество, состоящее только из изолированных точек, иметь предельные точки?

2.Является ли замкнутым множество рациональных точек отрезка [0, 1]?

3.Привести пример множества, являющегося одновременно замкнутым и открытым.

4.Привести пример множества, не являющегося ни замкнутым, ни открытым.

5.Найти точные верхние и нижние грани числовых множеств

Для каких из этих множеств верхняя грань совпадает с максимумом?

10