5.2. Мощность

Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности.

Мощностью называется скалярная физическая величина , равная отношению элементарной работы промежутку времени , в течение которого эта работа совершается.

^.

Учитывая, что элементарная работа .

Мощность

или

.

Если , то часто пользуются средней мощностью за некоторый конечный промежуток времени , в течение которого сила совершила работу

.

Единица мощности – ватт (Вт). 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с). Определим мощность при вращательном движении.

. Мощность при вращательном движении определяется скалярным произведением момента силы на угловую скорость.

5.3. Кинетическая энергия

Рассмотрим случай, когда тело под действием некоторой силы сонаправленной с перемещением ( ) увеличивает свою скорость от до , тогда

.

Так как , то , тогда , по второму закону Ньютона:

.

Полная работа равна

.

Выражение в правой части равенства представляет собой изменение величины . Эта величина имеет особое название - кинетическая энергия.

Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободного движения тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.

где - импульс тела.

Кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела. формула справедлива только для случая движения тела с малыми скоростями ( << c), т.е. кинетическая энергия есть функция состояния ее движения.

Работа силы (или равнодействующей) равна изменению кинетической энергии тела:

^.

5.4. Потенциальная энергия

Кроме кинетической энергии – энергии движения – существует еще один вид механической энергии, обусловленной взаимным расположением тел, действующих друг на друга. Эта энергия носит название потенциальной энергии. Потенция (лат.) – сила, возможность.

Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например поля гравитационных сил, поля упругих сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений.

Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, - консервативными.

Таким образом, силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела называются консервативными.

Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными; примером их явления силы трения. Сила трения возникает только тогда, когда тело движется, а работа по его перемещению расходуется на образование тепла, которое рассеивается в пространстве, т.е. она не накапливается.

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. При определении потенциальной энергии необходимо указать два сопоставляемых положения тела (или частей тела). При этом потенциальную энергию какого–то определенного положения тела считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

Работа, совершаемая консервативными силами по замкнутой траектории, равна нулю. Чтобы доказать это, разобьем произвольный замкнутый путь на две части: путь I, по которому материальная точка переходит из точки 1 в точку 2, и путь II, по которому материальная точка переходит из точки 2 в точку 1, причем точку 1 и точку 2 выберем произвольно (рис. 5.4.1.).

Р абота на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:

.

Легко сообразить, что работы (А₂₁)_I и (А₁₂)_II отличаются только знаком. Действительно изменение направления движения на обратное приводит к замене на , вследствие чего значение изменяет знак на обратный. Т.о., последнее равенство можно записать в виде:

и поскольку работа не зависит от пути, т.е. , мы приходим в выводу, что .

Таким образом .

В этом выражении одна и та же функция интегрируется сначала по пути 1 I 2, а затем 2 II 1, т.е. по замкнутой траектории.

Такое интегрирование обозначается знаком Поэтому последнее выражение можно записать в виде:

.

Этот интеграл называется циркуляцией силы по замкнутому контуру.

Таким образом, работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией. Потенциальная энергия может иметь разную физическую природу и в отличие от кинетической энергии вычисляется по различным формулам.

Докажем, что сила тяжести является потенциальной. Эта сила в любой точке имеет одинаковую величину и одинаковое направление – вниз по вертикали (вблизи поверхности) (рис. 5.4.2).

Разобьем кривую 1-2 или 2-1 на элементарные перемещения настолько малые, что каждое из них можно было считать прямолинейным. Тогда независимо от того по какому из путей (например, I или II см. рис. 5.4.2) движется материальная точка элементарная работа, , совершаемая внешней силой при перемещении , равна

_,

где , - угол между силой и перемещением . . Что и требовалось доказать.

Для подсчета работы на конечном перемещении тела от точки 1 до точки 2 проинтегрируем выражение

Так как работа есть мера изменения энергии, то справа стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли. Энергию обусловленную взаимным расположением тел, называют потенциальной.