2080

Чем ближе к единице дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 7.11 для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фаз, равной π/2.

121

8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ

Рассматриваемые вопросы. Идеальный гармонический осциллятор. Квазиупругая сила. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Маятники. Превращения энергии при колебаниях. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями. Вынужденные колебания. Резонанс.

К динамическим характеристикам гармонического колебания относятся: F – сила; а – ускорение; Ек – кинетическая энергия; Еп – потенциальная энергия.

8.1. Идеальный гармонический осциллятор. Квазиупругая сила. Уравнение идеального осциллятора и его решение

Рассмотрим систему, представляющую собой шарик массой m, подвешенный на нити (данную систему можно рассматривать в качестве идеального гармонического осциллятора). Выведем дифференциальное уравнение данного осциллятора. Сообщим шарику смещение x = A, после чего предоставим систему самой себе. Под действием квазиупругой силы (силы, зависящие от смещения по закону Fx = − kx, независимо от их природы называются квазиупругими) шарик будет двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью

v = ddxt = x.

При этом потенциальная энергия системы будет убывать, но зато появится всевозрастающая кинетическая энергия

Eк = mv2 2 .

122

Достигнув положения равновесия, шарик продолжит движение по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную, т.е. когда смещение шарика станет равным (−А). Затем аналогичный процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, то полная энергия должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от х = А до х = −А неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид

Итак, при отсутствии сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается уравнением (8.3). Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний гармонического осциллятора.

Общим решением уравнения (8.3) является

Следовательно, движение системы (гармонического осциллятора), находящейся под действием силы вида F = −kx (квазиупругой силы), представляет собой гармоническое колебание.

Сила прямо пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия, т.е. F = −kx. Подставив в это выражение значения k и x из (8.2) и (8.4), получим

F = −A ω02 cos (ω0 t + α) = ma.

123

Как видно из этого выражения, период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.

Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Еп max :

При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Ек max:

Выясним, как изменяются со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания. Кинетическая энергия, с учетом выражения (7.6),

Потенциальная энергия

Складывая (8.7) с (8.8) и принимая во внимание, что mω02 = k, получим формулу для полной энергии:

124

8.2.Маятник

Вфизике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием квазиупругой силы колебания вокруг неподвижной точки или оси. Наиболее часто рассматривают математический и физический маятники.

8.2.1.Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешено тело, масса которого сосредоточена в одной точке и которое совершает колебательное движение под действием силы тяжести. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Выведем уравнение движения математического маятника. Отклонение его от положения равновесия будем характеризовать углом ϕ, образованным нитью с вертикалью (рис. 8.1).

Рис. 8.1

125

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mglsinϕ (m – масса, l – длина маятника). Этот момент направлен так, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и его действие аналогично действию квазиупругой силы. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, проекциям момента М и углового смещения ϕ на ось z нужно приписывать противоположные знаки. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид

Запишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначим угловое ускорение через ε = d2ϕdt2 .

Учитывая, что момент инерции маятника I = ml2 (момент инерции для материальной точки), получим

Разделив обе части уравнения на (ml) и введя обозначение

выражение (8.11) можно переписать в виде

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда можно положить

126

Уравнение (8.15) представляет собой дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Его решение имеет вид

Следовательно, при малых колебаниях угловое смещение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (8.12), частота колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника и не зависит от его массы. Формула (7.2) с учетом (8.12) дает выражение для периода колебаний математического маятника:

8.2.2. Физический маятник

Физическим маятником называется любое твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной оси, не совпадающей с его центром инерции (рис. 8.2). По аналогии суравнением для математического маятника запишем уравнение для физического маятника:

127

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О′ на рис. 8.2).

Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

8.3. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями

Основными характеристиками затухающего колебания являются: β – коэффициент затухания; δ – декремент затухания;

λ – логарифмический декремент затухания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. В простей-

шем случае сила сопротивления Fx пропорциональна величине скорости:

x dt

здесь r − постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды; знак минус обусловлен тем, что сила Fx и

скорость v имеют противоположные направления, поэтому их проекции на ось х имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил со-

(r − коэффициент сопротивления среды, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью dxdt и силой сопротивле-

ния; k – коэффициент квазиупругой силы; ω0 – собственная частота колебания системы), перепишем уравнение (8.26) следующим образом:

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы.

При не слишком сильном трении общее решение уравнения (8.27) имеет вид

здесь А0 и α − произвольные постоянные; ω − частота, с которой система совершает затухающие колебания,

130