Применение метода конечных элементов
..pdfОкончательная система уравнений имеет вид
' |
20 |
—20 |
0" |
m i |
|
7Г |
—20 |
|
40 |
—20 |
а |
|
|
to |
00 |
и |
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
Этим уравнениям удовлетворяют следующие узловые температуры: Тх=70, 7’2 = 62,б, 7’3 = 55.
5.2. Повторное рассмотрение примера
(5.17)
значения
Как следует из уравнения (5.15), процедура минимизации приводит к системе линейных уравнений, которые могут быть ре шены относительно узловых значений. Однако на цифровой вы числительной машине не легко реализовать процедуру минимиза ции в том виде, в каком она использовалась здесь для получения уравнений. Существует другой способ получения необходимой си стемы уравнений. Интегральная .величина % разбивается на со ответствующие отдельным элементам слагаемые, которые миними зируются по узловым значениям до того, как будут вычислены интегралы. В результате получается совокупность интегралов, ко торые .могут быть вычислены и просуммированы по элементам.
Представим %в виде суммы
+ |
(5.18) |
где х(1) — сумма интегралов для .первого элемента, |
а х(2)— подоб |
ная сумма для второго элемента: |
|
X(I,= J |
( - T 1 + T2?dV + $ qT.dS, |
|
y(l) |
^(l) |
(5.19) |
|
|
|
J W |
(“ Г* + П )’ dV + J 4 - (7, - |
dS, |
1/(2) |
s<2) |
|
где С(1)= Л (1)/((^/7.(1> и |
C(2)= Л(2)К™ /L(2). Продифференцируем те |
перь каждую компоненту % по воем узловым значениям. Начнем с х<‘>:
- $ г “ f - w - <~т ‘ + |
1“ у -+ [ |
|
|
,/(1) |
с<1> |
дТг |
= j , - £ r < - - Tt + TJ dV’ |
(5.20) |
|
||
~дТГду,*1) |
1,(1) |
|
= 0. |
|
Вычисляя в этих соотношениях интегралы, получаем
дх(1) |
' |
С(1) |
—С«> |
(Г |
|
qAx' |
|
_ . |
_С<1> |
С(1) |
О |
Т2 |
0 |
(5.21) |
|
д{Т) |
~ |
||||||
|
|
О |
0 |
0 |
м |
0 |
|
Дифференцируя вторую компоненту, имеем
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дТх |
и> |
|
|
|
|
|
|
|
|
д*<а> |
(* С<а> |
( - 7 ’г + |
Г3) ( - 1 ) ^ , |
|
|
||||
ЙГ8 |
J |
/,(2) |
|
|
|||||
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
дХ(а) __с С(а> |
( - Г . + |
Г3) d V + J /г (Гз-Гсо) dS, |
|
||||||
~ Щ Г ~ ) |
L<a> |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
с (2 ) |
|
|
«ли после вычисления интегралов |
|
|
|
|
|||||
ах<2) |
'0 |
0 |
|
|
о |
|
[Al |
0 |
|
д{Т) — |
О |
С(2) |
—С<2> |
т |
0 |
(5.22) |
|||
|
О —С(а) |
[С(2) + АЛ3] |
—ЛЛ3ТоО |
|
|||||
Для минимизации %по узловым значениям необходимо1, чтобы |
|||||||||
выполнялось равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
дх |
|
_ дх(1> |
■ Дх(2) — Q |
|
/5 93ч |
||
|
|
д {Г} — д {Т) |
+ |
а (Г) — и- |
|
|
Поэтому если сложить выражения (5.21) и (5.22) и результат приравнять нулю, то получим желаемую систему уравнений
' с(1) |
—С(1> |
0 |
Г 1! |
{ |
0 |
) |
f°l |
—С(1> [Сш + С(2)] |
—С2 |
Ы + |
|
|
- ° . (5.24) |
||
0 |
—С(2) |
[C(2>+hA sl |
W |
1-hA3Tm ) |
1° |
||
Эта система |
идентична |
системе уравнений |
(5.15). |
|
|
В изложенном подходе к процессу минимизации важно именно то, что система уравнений может быть получена для отдельных элементов. Суммирование по элементам в соответствии с форму лой (5.23) представляет собой очень удобную для машинной реализации процедуру.
5.3. Уравнения метода конечных элементов: задачи теории поля
Одномерная задача распространения тепла, рассмотренная в предыдущих разделах, является одной из нескольких важных фи зических задач* которые могут быть описаны аналогичными диф
угол закручивания сечения стержня. Напряжения сдвига, вызван ные внешним крутящим усилием, получаются дифференцирова нием ф ПО X и у.
Другой важной двумерной задачей является задача о безвих
ревом |
течении |
жидкости, |
В этом |
примере Kxx=K yy= l, |
Q = 0 и |
|
уравнение (5.25) |
сводится к уравнению |
|
||||
|
|
д2ф . |
д2ф |
_ п |
(5.30) |
|
|
|
дх2 'т |
ду2 |
— |
||
|
|
|
||||
с граничными условиями |
ф = фв |
и |
(ду/дх)1х+ (дц/ду)1у= 0 [6]. |
|||
Если |
полевая |
функция |
ф задана |
на непроницаемых |
границах |
|
области (на границах, по нормали |
к которым не происходит те |
|||||
чения жидкости), то урааиение |
(5.30) определяет линии тока при |
безвихревом течении жидкости. С другой стороны, если полевая функция определена на тех частях границы, по нормали к кото рым течет жидкость, то уравнение (5.30) описывает эквипотенци альные линии, которые ортогональны линиям тока.
Дифференциальное уравнение |
для ограниченного потока грун |
|
товых вод i[2] также содержится |
в (5.25). В этом случае |
|
Kxx- ^ r + K yyl$ - + Q = 0. |
(5.31) |
|
а граничные условия имеют вид ф = фв и (или) |
Кхх(ду/дх)1х+ |
+ K yy(dq>/dy)ly-\-q = Q. Коэффициенты Кхх и Куу определяют про
ницаемость почвы, Q — источник (или |
сток) воды, |
а полевая |
функция ф — пьезометрический напор. |
Величина q |
соответствует |
просачиванию воды через водоносный слой вдоль части его гра ницы.
Другие важные физические задачи, которые описываются урав нением (5.25), связаны с рассмотрением электростатического и магнитостатического полей, а также жидких смазочных пленок. Последняя задача подробно изучена в работе [3].
С вариационной точки зрения решение уравнения (5.25) с гра ничными условиями (5.26) и (5.27) эквивалентно отысканию ми нимума функционала
z |
Ш - ЭДр]Л'+ |
|
|
+J[W+4-A(9—фоо)2 dS. |
(5.32) |
|
5 |
|
Минимизация функционала (5.32) должна быть осуществлена на множестве узловых значений {Ф}. Для этой цели воспользу емся процедурой, рассмотренной в предыдущем разделе, а именно будем минимизировать функционал (5.32) перед вычислением ин*
тегралов. Этот .подход позволяет выбрать характеристики элемен тов, 'наиболее приемлемые для каждой конкретной задачи.
Начнем процесс .минимизации с преобразования функционала (5.32). Этот шаг несколько упрощает последующие операции. Введем две матрицы:
Гд.17Гдф |
ду |
дд> ] |
(5.33) |
дх |
ду |
дг J |
К х |
0 |
0 |
|
0 |
К у |
0 |
(5.34) |
0 |
0 |
Кг |
|
Соотношение (5.32) .может быть теперь записано в виде
X= fT [{g }r [D] \g)-2<fQ]dV + ^ фqdS +
V |
S i |
|
+ |
|4 - [ Ф 2- 2ффоо.+ ф»J dS. |
(5.35) |
|
sa |
|
Вспоминая, что функции от <р .не являются непрерывными во всей области, вместо них введем в рассмотрение функции <p^, опреде ленные на отдельных элементах. Интегралы .в (5.35) должны быть разбиты на интегралы по отдельным элементам, что дает
Е |
|
|
|
|
|
J4 {^в)}Г |
dV~ j <P{e)Qie)dV + |
|
|||
«=1 v(e) |
|
|
v(«) |
|
|
+ |
J <?(eV e) dS + j ^ ~ |
_ 2ф<в>фсо + (fU dS, |
(5.36) |
||
s<‘> |
s(e) |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
где E — общее |
число |
элементов. Последнее |
соотношение |
может |
|
быть символически записано как |
|
|
|
||
|
х=х(1,+х(2Ч-------- Ьх(£)= 2 |
x(e>’ |
(5.37) |
||
|
|
|
«>=1 |
|
|
где у(е) — вклад отдельного элемента в %. Минимизация %требует выполнения соотношения
Н |
а |
S x (e)= S |
дх(е) |
= 0 . |
(5.38) |
|
д (Ф) ~ |
д (Ф) |
д{Ф} |
||||
|
|
#*=1 |
. £в>1 |
|
|
|
Частные производные д%№/д{Ф} в (5.38) не могут быть опре делены, пока интегралы в (5.36) не будут выражены через узло вые значения {Ф>. Учитывая соотношение (4.1):
фЫ^ДД*)] (ф),
мож«о вычислить величину (5.33), которая вместе с (4.1) может быть подставлена в (5.36). Запишем выражение для {£(е)}:
|
Зф(е) |
dN[e) |
д№е> |
d N f |
|
|
dx |
2 |
dx |
|
|
|
дх |
дх |
(ф х) |
||
|
|
1 |
2 |
dNf |
|
|
|
ф 2 |
|||
№ ') = |
|
d N f |
dN(e) |
|
(5.39) |
ду |
ду |
ду |
ду |
||
|
дфИ |
d N1 f |
d N2f |
dNf |
ф„ |
|
|
||||
|
дг |
дг |
дг |
дг |
|
или |
|
{£<‘>}=[Я«]{Ф }, |
|
(5.40) |
|
|
|
|
где [В] содержит информацию, связанную с производными от функций формы. Эти величины пока не известны, потому что функции формы еще не определены. Использование формул (4.1) и (5.40) позволяет записать интегралы по элементам в (5.36) в виде
x(e)= j х |
{ф1т fB<e)r fD(e)l |
1ф)dV—J |
(ф) dV+ |
|
|
y(e) |
|
|
|
|
|
+ j q [#<•>] (Ф) dS + J A |
{ф }T W U)]T [Ww ] {®}dS — |
|
|||
|
|
s (e) |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
- |Л ф с о [ ^ )]{ Ф )^ + | 4 |
<Р“ ^ |
<5-41> |
|
|
|
5(«) |
5(^) |
|
|
Величины |
Q, |
2 |
2 |
|
внесены |
q, фоо и h — известные коэффициенты. Они |
под знак интеграла, потому что могут изменяться внутри эле мента. Дифференцирование величины (5.41) по {Ф} представляет собой совершенно простую операцию, если пользоваться правила ми дифференцирования, приведенными в приложении Б. Рассмо трим формулу (5.41):
Т & г J X 1ф )г |
fD(e,l |
{ф } dV= |
|
v(e) |
|
|
|
|
|
= j* [В(г,]г [D{e)\ |
(Ф) dV, |
у(е)
Окончательная система уравнений получается после подстановки выражения (5.44) в (5.38):
т + \ п = о ,
е=1
ИЛИ
[*] m = { F ) .
где
If *
и
m = - i ] { / wJ.
е= \
(5.47)
(5.48)
(5.49)
(5.50)
Интегралы в (5.45) определяют матрицу теплопроводности элемента а .интегралы -в (5.46) — вектор нагрузки элемента {/(е)}. Эти интегралы представляют собой основные результаты этого раздела. Вычисление этих интегралов обсуждается в гла вах, где рассматриваются специальные области применения. Со ставление глобальной матрицы из матриц элементов иллюстриру ется и описывается детально в следующей главе.
5.4. Уравнения метода конечных элементов: теория упругости
Решение задач теории упругости -может быть проведено одним из двух методов. С помощью первого метода решают дифферен циальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации интегральной величины, свя занной с работой напряжений и внешней приложенной нагрузки. Для решения задач теории упругости методом конечных элемен тов используется последний подход. Если задача решается в пере мещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизи ровать потенциальную энергию системы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно ми нимизировать дополнительную работу системы. Общепринятая формулировка метода конечных элементов предполагает отыска ние поля перемещений и тем самым связана с минимизацией по тенциальной энергии системы при отыскании узловых значений •вектора перемещений. После того как перемещения будут опре делены, можно вычислить компоненты тензоров деформаций и на пряжений.
Поскольку далее мы будем пользоваться формулировкой ме тода конечных элементов, связанной с минимизацией потенциаль ной энергии, приведем здесь теорему о потенциальной энер гии [1].
Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим гра ничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потен циальной энергии сообщают те перемещения, которые удовлетво ряют уравнениям равновесия.
Важное требование этой теоремы состоит в том, что искомые пе ремещения должны удовлетворять заданным значениям на гра нице.
Полная потенциальная энергия упругой .системы может быть разделена на две части, одна из которых соответствует энергии деформаций в теле, а другая определяется потенциальной энер гией массовых сил и приложенных поверхностных сил. В соответ ствии с этим запишем полную потенциальную энергию в виде
П = Л + №Р, |
(5.51) |
где Л — энергия деформаций, a Wp — потенциальная энергия при ложенных сил. Работа внешних сил противоположна по знаку их потенциалыной энергии:
W = - W p. |
|
(5.52) |
Из формул (5.51) и (5.52) получаем |
|
|
I l = A —W. |
|
(5.53) |
После разбиения области на элементы равенство |
(5.53) записыва |
|
ется в виде суммы |
|
|
Е |
Е |
|
п = ^ (Л(г) —WM) = |
2 п<г)- |
(5.54) |
е=1 |
е=1 |
|
Прежде чем обсуждать минимизацию П в общем случае, рас смотрим один простой пример.
5.4.1. Осевое нагружение элемента конструкции
Применение теоремы о минимуме потенциальной энергии бу дет проиллюстрировано на примере осевого нагружения элемен та конструкции, показанного на фиг. 5.2. Осевое перемещение из
меняется линейно от нуля |
на закрепленном конце до ;величины |
A= PL[AE на нагруженном |
конце. В этой формуле Р — нагрузка, |
L_— длина, А — площадь поперечного сечения детали конструкции, Е — модуль упругости материала.
С помощью метода конечных элементов определим перемеще ние на нагруженном конце стержня. Решение задачи при этом начинается с выбора модели для перемещения. Эта модель зави-
Фиг. 5.2. Осевое нагружение детали конструкции.
сит от типа выбранного элемента. Мы будем использовать один линейный одномерный элемент, поэтому
и<1)=Щ')иг + Щ1>и2
Так как U\ должно равняться нулю на закрепленном конце, вы шеприведенное уравнение сводится к следующему:
UZ= N,U2~ |
U2. |
(5.55) |
Потенциальная анергия определяется формулой
dV—PU2. (5.56)
Интегральное слагаемое представляет анергию деформаций, тогда как член вида PU2 выражает работу приложенной силы. Компо
нента тензора напряжений ахх связана с компонентой тензора деформаций ехх законом Гука охх=Е<гхх, поэтому выражение (5.56) может быть записано в виде
|
L |
|
П = А |
Еъ\хйх —PU2 |
(5.57) |