Применение метода конечных элементов
..pdf6.2. Построение матриц элементов
Чтобы показать, как определяются матрицы элементов и ка ким образом с их помощью формируется система линейных урав нений, рассмотрим стержень с поперечным сечением в форме квад рата (фиг. 6.3,а). В связи с наличием четырех осей симметрии можно рассматривать только Vs квадрата. Разобьем эту часть се чения на четыре элемента, как показано на фиг. 6.3,6. Четырех
Оси симметрии.
G= 0.8 * Ю7 Н /см 2 в = Г на 100см
Фиг. 6.3. Разбиение области на элементы в задаче о кручении стержня квадрат ного сечения.
элементов мало для получения приемлемой точности решения, но вполне достаточно для иллюстрации техники получения необходи мой системы уравнений, что является нашей целью.
Согласно методам, изложенным в гл. 4, представим интерполя ционные полиномы для элементов в виде
Ф(1) = N p Фх + Щ» Ф2+ 0Ф3+ Щ» Ф4+ 0Ф6+ 0Фв,
Ф(2)= 0 Ф Х+ Щ *Ф 2+ Щ » Ф 3+ 0Ф4+ NM ф6+ 0Фв,
(6.9>
ф(з)= 0 ф 1 + N p ф 2 + 0ф 3+ Л/(3)ф4 + ^(3) ф 5 + 0Фв,
Ф(4)= 0фг+ 0Ф24- 0Ф3+ N£4)Ф4+ Щ*>Фб+ W* Фв.
Общая формула для матрицы жесткости элемента записывает ся как
[ # • > 1 = J [5 (f)F [ B ^ ] d V .
Здесь учтено, что [D] = [/] в рассматриваемом случае. Для опре деления [В(1)] необходимо дифференцировать {ф(1)] по х н у . Рас смотрим подробно первый элемент:
(?ф(1) |
1' dN[l) |
dN[[) |
О |
dNp |
О |
о |
|
|
|
|
|
|
~ д ) Г |
[ дх |
2 |
дх |
|
|
|
|
|
|
|||
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= - ^ |
№ |
^ |
О W |
о |
0], |
|
|||
дфМ |
' dN |
dN<" |
о |
4 |
. О |
О |
|
|
|
|
|
|
ду ~ |
ду |
ду |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= 1^ г № |
|
4‘> о |
с<>) |
о 0]. |
||||
Матрица градиентов |
[Б<’>] имеет вид |
|
О О |
|
||||||||
|
|
|
|
■еди |
|
о |
ьр |
|
||||
|
|
[Вш ] = - 2AM |_с(1) |
d » |
О |
С<» |
О |
О |
|
||||
Площадь этого элемента |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Л11)==( ' 4 ' ) ( т ) ( _г ) = "32_ |
|
и |
^(ТГ |
: 16. |
|||||||
|
|
|
||||||||||
Коэффициенты &и с равны |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
М ')=К 2— К4 = |
-0 ,2 5 , |
ci*)=X 4 — Хя= |
0, |
||||||||
|
Ьр = Y i — ^ = 0 ,2 5 , |
|
ф |
= X 1—Xi = —Q 25, |
||||||||
|
|
|
К2 = |
0, |
|
|
cjl) = Х 2— Х1= 0,25 . |
|||||
Подставляя эти значения в формулу |
(6.11), получаем |
|||||||||||
|
|
[S(1)J = |
—4 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
—4 |
|
0 |
4 |
0 |
0 ' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(6.10 а)
(6.106)
(6. 11)
(6.12)
Произведение |
[В(1)]г[5(,>] равно |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
-—4 |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
—4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[В(1)]т |
= |
0 |
0 |
4 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0' |
|
|
0 |
4 |
0 |
—4 |
0 |
4 |
0 |
0 |
’ |
|||
|
|
||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
или |
- 16 •- 1 6 0 |
|
|
|
|
|||
|
0 |
.0 0- |
|
|||||
|
— 16 |
32 |
0 |
■- 1 6 |
0 |
0 |
|
|
{5(1)]Г [5(D] = |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(6.13) |
|
0 |
-- 1 6 |
0 |
16 |
0 |
0 |
|||
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Матрица жесткости элемента представляет собой интеграл от (6.13). Так как произведение матриц [5(1)]т [5(1>] является посто янной величиной, оно может быть вынесено из-под интеграла, что дает
[#1>]=[5<1>]г [5(D] j dV = \B (1)\T [Ви >]Л<».
„(О
Толщина элемента предполагается при этом единичной. Восполь зовавшись формулой (6.13) и тем, что Л(1>=1/32, получаем
■ |
1 |
— |
1 |
0 |
0 |
0 |
0- |
|
— |
1 |
|
2 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(6.14) |
|
0 |
— |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Объемный интеграл
-ДГ(1)-
N p
0
2(?(1,0 N ? dV
„и> 0
0
вычисляется просто, если воспользоваться системой L-координат, рассмотренной в гл. 3:
L x= N p, L2= N p , L3=W'K |
(6.15) |
Объемный интеграл запишется как
2G(1,0 |
dV. |
(6.16) |
Предполагая толщину элемента единичной и применяя интеграль ную формулу (3.43), находим
(II |
|
(/Ш): 2G(1>&4(1> |
(6.17) |
Подстановка значений G0>, 0 и AW дает!) |
|
29,07) |
|
29,07 |
|
(/Ц)1={29,07}- |
(6Л8> |
0 |
|
0 |
|
Таким образом, система уравнений для первого элемента имеет вид
[^(1)]{Ф }= (/(1)}
или
- 1 |
—1 |
0 |
0 |
0 |
0" |
1фх1 129,07 |
|
|
— 1 |
2 |
0 |
—1 0 |
0 |
ф2 |
29,07 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Фз |
0 |
(6.19а) |
0 |
— 1 0 |
1 0 |
|
0 |
ф4 |
29,07 |
||
|
|
|||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
ф5 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
к |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве единиц размерности выбраны Н/см2 для G, см2 для Л(1) и рад/см для 0. 0 = л /180Х 1/100 при закручивании стержня на 1° на длине 100 см.
Аналогично можно получить систему уравнений для другого элемента. Окончательные выражения для матриц ных элементов приводятся ниже:
[*(2)1 { ф } = { П ,
"0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0- |
\ФА |
|
0 |
0 |
1 |
—1 |
0 |
0 |
0 |
Фз |
|
29,07 |
|
]_ 0 |
- 1 |
2 |
|
0 |
—1 |
0 |
Фз |
|
29,07 |
2 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
ф 4 |
’— |
' 0 |
|
0 |
0 |
— 1 |
0 |
1 |
0 |
ф5 |
|
29,07 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1ф в] |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любого
осталь
(6.196)
0 |
|
[б(з,1т |
= |
т |
|
о о |
о |
О О |
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
о |
о о |
а |
о |
о |
|
Q —1 |
0 |
2 |
— 1 0 |
||
0 |
0 |
0 |
— 1 |
1 0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
[Фх1 |
0 |
1 |
Фз |
29,07 |
|
Фз |
0 |
(6.19в) |
ф4 |
' —' 29,07 |
|
ф 5 |
29,07 |
|
ф . |
1 ° |
1 |
|
[#*>] {ф} = {/<*)],
-0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0" |
[фх| |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Фз |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Фз |
0 |
(6.19г) |
0 |
0 |
0 |
1 |
— 1 |
0 |
ф4 |
'—' 29,07 |
|
0 |
0 |
0 |
— 1 |
2 |
— 1 |
Фь |
29,07 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
— 1 |
1 |
Фв |
29,07j |
|
Окончательная полная система уравнений получается алгебраяческпм суммированием уравнений для отдельных элементов. Она имеет вид
1 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
о- |
ФЛ |
|
129,071 |
|
||
1 |
4 |
— 1 |
— 2 |
0 |
0 |
Ф* |
|
|
87,22 |
|
|
0 |
— 1 |
2 |
0 |
— 1 |
0 |
Ф* |
•= |
' |
29,07 |
(6.20) |
|
0 |
— 2 |
0 |
4 |
— 2 |
0 |
Ф4 |
87,22 |
||||
|
|
|
|||||||||
0 |
0 |
— 1 |
— 2 |
4 |
— 1 |
Фз |
|
|
87,22 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
— 1 |
1 |
К , |
|
|
29,07 |
|
Величины Ф$, Ф5 и Фв равны нулю, так как соответствующие
им узлы расположены на внешней границе. Преобразуя систему
уравнений (6.20) и решая ее, получаем |
|
|
Ф1=218,16, |
Ф3= 0 , |
|
Ф2= 1 6 0 , |
Ф5= 0 , |
(6.21) |
Ф4 = 123,63, |
Фв= 0 . |
|
Преобразование системы уравнений (6.20) обсуждается в следую щей главе, где рассматривается реализация метода конечных эле ментов с помощью вычислительной машины. Поверхность <р, соот ветствующая полученному множеству узловых значений, представ лена на фиг. 6.4.
Определение узловых значений — главный шаг в решении за дачи. Однако в большинстве случаев бывает необходимо вычис лять еще целый набор величин для каждого элемента. Такие ве-
Фиг. 6.4. Узловые значения функции напряжений в за даче о кручении стержня, вычисленные для четырех элементной модели.
личины ниже будут называться результантами элемента. В рас смотренной задаче, например, интересно знать такие результанты, как значения сдвиговых напряжений в каждом элементе и крутя щего момента Т который вызывает закручивание стержня на угол 6. Методика вычисления результантов элемента обсуждается в сле дующем разделе.
7-763
6.3.Стандартные результанты элемента
Взадаче о кручении стержня важными величинами являются производные функции ф, поскольку они просто связаны с напря жениями сдвига:
|
дф |
|
|
дф |
^ |
ду |
И |
2У ~ |
дх • |
Значения -сдвиговых напряжений легко вычислить, так как матри ца градиентов для каждого элемента уже определена. Матрица градиентов для первого элемента представлена в формуле (6.11):
|
дф |
|
дх |
18 (1)} = |
=[В(1)1 {Ф}, |
|
дф |
ду
6'»
[ § { 1 ) \
2Л(1>
—4 4 О О
{g(1,l =
О —4 О 4
Поэтому
т“ = ~Щ~=
|
|
|
|
Фх’ |
Ь? |
о |
О |
о" |
ф 2 |
Фз |
||||
с<‘> |
0 |
сП> 0 |
0J |
ф 4 |
|
|
|
|
ф 5 |
|
получаем |
|
\1ф ®J |
|
|
|
|
||
|
<218,161 |
|
|
|
°1 |
160,0 |
|
|
|
О |
—232,6 |
|||
О |
|
123,63 |
— 145,4 |
|
|
|
О |
|
|
|
|
О |
|
|
— 145,4 Н/см2,
4 ’ = - - g - = 232,6 Н/см2.
Компоненты тензора напряжений для других элементов вычисля ются аналогично:
элемент 2: т2Х= 0 Н/см2, т2„= 639,4 Н/см2, элемент 3: т2х= — 145,4 Н/см2, т2И=494,0 Н/см2, элемент 4: т2Х= 0 Н/см2, т2„ = 494,0 Н/см2.
Эти значения схематически показаны на фиг. 6.5.
Сдвиговые напряжения получаются постоянными в каждом из элементов потому, что интерполяционные полиномы для элементов
взяты линейными по х и у. Невозможность получения переменных по площади элемента производных является недостатком исполь зования симплекс-элементов.
Компоненты положительных сдвиговых напряжений
Фиг. 6.5. Сдвиговые напряжения в задаче о кручении стержня, вычисленные для четырехэлементной модели. Все значения выражены в ньютонах на квадратный сан тиметр.
Уточнить значения напряжений внутри стержня, полученные в данном примере, можно тремя способами. Во-первых, можно уве личить число элементов, используемых при разбиении области по перечного сечения. Так как при этом размеры элементов уменьша ются, вычисленные значения, напряжений оказываются более близ кими к действительным. Во-вторых, можно использовать треуголь ный элемент с большим числом узлов, а в интерполяционные полиномы включить квадратные и кубичные члены. Тогда в резуль тате дифференцирования будут получаться градиенты, являющие ся функциями координат. Третий подход заключается в примене нии теории сопряженной аппроксимации. Эта теория позволяет определять напряжения в узловых точках, а также напряжения внутри элемента как функции координат х, у. Применение этой теории обсуждается в следующем разделе.
Другим заслуживающим внимания результантом является кру тящий момент Т, который представлен формулой (6.4):
Т = 2 j* cpdA,
i
где 2 — площадь поперечного сечения стержня.
7*
Этот интеграл эквивалентен следующему:
|
Е |
|
|
|
|
|
T = Y i |
J 2ф(e)dA, |
|
(6.22) |
|
|
е= \ |
2 |
|
|
|
где ср(е) определяется |
формулой |
(6.9). Начнем рассмотрение с пер |
|||
вого элемента: |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Фх1 |
|
|
|
|
|
ф 2 |
|
|
2 |ф (1><М=2|[ЛГ<'> |
щп О |
Фз |
dA, |
(6.23) |
|
JVJ» О 0]0] ф |
|||||
|
|
|
Ф4 |
|
|
Л(1> |
Л(1> |
|
фФ5 |
|
|
или |
|
|
Фв |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Jф<1><М=2 [Ф]г j |
[ДГ(1>]Г dA. |
|
(6.24) |
||
л(1) |
.(1) |
|
|
|
Последнее выражение идентично интегралу в (6.16). Можно сра зу сделать вывод, что
2 Гф(1><М =-^р-[Ф ] |
2Л(1> |
--- 3 (Фх + Фг + Ф^- (6.25) |
|
Д<1) |
|
Подстановка узловых значений дает
2а<1>
2 у ф(1^ Л = - ^ — (218,16+ 160+ 123,63)= -^ |— (501,79)
л'"
Аналогично находим для остальных элементов
2 j V * > d A = i^ - (ф 2 + ф з+ ф б ) = ^ _ л(2)
2 Г ф (3 )^ Л = ^ -(Ф 2 + Ф5 + Ф 4):
(16 0),
(283,63),
Л (3) |
|
|
2 j ф(4)<М = |
(Ф4 + Ф5 + ф.) = |
3 (123,63). |
( 4 )
Суммируя эти соотношения и замечая, что площади элементов одинаковы, получаем
Е
тf 2tpb)dA = 2 f (501,79+160 + 283,63+123,63),
Т = -^ -(1069,05)
1069
3(16) •
Поскольку на элементы разбивалась только Ve области попереч ного сечения, полный крутящий момент М равен
М = 8 Г = 8 ^ в = 178,16 Н-см.
Это означает, что крутящий момент величиной 178 Н-см вызывает закручивание на 1° стального стержня длиной 100 см и с попереч ным сечением в форме квадрата со стороной в 1 см. Однако точ ность этого результата весьма сомнительна вследствие выбора гру бой сетки разбиения. В самом деле, теоретическое значение о мо
мента равно 196,3 Н-см. Наш результат на 9,5% меньше этой ве личины.
6.4. Согласованные результанты элемента
Недостатком применения линейных интерполяционных полино мов является невозможность получить градиенты как функции х и у. Градиент и любая связанная с ним величина получаются по стоянными внутри элемента. Чтобы иметь более приемлемые зна чения узловых величин применяются различные методы усредне ния. Можно, например, в качестве значения градиента в данном уз ле принять среднюю по всем окружающим этот узел элементам величину. Узловые значения результантов элемента можно также получить о помощью теории сопряженной аппроксимации [2]. Эта теория дает значения результантов элемента, согласованные с ап проксимирующими полиномами для векторной или скалярной ве личины.
Изложение теории сопряженной аппроксимации выходит за рамки данной книги. Применение этой теории, однако, не пред ставляет труда и будет проиллюстрировано на четырехэлементной модели рассмотренной выше задачи о кручении.
1} Связь между приложенным крутящим моментом и углом закручивания квадратного стержня со стороной, равной 2а, дается формулой 7’=O,14O6G0(2a)4 ([3], формула 170 на стр. 313). Для рассматриваемого примера 2а= 1 и Т= = 0,14O6G0 = 196,3 Н-см.