Применение метода конечных элементов
..pdfЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА. ОДНОМЕРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
В шести предыдущих главах при обсуждении различных обла стей применения метода конечных элементов использовались симп лекс-элементы. Другой подход к прикладным задачам состоит в применении элементов высокого порядка, т. е. комплексили муль типлекс-элементов. Напомним, что число узлов в таких элементах превышает размерность решаемой задачи более чем на единицу. При таком подходе для достижения заданной степени точности решения требуется меньшее количество элементов, что приводит к сокращению числа перфокарт с исходными данными об элементах, а это в свою очередь уменьшает вероятность ошибки при обработ ке данных. Применение элементов высокого порядка не всегда, однако, ведет к сокращению полного времени счета на ЭВМ. Для составления матриц элемента необходимо использовать методы численного интегрирования, которые требуют выполнения большо го числа арифметических операций и, следовательно, увеличивают полное время счета, затрачиваемое на обработку одного элемента. Однако эти дополнительные затраты машинного времени компен сируются, вероятно, экономией времени в процессе обработки ис ходных данных.
В тех прикладных областях, где градиенты искомых величин не могут быть надлежащим образом аппроксимированы системой ку сочно-постоянных функций, использование элементов высоких по рядков позволяет получать более точные результаты.
Сокращение времени обработки исходных данных в сочетании с большей точностью результатов расчета служит достаточным; основанием для изучения возможностей применения указанных элементов.
В этой главе основное внимание будет сосредоточено на об суждении одномерного элемента. В первом разделе рассматрива ются функции формы, второй раздел иллюстрирует применение квадратичного элемента. Использование естественной системы ко ординат и методы численного интегрирований обсуждаются в третьем и четвертом разделах, причем эти вопросы включены в данную главу потому, что при рассмотрении одномерного элемента упрощается иллюстрация их реализации. Действительная необхо димость в методах численного интегрирования будет пояснена в
следующих двух главах, где рассматриваются треугольный и че тырехугольный элементы. Данная глава заканчивается введением
втеорию изопараметрических элементов.
13.1.Квадратичные и кубичные элементы
Аппроксимирующий полином в общей форме для одномерного
элемента имеет вид |
|
+ а гхГ~19 |
|
ф= |
а 1 + а 2* + аз*2+ |
(13.1) |
|
где г — число узлов |
элемента. Рассмотрим элемент |
с тремя узла |
ми, причем один из его узлов расположен посередине между край-
-----------
Г •/' ° ф
_ |
и г |
г |
|
-е ------------------------------------- |
|
!L------------------------------------- |
^ |
Фиг. |
13.1. Одномерный квадратичный элемент. |
|
ними точками (фиг. 13.1). Ему соответствует интерполяционный полином
у = а 1 + а,2х + а 3хг, |
(13.2) |
где <ц, 02 и аз определяются из условий
(р=Ф,
Ф=Фу
-в II £
при
при
при
II |
° |
II ^ - |
|
|
н |
х = L.
(13.3)
Так же как в гл. 3, эти условия приводят к алгебраической систе ме уравнений, решив которую, находим
а 1= Ф |,
40J* — ЗФ / — Ф&
а 2= --------- |
г-------- |
, |
Подставив выражение (13.4) в (13.2) и выполнив некоторые пре образования, получим
ф= N |Ф* + NjOj + NкФк, |
(13.5) |
где
Легко видеть, что эти функции формы удовлетворяют критерию, установленному в гл. 3:
2 |
р = * . /, к |
, г. |
(13.6) |
p=i |
|
|
|
Только что описанная процедура определения коэффициентов а становится утомительной при большом числе узлов. Другой способ определения функций формы состоит в использовании формул (13.6) и еще двух дополнительных свойств функции формы:
1 в узле с номером р,
(13.7)
О во всех других узлах, отличных от р,
и
Np=a1+ a 2x + a sx2+ |
. + arxr~1. |
(13.8) |
Первое свойство уже обсуждалось в предыдущих главах. Второе свойство, хотя и не рассматривалось ранее, очевидным образом следует из того факта, что все ар в (13.1) могут быть записаны в виде линейных комбинаций Фр. Например, формулы
o&i=агФх+ cijOj + |
|
а2= Ь 1Ф1+ bjOj + bkФ/г, |
(13.9) |
^ з = с 1ф 1 + с ^ + скФк |
|
можно использовать для элемента с тремя узлами. Сравнивая
формулы (13.9) |
и (13.4), можно заметить, что |
|
||
#1 — 1, |
а}= а к= 0, |
|
|
|
h |
4 |
к = - - f . |
Ьь = |
1 |
°i— L 9 |
L |
|||
И |
2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
Ci |
1% У |
сJ— |
[Ъ » |
скt— |
• |
Таким образом, если в интерполяционном полиноме (13.2) заме нить а линейными комбинациями узловых значений Фр, то после надлежащей перегруппировки получим, что функции формы долж ны быть такого же типа, как аппроксимирующая функция. Напри-
-----------
'Г |
|
J ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f j - ' - V |
|
f=I-* |
|
|
|
|
V L |
|
||
Фиг. 13.2. Узловые функции для квадратичного элемента. |
|
||||
мер, функции формы |
(13.5) |
могут |
быть |
записаны в |
форме |
Wp =ар + 6рх+срх2, совпадающей по |
виду |
с многочленом |
(13.2). |
||
Выражение (13.8) |
может быть представлено в виде произведе |
||||
ния сомножителей типа |
|
|
|
|
|
или |
Ф1 + Ф2** |
|
|
(13.10) |
|
|
|
|
|
|
|
Wf= (“фх— |
('Фв |
Ф**) |
•(‘Фаг-1"Ы ,2г*)* |
(13.11) |
Найти произвольные константы в (13.11) просто, если заметить, что N = 0 во всех узлах, отличных от узла (5. Это требование мо жет быть удовлетворено за счет подбора сомножителей в (13.11) таким образом, чтобы каждый из них обращался в нуль в одном из узлов. Совокупность функций ft, каждая из которых обращается в нуль в определенном узле, показана для квадратичного элемен та на фиг. 13.2. Положим
Л = Т ' |
|
||
f j = |
1- |
2х |
(13.12) |
|
|
||
/*“ |
1 — Г |
|
|
и определим функцию Ft следующим образом: |
|
||
f 6, если б Ф |
Р Для N p |
|
|
1, если 6 = р |
для iVp |
|
(Р фиксировано, 6 = i, /» k,
Представим N р в виде
iV fl= V |
6=t |
F ь, |
Р |
|
где
I l = F l - F j ' F k
6=i
т— число узлов элемента, |
Г — произвольная константа, |
опреде |
ляемая из условия, что N$ = 1 в узле р. Функция формы N |
дается |
|
формулой |
|
|
^ Э |
= П - ^ ------• |
(13-14) |
|
рЛ| |
|
|
О=/ |
|
Описанная здесь процедура может быть обобщена на двумер ные и трехмерные элементы. Соотношения, аналогичные (13.14), для четырехугольного и треугольного элементов будут даны ниже.
L о - |
-oj |
|
|
а) |
Линейный |
|
|
-^ос |
|
|
|
|
|
--------------------------------------------------—^--------------------------------------------------- |
|
■okс |
|||
^ |
^ |
|
----------- |
Ш _________^ |
|
|
|
6) |
Квадратичный |
|
|
Э |
' |
С |
к |
|
|
) |
------------------------ |
с |
|||
и з |
г |
< |
ш ______ ^ — |
1 / 3 |
, |
в) Кубичный
Фиг. 13.3. Линейный, квадратичный и кубичный одномерные элементы.
, - т - Ь
- г ) ( ' - т > |
Ч — * ( ■ - ? • > |
( - т ) - |
( . - £ ) • |
На фиг. 13.3 приведены выражения функций формы для линей ного, квадратичного и кубичного элементов в одномерном случае-
Пример
126. |
С помощью формул (13.14) и (13.12) требуется опреде |
лить функции формы квадратичного одномерного элемента дл» |
|
узлов i и }. |
с узла t. Имеем p= i и Хр=Хг = 0. Функциям Ft,* |
Начнем |
8=i, j, k соответствуют выражения
Ft= 1, так как 6 = i = p ,
F j= fj= (l - 2 x /L ),
F k = f k = ( l - x / L ) .
Вычисляя значения этих функций в точке x= Z p = 0, получаем.
|
|
Fj | х=о = |
1 и Fk | х=0 = 1 . |
|
|
|
|||||
Подстановка в формулу (13.14) дает |
|
|
|
|
|
jj.y |
|||||
N,= 4- " - w |
ii=aai _ |
|
|
|
|
||||||
что совпадает с |
(13.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повторяя |
выкладки |
для |
центрального |
узла |
/, имеем р=Д. |
||||||
х=Х,=Ц2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = 1 . |
^ |
= 1 |
- |
х_ |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
||||
и |
_ |
|
_L |
I1 -(*/*•)) |
_ |
|
|
1_ |
|
|
|
м |
Ш |
|
|
J L \ |
|||||||
|
|
(1/2) |
1 |
|
(1/2) |
— |
L |
\ |
l |
L |
j ' |
13.2. Применение квадратичного элемента
Элементы высокого порядка применяются так же, как симп лекс-элементы, поскольку выбор интерполяционного полинома не связан с исходными дифференциальными уравнениями. Однако есть смысл рассмотреть применение квадратичного элемента, ко торый обсуждался в предыдущем разделе, с тем, чтобы закрепить наши знания, связанные с реализацией метода конечных элемен тов.
В качестве примера рассмотрим одномерную задачу переноса тепла из гл. 8. Задача состоит в том, чтобы определить распреде ление температуры по длине стержня, подверженного конвектив ному теплообмену.
Уравнения для элемента, выведенные в гл. 5, имеют вид
[км \\Т) = { П |
(13.15) |
где |
|
[£<*>]= j [B]T[D][B]dV + |
j hlN]T[N]dS |
v |
s |
и |
|
Так как мы пользуемся квадратичным элементом вместо линейно го элемента, который применялся в гл. 8, все интегралы в (13.15) должны быть вычислены заново.
Во внутренних точках элемента температура определяется с помощью матрицы функций формы [IV]:
T=lN]{T} = lNt Nj Nk] |
Tt |
(13.16) |
Т> |
||
|
Tk |
|
Матрица градиентов имеет вид |
|
|
|
|
(13.17) |
С помощью функций формы в (13.5) получаем |
|
|
|« |= [ ( 4 ’ — г ) ' ( 4 - • £ - > |
( 4 - - - г ) ] т - |
|
Учитывая, что в данном случае [/)] = [/(**] и dV—Adx, интеграл
j |
IB]T[D] [B]dV |
V |
|
запишем в виде |
|
4х |
|
L2 ' |
m |
_4_ |
8х \2 |
L |
|
о |
|
Симметрично |
|
Отсюда имеем
14 |
—16 |
2' |
|
|
—16 |
32 |
—16 |
, |
(13.18) |
2 |
—16 |
14 |
|
|
где А — площадь поперечного сечения элемента. Конвективная часть [6(е)] дается формулой
N tN t |
N tN j |
Jh[N]T[N]dS=Ph J N j N t |
N j N } |
N kN t |
N b N j |
N tN k |
d x = |
N j N k |
|
N kN k |
PhL |
4 |
2 |
—Г |
|
|
2 |
16 |
2 |
(13.19) |
||
30 |
|||||
•1 |
2 |
4 |
|
||
|
|
где P — периметр элемента. Конвективная составляющая вектор* столбца {/(е)} имеет вид
(13.20)
Если конвективный теплообмен наблюдается на конце элемен та, например в узле /, то Л^=1, N j = N k = 0 и поверхностный интег
рал принимает вид
MToo J [NfdS^hT^Ai |
1 |
|
(13.21) |
0 |
, |
||
s2 |
о |
|
|
где At — площадь поверхности в узле t. |
Наличие |
теплообмена в |
узле i сказывается и на матрице теплопроводности [А(е)] благода ря поверхностному интегралу
^h[N]T[N]dS = |
h j |
NtNt |
NtN f |
NtNkl |
|
|
N tNj |
NJNJ |
NjNk IdS. |
(13.22) |
|||
Sa |
S2 |
N tN k N j N k а д ] |
|
|||
Интегрируя по поверхности, содержащей узел i, получаем |
|
|||||
|
|
|
1 |
0 |
0 1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |. |
|
|
|
|
0 |
0 oj |
|
Интеграл от теплового потока q идентичен уже вычисленному интегралу (13.21), поэтому можно сразу записать
JqlN]Td S = A lq |
(13.24) |
Si |
|
где q — заданный поток в узле i. Объемный интеграл, включающий источник тепла Q, вычисляется также легко:
ь |
f ^ l |
AQLfi |
' г |
|
§[N]TQdV=AQ§ |
N, ■dx— |
4 |
(13.25) |
|
|
|
и |
|
|
К |
1 |
|
Применение полученных соотношений иллюстрируется ниже на примере того же стержня кругового сечения, который был рассмот рен в гл. 8 (стр. 139).
Пример
127. Нужно определить распределение температуры в стержне кругового сечения, изображенном ниже.
}50°С
0) |
о2 |
|
(2) |
04 |
|
|
|
|
|
Т(=/50Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К задаче |
127. |
|
|
|
|
|
|
Запишем матрицы теплопроводности |
|
|
|
|
|
||||
|
14 |
— 16 |
2 |
|
|
' |
4 |
2 |
— Г |
K<j> 4<‘> |
— 16 |
32 |
— 16 |
2лл(1)А(1) 1(1) |
2 |
16 |
2 |
||
6Z.(,) |
2 |
— 16 |
14 |
|
|
30 |
— 1 |
2 |
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
и |
[#»>] = |
[£<1>]-| |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 } |
|
|
|
Матрица [ # 2)] содержит дополнительное слагаемое в связи с тем, что на свободном конце второго элемента тоже происходит тепло обмен. Для вектор-столбцов {/(1)} и {/(2)} имеем
r m > ] _ 2яr {1) L u )hTm |
1 |
4 |
|
|
1 |
и |
|
{/(2)) = ( / Ш) + ^ о о |
0) |
0 .. |
|
|
1 |
После подстановки числовых значений исходных данных получаем
[/г(1>] = |
я |
54,8 |
—46,2 |
3,9 |
' |
—46,2 |
142,4 |
—46,2 |
, |
||
|
|
3,9 |
—46,2 |
54,8 |
|
|
|
500 |
|
|
|
(Р>) = |
л ^2000 |
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
[&(а)] = я |
■ 54,8 |
—46,2 |
3,9 ' |
||
—46,2 |
142,4 |
—46,2 |
, |
||
|
|
—3,9 |
—46,2 |
64,8 |
|
|
|
500) |
|
|
|
|
|
2000 . |
|
|
|
|
|
900 |
|
|
|
Соотношения, включающие эти элементы в единую дискретную мо дель, имеют вид
первый элемент: |
г'= 1, |
/ = 2 , |
k= 3 , |
второй элемент: |
t = 3 , |
/ = 4 , |
k= 5 . |
Объединение уравнений, определяющих отдельные элементы, про изведем методом прямой жесткости. В результате придем к систе ме уравнений
" 54,8 |
—46,2 |
3,9 |
0 |
о- |
|
Тг ] |
' 500 |
—46,2 |
142,4 |
—46,2 |
0 |
0 |
1 |
Та |
2000 |
3,9 |
—46,2 |
109,6 |
—46,2 |
3,9 |
|
т, = |
1000 |
0 |
0 |
—46,2 |
142,4 |
—46,2 |
|
Т, |
2000 |
0 |
0 |
3,9 |
—46,2 |
64,8 |
|
Г» |
900 |
|
|
|
|
|
|
|