Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета
..pdfИтак, мы нашли, что при определении медленно меняющихся ам плитуд аг(т) и а2(т) процесса u(t) случайные функции (173) можно трак товать как некоррелирующие белые шумы с интенсивностью (175). По этому уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для системы (172) запишется в виде
др = |
И> ~ д_ ( F i P ) ~ ( F tP) |
nSq (ш 0) |
!д г р |
. д*р\ |
|
dt |
со0 dai |
да2 |
2ш° |
U? |
*»)• |
|
|
|
§ 1.12. Понятие о стохастических краевых задачах. Случайные поля и их описание
Для решения задач статистической динамики механических систем широко используются методы, основанные на сведении этих систем к системам с конечным числом степеней свободы. Функции, описываю щие поведение распределенной системы, представляются в виде разло жений по некоторому функциональному базису. Затем при помощи одного из вариационных методов составляются обыкновенные диффе ренциальные (по времени) или алгебраические уравнения относительно коэффициентов ряда. К полученным уравнениям применяются хорошо разработанные методы статистической динамики дискретных систем.
Вычисления такого рода, особенно если они проводятся с удержа нием небольшого числа членов ряда, носят лишь модельный характер и в лучшем случае дают качественное представление о поведении си стемы. В действительности анализ распределенных систем сводится к ре шению одномерных, двухмерных и трехмерных краевых задач опреде ленного типа. Если внешнее воздействие и (или) свойства системы яв ляются случайными, то это будут стохастические краевые задачи, т. е. задачи о нахождении вероятностных свойств некоторых стохастичес ких дифференциальных уравнений со стохастическими краевыми усло виями.
К настоящему времени разработано большое количество методов решения стохастических краевых задач. Многие из них представляют по существу соединение методов математической физики с идеей осред нения по множеству реализаций, пространству или времени. Ряд мето дов теории одномерных случайных процессов допускает обобщение на задачи теории случайных полей. К этому следует добавить, что слу чайные поля являются объектом изучения некоторых других отделов точных наук, например статистической физики, квантовой теории по ля и теории турбулентности. Правда, в этих дисциплинах краевых за дач почти нет, а те немногие задачи, которые имеются, ставятся для неограниченных областей или для простейших граничных условий. Между тем для краевых задач статистической динамики деформируе мого твердого тела типичны.ограниченные области (подчас сложной кон фигурации), достаточно сложные граничные условия и повышенный интере£лцюведению решений вблизи границ.
Мы начнемизложение статистической динамики распределенных систем с того, что кратко изложим способы описания случайных полей
[84,93]*. Будем различать одномерные, двухмерные и трехмерные поля. Примером одномерного поля служит поле перемещений, цзги. бающих моментов, перерезывающих сил и т. п. в тонком стержне, рас сматриваемом с позиций сопротивления материалов. С формальной точ ки зрения нет необходимости проводить различие между функцией времени u{t) и одномерным полем и(х). В качестве примера двухмер ных случайных полей можно привести распределение перемещений сре динной поверхности, распределение моментов и усилий и т. п. в плас
|
|
тине или оболочке. |
Распределение |
напря |
|||||||
|
|
жений, |
деформаций и перемещений в трех |
||||||||
|
|
мерном |
теле |
образует |
трехмерное |
поле. |
|||||
|
|
Функции, описывающие динамическое |
или |
||||||||
|
|
нестационарное поведение системы, зависят |
|||||||||
|
|
не только от координат, |
но и |
от времени. |
|||||||
|
|
Такие функции будем-называть пространст- |
|||||||||
|
|
венно-временнымщ„слунайными полямиили |
|||||||||
|
|
пространственно-временными |
случайными |
||||||||
|
|
процессами. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
При рассмотрении распределенных |
си |
||||||||
|
|
стем мы |
будем использовать, |
как это |
де |
||||||
лается и в других статистических теориях, понятие |
ансамбля реализа |
||||||||||
ций. Применительно к задачам строительной |
механики под ансамблем |
||||||||||
реализаций мы будем понимать совокупность |
большого |
числа |
конст |
||||||||
рукций или изделий, выполненных |
по |
одному |
проекту |
и по |
единой |
||||||
технологии и |
находящихся |
в статистически равноценных условиях |
|||||||||
эксплуатации |
или эксперимента. Применение |
понятия |
об ансамбле |
||||||||
реализаций необязательно связано с предположением |
о том, |
что |
|||||||||
изделие будет |
изготовлено в |
большом количестве образцов. Как уже |
|||||||||
указывалось в § 1 .1 , |
во многих случаях в |
силу |
стационарности и |
||||||||
(эргодичности удается |
перейти |
от рассмотрения ансамбля реализаций |
|||||||||
(к анализу эволюции одной реализации во времени. |
|
|
|
|
Величины, с которыми мы имеем дело в статистической динамике распределенных систем, являются скалярами, векторами или тензо рами. Таковы векторы объемных и поверхностных сил Х } и q}, векто ры перемещений uj, тензоры напряжений и деформаций ojh и e7-/t и т. д. Число изменений пространства может быть равно одному, двум или трем. Мы будем полагать в дальнейшем, что величины зависят от вре
мени t и радиус-вектора г, полагая, |
что г = |
х в одномерном случае, |
г = х1г х2 в двухмерном случае и г = |
хи х 2, х 3 в трехмерном случае. |
|
Случайное поле может быть описано |
несколькими способами. |
В качестве примера (рис. 10) рассмотрим векторное поле uj(г, t). Это по ле можно задать при помощи полной системы совместных функций рас пределения вероятности или при помощи соответствующих плотно стей вероятности (по индексам не суммировать):
Pj{u} | г, 1), pJh (itj, uh | г, t-У, t% pjhl (uj, u,„ it, | r, /; r', r", f ) , ...
* См. также недавно вышедшую работу: Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. «Наука», 1970,
Произведение Pj(U}\г, ffduj равно вероятности события, состоящего в том, что в точке г в момент времени t компонент u;(r, t) окажется ле
жащие в интервале числовых значений Uj и и} |
duy. |
р}(щ | r, i) duj = P [Uj < uj (r, t) < |
uj + duj]. |
Аналогично вводится двухмерная плотность вероятности
Uj<Uj(r,t)<Uj -f duj
Pjk (“;> uh I r >t> r'. О duJ duh= p .uh < u h(r',/')<«„+ duh
и т. д. Здесь для упрощения записи возможные значения, которые при нимают компоненты вектора щ(г, t), обозначены теми же буквами.
По ряду причин, о которых будет сказано несколько ниже, в ста тистической динамике предпочтителен другой способ описания. Обра зуем моментные функции первого, второго, третьего и т. д. порядка:
< U; (Г, 0 ), < Uj (Г, t) Uh(Г', V) >, < Uj (г, t) uk (г', V) щ (г", t")),...
Здесь, как и ранее, угловыми скобками обозначено осреднение по мно жеству реализаций. Функции первого порядка представляют собой ма тематические ожидания компонентов вектора в произвольной точке поля и в произвольный момент времени. Следующие моментные функции ха рактеризуют стохастическую связь между компонентами в двух точках поля з различные моменты времени и т. д. Связь между моментными функциями и совместными плотностями распределения вероятности дается формулами
( Uj (г, /) > = I Uj pj (Uj I г, /) dUj,
< Uj (r, t) uk (r\ t') > = § Ujuhpjh(Uj, uk |r, t\ r', t') dujduh, ... |
(176) |
Вместо поля uj(г, t) часто целесообразно рассматривать поле центри рованной величины
Uj (Г, t) = Uj (Г, t) — (Uj (г, t) >.
Соответствующие моментные функции |
|
K ,J r ,/ ;r \ 0 = <M r, t) uk (г', О ) ; |
|
Kjhl (г, /; г', V ; г", Г) = {Zj (г, tfuk (г', О щ (г", Г) > ... |
(177) |
называются центральными. Центральные моментные функции второю порядка называются корреляционными функциями. В дальнейшем всюду, если это не оговорено, под моментными функциями будем пони мать центральные функции (177).
Нетрудно показать, что моментные функции обладают тензорными свойствами. Например, совокупность корреляционных функций век торного поля образует тензор второго ранга (точнее, тензорное поле удвоенного числа переменных г, /, г', /').
Описание случайных полей приобретает большую гибкость, если использовать метод спектральных представлений (ср. § 1.6). Простей шим примером спектрального представления является разложение поля перемещений uj(г, i) в ряд по формам собственных колебаний <р/а(г):
оо
Uj(T,t)= 2 |
(0 Ф;а (г) • |
(178) |
а=1 |
|
|
Здесь а — номер формы колебаний. Коэффициенты ряда Ua(t) Пред ставляют собой случайные функции времени t. Применяя операцию осреднения, получим, что
< М г ,/)> = |
2 |
<£/а (0 > ф/а (Г); |
||
оо |
|
|
|
(179) |
< Uj (г, 0 Uh (г', О > = 2 |
Е |
|
< |
(0 i/p (0> ф/а (г) ф*(3 (г') |
а=1 |
Р=1 |
|
|
и т. д. Таким образом, для статистического описания поля Uj(г, t) до статочно знать полную систему моментных функций для коэффициентов Ua(t) ряда (178).
Другим примером спектрального представления может служить обобщенное преобразование Фурье по координатам и времени случай ного поля Uj(г, /):
Щ(г>0 = й ^ (х, со) фу (г, / 1х, со) dx dec. |
(180) |
Здесь х — вектор параметров пространственного преобразования Фуръе, со — параметр временного преобразования, ф/ (г, /|х,со)-_ производящая вектор-функция (детерминированная функция коор динат и времени, зависящая от х и со как от параметров), [/(х, оо)-- некоторое случайное поле в новом пространстве х, со, называемое спект ром поля Uj(г, t). Другой формой преобразования Фурье является следующая:
U j{г, t) = \ \ U j { x , и) Ф(г, t |х, со)dxd(0. |
(181) |
Различие состоит в том, что в формуле (180) спектр является скаляров, а в формуле (181) — вектором.
Интегрирование в этих формулах производится по всей облаС1.и
изменения вектора х; dx — элемент объема в этом |
пространстве (Нд. |
пример, в трехмерном случае dx — dx1dx2d x 3). |
Формулы (1$0) „ |
(181) являются обобщением формулы (81) на пространственно-вреМ^ ные случайные поля.
Важным примером полей, для которых преобразования типа и (181) оказываются весьма удобными, служат стационарные случа^'
ные поля. Поле, заданное при —оо ^ ^ оо, называется стационар, ным, если его вероятностные характеристики не меняются во времен,/
Плотности распределений вероятностей для стационарного поля при произвольных tlt t2, и произвольном т удовлетворяют соотношениям
Pj(“i |г, t) = pj(uj |г, / + т); |
|
|
Pik (uj, uh | r, t\ r', t’) = pjh(uj, uk|r, * + |
т; |
r', t' + т) |
ит. д., а моментныефункции /С/а(г, t\ г '/ ) , |
г, |
г', г'; г", Г) и т. д. |
зависят от разностей t' — /, f —t,... и не зависят от выбора начального момента наблюдения. Обычно гтянионярнпе. глуияйное поле является вместе с тем и эргодическим во времени: его .временные свойства в каж дой точке поля могут быть получены обработкой одной достаточно про должительной реализации. Если так, то определение моментной функ ции может быть сведено к осреднению соответствующих произведений по времени и последующему осреднению полученных пространствен ных полей по множеству реализаций.
Стационарные случайные поля uj(г, t) допускают спектральное пред
ставление типа |
(84): |
|
|
|
|
оо |
|
Uj (г, t) = |
<Uj (г, t)) + 5 Uj(Г. м) еш da. |
(182) |
|
|
|
— ОО |
|
Случайное поле |
U,{г, а) в пространстве г, со обладает |
свойством |
|
стохастической ортогональности по частоте со: |
|
||
<U* (г, o № |
( r 't со’)> = Sjk (г, г', со) б (со—со'). |
(183) |
Через Sjk(г, г', со) обозначены детерминированные функции. Эти функ ции связаны с соответствующими корреляционными функциями зави симостью
Sjh{г ,г ',ш ) = ^ - |
f K jb ir .tir'.t + x i e - ^ d T , |
(184) |
2к |
о |
|
|
— оо |
|
которые являются аналогом формулы (86). Функции S jk(г, г', |
со) обра |
зуют двухточечный тензор второго ранга; они обладают свойствами корреляционных функций по координатам и свойствами временной спектральной плотности. В статье [17], где эти функции, по-видимому, впервые были введены, они названы спектрами пространственной кор реляции.
Другим примером спектрального разложения типа (181) служит разложение однородного поля в интеграл Фурье. Поле, заданное во всем пространстве, называется однородным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов системы коорди нат. В частности, плотности вероятностей для однородного поля при
любых г, г', |
и любых р удовлетворяют соотношениям |
||
|
P j ( U j I |
г, t) = P j ( U j \ r + p, |
t)\ |
Pih (Uj, uhI r, t\ r', |
i) = pjh(Uj, uh I r + |
p, t\ r' + p, t) |
и т. д. МоменТные функции однородного поля зависят лишь от разно* стей координат г'—г, г"— г и т. д. Часто однородное поле является вместе с тем и эргодическим, что допускает замену осреднения по мно жеству реализаций осреднением по всему пространству.
Ограничимся случаем, когда поле Uj (г, t) является однородным по г и стационарным по t. Тогда его можно представить в виде интегра ла Фурье:
|
оо |
оо |
|
|
Uj(r,t) = <KUj(r,t)'>+ 5 |
\ |
0)) е‘ ^ r+ b>t)dx do\ |
(185) |
|
где для трехмерного пространства |
хг = х ^ + х 2х2 + х 3х 3. Спектр |
|||
Uj(x, ю) обладает свойством стохастической ортогональности |
|
|||
<£/* (х, со) и и(х', |
со')> = S jh (х, со) б (х — х ') б (со —со'), |
(186) |
||
где Sjh{x, со)—тензор |
взаимных |
спектральных плотностей |
поля |
Uj(г, /). Таким образом, представление (185) обладает свойствами кано нического разложения (§ 1.6). Корреляционные функции Kjk(f, /; г', t') однородного и стационарного случайного поля зависят лишь от р = г' — г и х — t' — t\ они выражаются через спектральные плот ности так:
ООоо
/СЛ (р, т) = ^ |
5 |
s * (х>®)ei (хр h“ т) d* d(»- |
(187) |
|||
Обратное соотношение имеет вид |
|
|
||||
s jh (х, |
со) = |
|
j |
j Kjh (Р, Т) е~1 |
dp dr, |
(188) |
|
' |
' |
|
--ПСк |
|
|
где v — число |
измерений |
пространства, в котором задан вектор и,; |
||||
dp — элемент объема |
в этом пространстве. |
|
|
|||
Разложение (185), как и введенные ранее разложения (84), |
(182) и |
т. п., носит формальный характер. Более строгая интерпретация Этих разложений требует рассмотрения предельных переходов или приме нения понятия стохастического интеграла Фурье—Стильтьеса. Однако разложения типа (185) открывают наиболее короткий*и прозрачный путь для получения различных соотношений. В качестве примера опре. делим характеристики поля vj(г, t), которое получается дифференциро ванием центрированного поля иДг, t):
vj(г, t) = |
dsu}(г, |
t) |
(189) |
|
Зле*1dxs22dxs3*dts* |
||||
|
|
(v = 3, s = |
sx + |
s2 + s 3 + s4). |
Дифференцируя формально |
сбйтио- |
|||
шение |
(185) и принимая во внимание связь типа (186) между спектром |
||||||
и тензором спектральных плотностей, найдем, что |
|
||||||
|
|
S/* |
(*. ®) = |
A*' A 53®2S‘ |
(*. ®). |
(190) |
|
Затем по формуле |
(187) можно вычислить |
корреляционный |
тензор |
||||
K/2V |
т): |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
оо |
|
|
|
|
|
Х)= |
$ |
S |
x*s‘ x“,*x“s'© 2s‘S;“)(x,a>)e'(*P + OT) rfxdco. |
(191) |
||
|
|
— оо — оо |
|
|
|
|
Производная (189) от поля uj(г, /) будет существовать, если инте грал (191) сходится при всех р и т. Достаточным условием будет схо димость интеграла
оо оо
§ ^ x iS*Ai* A i' “ 2S4 |
(x>и) ^x d(o < oo. |
— oo — oo |
|
Дальнейшая специализация случайных полей связана с понятием изотропии. Случайное поле будем называть изотропным, если его ве роятностные свойства инвариантны относительно вращений и отражений системы координат. Изотропия поля может быть локальной и общей. Примером локальной изотропии служит поле напряжений в шаре, если вероятностные характеристики в любой точке этого поля зависят толь ко от длины вектора, проведенного из центра, и не зависят от его на правления. В дальнейшем мы ограничимся однородными и изотропными полями, свойства которых инвариантны относительно сдвигов, враще ний и отражений во всем пространстве.
Рассмотрим вначале скалярное поле ср(г). Корреляционная функ ция nj^npn^qrn и идптрорнпго СКаЛЯрНОГО ПОЛЯ
/С(р) = <ф(г)ф(г+р)>
зависит только от расстояний между точками поля р = | р |, а спект ральная плотность — только от модуля волнового вектора х = | х |. Установим связь между К(р) и 5(х). В целях сокращения записи опус тим зависимость поля от времени. Формулы (187) и (188) для скаляр ного поля принимают вид
К (р) = $ S (х) etxp dx\
(192)
s ^ = ^ f j K l e ) e " S d e -
Произведем в формулах (192) частичное интегрирование с учетом свойства изотропии. Начнем со случая двухмерного поля (v = 2).
Перейдем от прямоугольных координат | lt | 2 к полярным координа
там р, 0. |
На плоскости волновых чисел также введем полярные коор |
||
динаты |
х, ф. Подставляя во вторую формулу (192) выражения |
||
|
|
£1 = pcos0, |
| 2 = p sin 0, |
получим |
|
x1 = xcosij3( |
x2 = xsimj), |
|
|
|
|
|
2 л оо |
|
|
|
S (х) = — \ |
I К (р) ехр [—/хр cos (0—ф)] р dp d0. |
|
|
4я2 J |
• ' |
|
|
О0 |
|
Но согласно интегральной формуле Пуассона—Бесселя
2я
^ ех р [ —/хр cos (0 —ф)] d0 =- 2it J0(хр),
о
где / 0(>ф)— функция Бесселя нулевого порядка. Таким образом, спектральная плотность двухмерного изотропного скалярного поля является преобразованием Фурье—Бесселя от соответствующей кор реляционной функции. Аналогично выводится формула, разрешенная относительно спектральных плотностей. При этом, как и следовало ожидать, получается формула обратного преобразования Фурье—Бес селя. Окончательно получаем
К (р) = 2я § S (х) J0(хр) х dx;
о |
(193) |
оо |
|
5 ^ =~аГ I * |
уо(*р) р dp• |
Л 0 |
|
Заметим, что вывод этих формул можно было несколько упростить. В силу изотропии поля вектор х можно было направить вдоль поляр
ной оси, положив сразу ф = |
0. |
изотропного двухмерного ска |
Примером спектральной |
плотности |
|
лярного поля является выражение |
|
|
5(х) = |
(194) |
где с, х0, и п — положительные константы. В частности, величина 1/х0 характеризует масштаб корреляции поля. При п = 2 выражение (194) описывает двухмерный аналог стационарного марковского (экспонен циально-коррелированного) процесса. Случайное поле при этом не бу дет дифференцируемым, так как интегралы
оо |
оо |
оо |
оо |
^ § х? 5 (х) dxx dx2 = § § х | 5 (х) dxx dx2
расходятся. При п > 2 получаем дифференцируемое случайное поле. По первой формуле (193) найдем корреляционную функцию поля, спек тральная плотность которого имеет вид (194):
Jо (-/.р) х йк
К (р) = 2пс
i+ 4 - Xrt
Интеграл в правой части вычисляется, например, по методу контур ного интегрирования. В результате находим, что [271
|
п—1 |
р) |
|
К (р) = 2псхо |
К |
(195) |
|
п — 1 («— 1) | |
|
||
|
|
|
где K /i-i(x0p) — цилиндрическая функ ция мнимого аргумента (функция Мак дональда). График безразмерной функ ции <р(т) в формуле
циV \ — Л«J
020
0,16
п«5
К (р) = |
2ясхо ф (х0р) |
|
Ц1! |
|
при различных |
значениях п |
представ |
от |
|
лен на рис. 1 1 . |
|
|
|
|
Перейдем к случаю трехмерного т ' |
|
|||
скалярного поля. Возьмем вторую фор |
|
|
||
мулу (192) и произведем в ней частичное |
1 2 J |
5 Т |
||
интегрирование, |
используя |
свойство |
Рис. П |
|
изотропии. Для |
этой цели перейдем от |
|
||
|
|
|||
прямоугольных |
координат ilt |
1 2. £з к |
|
|
сферическим координатам р, ф, 6. Аналогичные координаты введем также и в пространстве волновых чисел. Для сокращения выкладок
сразу совместим вектор |
х |
с полярной осью. Тогда в сферических |
||
координатах х = (х, 0, 0). Формула принимает вид |
|
|||
Я 2 Я |
оо |
|
|
|
5 М = ^ Ш |
к<|>)ех|>(—/хр cos 0) sin 0 р2dp d(p d0. |
|||
0 0 0 |
|
|
|
|
Учитывая известное соотношение из теории бесселевых функций |
||||
я |
|
|
|
|
jjsin2n 0 exp(—tpcos6)d 0=V^n^ — |
*^п(Р)> |
|||
где Г(*) — гамма-функция, |
и замечая, что |
|
||
|
J 1/2 |
(р)= |
1/2 sin |
|
4В. Зак, 1481 |
|
|
|
89 |
найдем *
л
\ ехр (— Ырcos 0) sin 0 d0= 2 -~n-
о *P
Таким образом, формула для S(x) существенно упрощается. Допол няя найденную формулу аналогичным обратным соотношением, полу чим окончательно
оо
К (р) = 4я f 5 (х) ^ М И2^х;
М«Р
(196)
S (x )= т М |
^ ( ( ') — P P2 dP- |
2л* J |
хр |
эти формулы можно трактовать как прямое и обратное преобразования Фурье—Бесселя при помощи функций полуцелого порядка (сферичес ких функций Бесселя).
В качестве примера изотропного трехмерного поля приведем экспо ненциально-коррелированное случайное поле, корреляционная функ ция и спектральная плотность которого даются формулами
К(р) = К 0ег*Р;
S(x) = |
АГ0а |
|
я 2 ( а 2 + х 2) 2 |
||
|
Здесь Ко и а — положительные постоянные. Соответствующее поле не является дифференцируемым. Примером дифференцируемого поля мо жет служить поле с гауссовским законом корреляции:
К (р) = /Соехр (—ар2);
Однородное изотропное скалярное поле в пространстве с любым чис лом измерений может быть охарактеризовано замшшм-хвойств одномерного поля (случайной функции одной переменной). Эта функция получается в результате сечения поля прямой произвольного направ ления; будем называть эту функцию сечением поля. Корреляционная функция сечения поля, очевидно, совпадает с корреляционной функ цией поля, если рассматривать последнюю как функцию модуля радиус
* Этот результат легко получается также и непосредственным интегрировав нием.