Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета
..pdfнаходится под действием динамических сил, заданных с точностью до нескольких случайных параметров. Наиболее естественный способ ре шения основной задачи для такой системы состоит в отыскании конеч ных соотношений между искомыми выходными параметрами и пара метрами внешних сил, которые на этом этапе полагаются детерминиро ванными. Связь между указанными параметрами характеризует неко торую вырожденную систему. Однако по существу задача остается ди намической. Таким образом, понятие вырожденного оператора намного шире, чем понятие оператора для безынерционной системы с конечным числом степеней свободы.
Еще один признак для классификации дает число измерений систе мы. Будем различать системы с конечным числом степеней свободы (дискретные системы) и распределенные системы. Последние подразде ляются на одномерные, двухмерные и т. п. системы. Поведение невы рожденных дискретных систем описывается обыкновенными дифферен циальными уравнениями относительно некоторых функций времени. Поведение распределенных систем может описываться как обыкно венными дифференциальными уравнениями (в случае квазистатического воздействия на одномерные системы), так и уравнениями в част ных производных. Существенным моментом в задачах, относящихся к распределенным системам, является постановка краевых условий. Говоря о задачах статистической динамики для распределенных си стем, мы будем употреблять термин «стохастическая краевая задача».
§ 1.3. Метод решения задач для вырожденных систем
Пусть число входных параметров qlf q2l ...., qn конечно и пусть эти параметры являются случайными числами с известной совместной
плотностью вероятности pq (qlt |
..., qn). Пусть далее поведение си |
|
стемы описывается |
конечным |
числом выходных параметров — слу |
чайных чисел иъ и2, |
ит. Наконец, предположим, что известна одно |
значная детерминистическая зависимость между указанными группа
м и параметров: |
|
Щ= и ! (qlt Цг, ..., q j (/ = 1, 2.......т). |
(9) |
Система, удовлетворяющая этим условиям, является вырожденной. Нахождение распределений для выходных параметров сводится к при менению известных формул теории вероятностей, дающих распреде ление для случайных функций от случайных величин. В литературе этот путь обычно называется методом безынерционных преобразова ний [111], или квазистатическим методом [17].
Формула для функции распределения выходных параметров ии м2, ..., ит имеет вид
FU(UV U2, ...,ы т) =$•••$ p4(q1,q2, .. . , q n)dqidq.1...dqn, |
(10) |
где интегрирование производится по области /г-мерного пространства входных параметров, для которой справедливо неравенство
Uj (Яг, Яг>••• >Яп) < «} (/ = 1 ,2 ,..., т).
Дифференцируя функцию распределения по ее аргументам, получим выражение для совместной плотности вероятности выходных парамет ров.
При некоторых дополнительных ограничениях нетрудно получить формулы, непосредственно связывающие плотности вероятности для входных и выходных параметров. Предположим, что т < п и что соот ношения (9) допускают обращение относительно т переменных qu q2,
Чтя |
|
|
qj = QJ(u1,u2, ... ,и т\ qm+u...,qn) |
( /= 1,2 ,..., m). |
(11) |
Если Qj — однозначные дифференцируемые функции переменных |
||
uv ы2, ...» ит , то решение основной задачи |
статистической динамики |
|
дается формулой |
|
|
оооо
pu(ult и2, .... ыт ) = 5 |
5 pq (Qx, Q2...... |
Qm; ................ |
qn) X |
|
d(Q i,Q 2...... |
Qm) |
dqn. |
( 12) |
|
X d {uy, u2, |
, u,„) dq,m+1 |
|||
|
Здесь использовано обозначение для якобиана преобразования:
|
dQi |
dQi |
дОх |
|
|
дих |
ди2 |
дит |
|
d (Qi I Q2, •••, Qm) |
dQ2 |
dQ2 |
dQt |
|
диг |
ди2 |
дит |
||
д(ии «2, ... ,ит ) |
||||
|
|
|
||
|
dQm |
dQm |
дОт |
|
|
ди± |
ди2 |
дит |
Пусть т = п и пусть соотношения (9) взаимно однозначны. Вместо (12) получаем формулу
ри (и1г иг, ..., ип) = pq (Qv Q2.......Qn) |
д (Qi, Qz> •• •, Qn) |
(13) |
||
|
|
d(ttj,u2, ,ы„) |
|
|
В простейшем случае, когда т = п = |
|
1, эта формула имеет вид |
||
Ри (u) = Pg [Q (“)l |
dQ(u) |
(14)- |
||
du |
||||
|
|
Наконец, рассмотрим случай, когда т~> п. Тогда, очевидно, среди т параметров иъ и2, ..., ит будут функционально зависимыми т — п параметров. Если среди т соотношений (9) можно выбрать п таких, что обратные функции
qi = Qj(di,u2, ... , и п) (/= 1 ,2 ,..., п)
однозначны и дифференцируемы, то для плотности вероятности выход ных параметров вновь получим формулу (13).
Формулы (12) и (13) могут быть обобщены на случай, когда функции Qi, Q2»•••» Qn не являются однозначными. В этом случае область изме нения аргументов следует разбить на подобласти, в пределах каждой из которых функции Qb Qo, ..., Qn остаются однозначными. Затем сле дует просуммировать вклад каждой из этих подобластей в искомое распределение. Если же функции Qx, Q2, ...» Qn являются кусочно-не прерывными, то следует воспользоваться общей формулой (10). При этом плотность вероятности ри(и19 и2, ит) будет обобщенной функ цией, содержащей особенности типа дельта-функции.
Формулы типа (12), (13) и (14) широко применяются в теории связи и теории автоматического управления. Примером может служить вы числение плотности вероятности сигнала на выходе квадратического детектора [62]. В статистической механике конструкций аналогичные приемы применяли начиная с 1958 г. В частности, они широко исполь зованы для решения квазистатических задач в нелинейной теории уп ругих оболочек [11]. Некоторые приложения к указанным задачам бу дут даны в главе И; здесь же ограничимся элементарным примером.
Допустим, что некоторый стержень нагружен изгибающим моментом Мь и крутящим моментом M t. Опасное состояние стержня достигается тогда, когда некоторая функция моментов М ъи M t превышает предель ное значение, зависящее от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде
Mrr--Y + |
(15) |
Здесь М г — приведенный момент, определенный в соответствии с кри терием текучести, который основан на наибольших касательных на пряжениях. Пусть задана совместная плотность вероятности pq(Mb1M t) для изгибающего и крутящего моментов. Для расчета надежности стержня необходимо знать плотность вероятности ри(Мг) приведенного момента М г. Решение этой задачи сводится к применению формулы (12) при т = 1, п =2.
Выполним вычисления для случая, когда моменты М ь и M t сто хастически независимы и подчиняются центрированному нормально
му распределению: |
|
1 |
(16) |
Р„(МЬ,М,) = —- — ехр |
|
2KGb Of |
|
Здесь вь и <jt — средние квадратические |
значения моментов М ь и |
M t соответственно (квадратные корни из дисперсий). Для упрощения выкладок перейдем к полярным координатам, положив
Mb = MrcosO; М, = М. sin 0
где угол 0 меняется |
в пределах 0 ^ 0 ^ |
2я. Совместная плотность |
||
вероятности для случайных величин |
М ти G дается формулой типа (13): |
|||
р„ (Мт, 0) = pq (Mr cos О, М,. sin 0) |
д (Mr cos 8, Мтsin 8) |
|||
|
|
|
|
д(Мг, 0) |
Используя формулу (16) и замечая, что якобиан ппеобпазовяния |
||||
|
д (Mr cos 8, Мтsin8) |
_ |
|
|
|
д(Мг>в) |
|
~ |
‘ |
найдем |
|
|
|
|
|
Mr |
M 2r (<J* sin 2 0 + o f cos2 0) |
||
P „ ( M r , 0 ) = |
2nOb a* exp |
|
|
20*02 |
Плотность вероятности p u(Mr) определяется интегрированием по лученной формулы по углу 0:
2я pu(Mr)=lP„(Mr,Q)dQ.
0
Используя известную формулу анализа
2л
^ е~а cos vdy = 2л /0 (а),
6
где / 0(а) — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, получим окончательно
Ри(Мг) = - ^ г ехР |
|
/ |
|
( М* |
\ |
(\7\ |
ч®/ |
|
1• |
\ 1 Ч |
|||
Gb Gt |
J |
°1 |
|
|
||
то формула (17) принимает вид |
и M t одинаковы, т. |
е. аь == |
ot = а, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
M r |
ехр |
|
|
|
|
|
ри ( Ю = — |
|
|
|
|
|
|
При этом приведенный момент |
подчиняется |
распределению |
Релея. |
В некоторых случаях достаточно ограничиться вычислением тех или иных числовых характеристик выходных параметров. Так, иногда достаточно знать математические ожидания и дисперсии этих парамет ров. Вычисления этих и аналогичных числовых характеристик прово дятся осреднением соответствующих функциональных зависимостей. Пусть, например, требуется вычислить математическое ожидание не случайной функции f(uu и2, ..., ит) от выходных параметров. При из
вестной совместной плотности вероятности для входных параметров эти вычисления производятся по формуле
ОО |
00 |
|
<,f{u1,u2,...,um) ) ^ jj |
l f{^i>Ui,...,Um)pq{q1,qi, ... ,qn) x |
|
— ОО |
— ОО |
|
|
X d q 1dq2...dqn. |
(18) |
В подынтегральном выражении выходные параметры выражаются че рез 9,, <72, с учетом зависимостей (9). Здесь и в дальнейшем угло выми скобками обозначается операция вычисления математического ожидания.
В качестве элементарного примера покажем, как вычисляются ма тематическое ожидание и моменты параметров М ъ М 2, М т, связан ные с параметрами Qlt Q2, Qn формулой (8). Применяя к обеим час тям этой формулы операцию математического ожидания, найдем
< м ,> = 2 Tb-ft<Q/l> (/= 1,2, |
(19) |
А=1 |
|
Чтобы вычислить моменты второго порядка, составим произведение MjMh и определимого математическое ожидание. С учетом формулы
(8) получим
<MjMhy = 2 2 1b>TlAS<QrQ»> (/,fe = l,2 ,...,m ) |
(20) |
r=1S=1 |
|
и т. д. В некоторых случаях найденных числовых характеристик достаточно для нахождения совместного распределения pu(Mlt М ъ ..., М т). Так, если совместное распределение параметров Qly Q2, ..., Qm—нор мальное, то в силу линейности связи (8) будет нормальным распреде ление параметров М 1у М 2, ...» М т. Математические ожидания т случайных величин и матрица т Хт их моментов второго порядка пол ностью характеризуют m-мерное нормальное распределение.
До сих пор предполагалось, что система является детерминисти ческой. Рассмотрим теперь стохастическую вырожденную систему. Стохастическая вырожденная система — это ансамбль, состоящий из большого количества статистически однородных, сопоставимых экзем пляров, которые отличаются друг от друга некоторыми параметрами /*1, г2, ..., rs. Для наугад взятого экземпляра эти параметры являются случайными числами. Стохастическая система будет задана, если из вестна совместная плотность вероятности pT(rly г2, ..., rs) указанных параметров.
Естественный способ вычисления реакции стохастической системы состоит в следующем. Вначале берется один из экземпляров системы и изучается его поведение при внешнем воздействии. При этом на ходится условное распределение вероятностей для выходных парамет ров при фиксированных параметрах системы. Затем применяется фор
мула полной вероятности, которая Дает распределение выходных параметров для наугад взятого экземпляра, т. е. для стохастической си стемы.
Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть входное воздей ствие характеризуется одним случайным числом q, реакция системы— одним случайным числом и, а стохастические свойства системы—одним случайным числом г. Пусть далее при фиксированном г связь между входом и выходом дается формулой
« = и (я к)
(данные, указанные после вертикальной черты, обозначают условие, при котором устанавливается зависимость). Если обратная функция
q = Q {и | г)
является однозначной и дифференцируемой, то для условной плотнос ти вероятности р и(и\г) получаем формулу
Р а ( U \ r ) = p q [Q ( » U ) ]
dQ (UI г) |
(21) |
|
да |
||
|
Эта формула аналогична зависимости (14) и дает распределение выход ного параметра системы при заданном значении г. Для наугад взятого экземпляра параметр г является случайной величиной. Пусть рг(г) — плотность вероятности этой величины. Применяя формулу полной ве роятности, найдем безусловную плотность вероятности выходного па раметра
оо
Р«(“) = $ Р„ (“ I r) Pr (г) dr.
С учетом соотношения (21) окончательно получаем
P u ( U) = $ P q l Q ( u \ r ) ] p r ( r) |
dQ (u I г) dr. |
(22) |
|
ди |
|
Формула (22) допускает обобщение на случай, когда число парамет ров произвольно. Пусть выходные параметры ии и2, ..., ит зависят от
входных параметров qu q2, ..., qn и параметров системы ги г2) |
rs: |
uJ==^ j ( lh< <h>•••. <7n I ru r2>•••»rs) ( /= 1,2,... ,m). |
(23) |
Пусть далее m < n и пусть соотношения (23) имеют обращение отно сительно т переменных qu q2, ..., qm:
Я } ~ Qj ( Ul> U2' ••• >ит' Qm+l, |
,Яп\Гц Гг, , Г„) (/ = 1,2, ... , in), |
|
(24) |
которые являются однозначными и дифференцируемыми функциями переменных ии и2, ..., ит. Условная плотность вероятности при фикси рованных параметрах системы rlt г2, ..., rs определяется по формуле
типа (12), в которую подставляются функции Qj согласно (24). Обозна чим условную плотность вероятности через ри(ии ы2, ит\гх, г2,
...,rs). Плотность вероятности выходных параметров для стохастической системы найдем по формуле полной вероятности:
оооо
Ри («1. «2. - - “т )= 5 |
5 Ри («1. «2. - . «т I г1>Г2, .... rs) X |
|
— ОО |
— оо |
|
X рЛ о , Г2, ..., /-8) drx dr2... drs. |
(25) |
|
§ |
1.4. Метод функций Грина |
|
Анализ стохастического поведения невырожденных систем пред ставляет более серьезные трудности. Исчерпывающее решение задачи, состоящее в получении совместных распределений для выходных па раметров, может быть получено лишь в некоторых частных случаях. Обычно приходится удовлетворяться более скромной информацией, например сведениями о математических ожиданиях и младших моментных функциях выходных параметров. В этом и следующих парагра фах мы рассмотрим вопрос о нахождении моментных функций невы рожденных систем. Вначале мы рассмотрим более простые — линей ные дискретные детерминистические системы. Однако многие методы допускают распространение на более общие классы систем.
Цель состоит в том, чтобы при известной связи между входным и выходным процессами, заданной в форме (1) или (5), и известных мо ментных функциях входного процесса вычислить моментные функции выходного процесса. Соотношения между моментными функциями оп ределяются осреднением уравнений (1) или (5), а также уравнений, ко торые получаются из последних в результате простых операций. Метод решения задач статистической динамики, основанный на использова нии соотношений между моментными функциями входного и выходного процессов, будем называть методом моментных функций. Реализация этого метода существенно зависит от того, в какой форме заданы исход ные соотношения: в форме (1), разрешенной относительно выходного процесса, или в форме (5).
Рассмотрим линейную дискретную детерминистическую систему. Движение такой системы обычно описывается одним обыкновенным ли нейным дифференциальным уравнением или системой таких уравнений. Оператор L в уравнении (5) будет при этом линейным дифференциаль ным оператором, а оператор Н в уравнении (1) — линейным интеграль ным оператором типа Вольтерра. Исходя из уравнения (1), будем по лучать явные выражения для моментных функций, содержащие повтор ные интегральные операции. Используя уравнение (5), мы получим для определения моментных функций выходного процесса линейные диф ференциальные уравнения. Отсюда видно, что целесообразно разли чать две модификации метода моментных функций. Метод, основанный на соотношениях типа (1), называется методом импульсных переход ных функций, методом весовых функций и т. п. [62, 97, 111].
Аналогичный метод для решения стохастических краевых задач использует понятие функции Грина и называется поэтому методом функций Грина [20]. Как импульсная переходная функция для задачи Коши, так и функция Грина для краевой задачи представляют собой реакцию системы на единичное воздействие. Ввиду этого первую моди фикацию метода момеитных функций можно назвать методом функций Грина. Метод, основанный на соотношениях типа (5) (если последние представляют собой дифференциальные уравнения), будем называть методом стохастических дифференциальных уравнений.
В данном параграфе мы рассмотрим подробно метод единичных воз действий. Будем исходить из соотношения
u = tfq. |
(26) |
Пусть система является линейной и детерминистической. Применяя к левой и правой частям соотношения (26) операцию осреднения по мно жеству реализаций входного процесса и замечая, что операция осред нения линейна и переставима с оператором Я, получим
<^u>= tf <q>. |
(27) |
Таким образом, математическое ожидание выходного процесса линей ной детерминистической системы связано с математическим ожиданием входного процесса той же зависимостью, что и соответствующие реа лизации.
Для вычисления моментной функции второго порядка запишем соот ношение (26) в форме, дающей выход и(/) в два различных момента вре мени ti и t2:
u (A) = Hh q (тх); u (А) = Нч q (т2). |
(28) |
Здесь Hth — оператор, преобразующий процесс q(rft) в процесс и(4).
Умножая первое соотношение (28) на и(Г2)> используя второе соотно шение и учитывая свойства операторов Я<, и Я<8, получим формулу, связывающую моментные функции второго порядка для входного и выходного процессов:
<u(A) и (А)) = Я ,1Я/2<Ч(т1) Ч(т,)>. |
(29) |
Аналогичные соотношения имеют и моментные функции сколь угод но высокого порядка. Пусть A. t2, ..., tn — несовпадающие моменты времени. Моментная функция «-го порядка для выходного процесса линейной дискретной детерминистической системы определяется .по формуле
<u (A) u (А) ...и (fn)> = Hh Я <2... Htn<q (Tl) q (т2) ... q (тп)>. |
(30) |
Если некоторые моменты времени совпадают, например А = Г2, то следует воспользоваться формулой (30), выполнив все вычисления при А Ф А. и положить в окончательном результате А = А-
Для приложений значительный интерес представляют центральные моментные функции второго порядка, т. е. моментные функции вто
рого порядка от центрированных случайных процессов. Эти функции будем называть корреляционными. По определению, корреляционная функция случайного процесса q(/) вводится как
ffe (M «) = <4(<i)q&)>. |
(31) |
а корреляционные функции выходного процесса — как
< (*!.* .) = < |
(32) |
Здесь и в дальнейшем волнистой чертой сверху обозначены центриро ванные случайные процессы:
q = q— <q>; u = u— <u>. |
(33) |
Принимая во внимание формулы (29), (32) и (33), получим следую щую зависимость, связывающую корреляционные функции входного и выходного процессов:
K u « i . U = HtlHtxK9{т1(т2). |
(34) |
Ряггмптрим ррялизяттию ппрраторных формул (27), (29), (30) и (34) для случая, когда внешнее воздействие характеризуется одной функ цией времени q(t), а поведение системы — одной функцией времени u(t). Соотношение (26) принимает для этого случая вид
t |
|
и (i) = J h(i,x)q(x)dx. |
(35) |
— оо |
|
Здесь h(t, т) — решение соответствующего дифференциального |
урав |
нения при q{t) = b(t — т), где b(t) — дельта-функция, и при нулевых начальных условиях. Это решение имеет смысл реакции системы на единичный импульс, прикладываемый в момент времени / = т. В тео рии автоматического управления эта функция называется обычно им
пульсной переходной функцией |
(иногда — весовой функцией). Мы |
||
будем называть функцию h(t, т) функцией Грина. |
за |
||
Формула (35) записана в предположении, что воздействие q(t) |
|||
дано при —оо |
^ оо. Если система находилась в покое при t < |
0 |
|
и если воздействие задано при 0 ^ |
t < оо, то нижний предел интегри |
рования следует положить равным нулю. Впрочем, можно сохранить формулу в общем виде (35), если считать в этом случае, что q(t) = 0 при t < 0.
С учетом (35) формула (27) для математического ожидания выход ного процесса принимает вид
<»(/)>= (j h (t, т) (q (т)> dx. |
(36) |
Аналогично преобразуются формулы (29) и (30). Например,
it |
tt |
<.u{k)u(t2)y = ^ |
^ h(t1,x 1)h(t2,x2)<kq(x1)q{x2)ydx1dx2. |
И вообще
<u(ti)u(tj ...«(**)> =
*П
$ h (к, Tj) h(t2,x2) ...h (tn, Tn) <q (Tj) q (x2) ...q (т„)> X
X dxr dx2... dxn.
Особый интерес представляют стационарные системы. Для таких систем функция Грина h(t, т) зависит явно только от разности t — х. Таким образом, h{t, т) = h (t— т), и формула (36) переписывается сле дующим образом:
|
|
t |
|
|
<ы(0>= ^ h ( t —x)(q(x)ydx. |
(38) |
|
Вместо формулы |
(37) получаем |
|
|
<ц(/1)ц (^ )> = |
11 |
^2 |
(39) |
§ |
^ h(t1— x1)h(t2—x2)<,q(x1)q(x2)ydxl dx2 |
и т. д.
Рассмотрим более подробно реализацию операторной формулы (34), связывающей корреляционные функции входного и выходного процес сов. С учетом (35) получаем
ТС„ (к, t2)= j J h (к, тх) h (t2, x2) K„ (xlt x2) dxx dx2. |
(40) |
— oo — oo |
|
Если система является стационарной, то приходим к формуле, которая аналогична (39):
и |
и |
(41) |
Ku(ti,t2) = |
§ h(t1 — xl)h(t2 — xi) K 4(x1,x2)dx1dx2. |
— оо — оо
Пусть, наконец, внешнее воздействие является стационарным слу чайным процессом. Тогда поведение стационарной системы также бу дет стационарным случайным процессом. Корреляционные функции инвариантны относительно сдвига начального момента времени:
К„ (к, t2) = Кч{t2 - к)- Ки (к, к) = Ки ( к - к ) - |
(42) |