Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета
..pdfИзгибающий момент в произвольном сечении пролета, лежащего между опорами с номерами / и / + 1 , определяется как
Л М Ы -Л 1 Г £; + А?/<1)( 1 - Ы + М; | )1 |
(37) |
где I/ = Х)/10 — безразмерная координата для соответствующего про лета. Корреляционная функция изгибающих моментов выражается через элементы корреляционной матрицы (36)
К ( h , h ) = < M j M h) ( 1 - У ( 1 - У + ( M i M k + I ) (1 - и l h + |
|
+ <M/+I Affc) h (1 —5h) + <A[/+, Mk+ i> h th. |
(38) |
В общем случае вычисления по формулам (33), (36) и (38) весьма гро моздки. Заметим, что обобщенные силы (25) учитывают влияние трех групп случайных факторов: разброса длин пролетов, разброса коэффи циентов податливостей опор и рассогласование начальных уровней опор. Обычно можно принять, что указанные три группы случайных факторов стохастически независимы. Тогда их влияние может быть изучено раздельно. Рассмотрим, например, влияние рассогласования в начальном уровне опор. Для этого случая формула (25) принимает вид
10
Если к тому же рассогласования hj на разных опорах имеют одинако вую дисперсию и стохастически независимы, то формула (36) приводит ся к виду
( M j M hy = - |
и |
<ft2> 2 G;m(G,.m_2- |
|
\ |
*0 / |
m=—оо |
|
—4G*>m_i + |
6Gftni—4G*,m^.i -f-Gft,m-j-2)- |
(39) |
Ряд, входящий в эту формулу, может быть просуммирован. Оконча тельно получаем
<Д / Mky = FJh<А2),
где элементы матрицы Fjk определяются по формуле
Fih= V4[c\lr k)+2c\l2- ^ + c g - ^ .
При этом |
— оператор |
четвертой разности; |
величины |
нахо |
||
дятся как |
|
|
|
|
|
|
[ 9г1*Н-2 |
|
И |
|
|
||
- |
^ - |
+ ( 1^ |
+ 1) ^ ' |
в*, если |
p = v, |
|
г{к)~ |
|
|
|
|
|
|
6p,V-- |
|
|
|
|
|
|
Г |
|
Гц rv |
' |
a^av, если |
\ьфч. |
|
1 |
rH~rv |
|
|
5В. Зак. 1481 |
121 |
тим, что с увеличением пролета возрастает математическое ожидание изгибающих моментов (штриховая линия на рис. 22). Поэтому можно ожидать, что для балок со случайно смещающимися опорами сущест вуют некоторые оптимальные с точки зрения прочности длины пролетов.
§ Н.З. Расчет докритических деформаций тонких упругих оболочек
Деформации тонких упругих оболочек под нагрузкой весьма чувст вительны к малым начальным отклонениям срединной поверхности от идеальной формы. Это проявляется, в частности, в большом разбросе опытных данных при испытаниях оболочек на устойчивость. Стохасти ческие задачи в теории оболочек обычно решают, применяя прямые методы. При этом распределенная система заменяется эквивалентной в некотором смысле системой с конечным числом степеней свободы. Приближенные решения такого рода оставляют чувство неудовлетво ренности. Вместе с тем, если исходить из линеаризированных уравнений, то при некоторых достаточно широких предположениях удается полу чить точные решения стохастической краевой задачи.
В работе В. В. Болотина и Б. П. Макарова [27] эта задача решается на основе уравнений, получаемых линеаризацией уравнений теории оболочек в окрестности начального напряженного состояния. Исполь зуется дополнительное предположение о малости масштаба начальных отклонений и масштаба их корреляции по сравнению с характерными размерами срединной поверхности, а также предположение об однород ности поля начальных отклонений. Выводятся общие формулы для кор реляционных функций, дисперсий и спектральных плотностей пара
метров |
напряженно-деформированного состояния оболочки. Для ши |
|
рокого |
класса изотропных начальных отклонений результаты выра |
|
жаются |
через табулированные функции. Это позволяет изучить зави |
|
симость |
корреляционных свойств перемещений, деформаций и напря |
жений от свойств начальных отклонений и от начальных напряжений в срединной поверхности.
Пусть дана тонкая упругая оболочка с начальными отклонениями от идеальной формы. Предположим, что внешняя нагрузка такова, что в идеальной оболочке возникает чисто безмоментное напряженное состояние, формы потери устойчивости являются быстро изменяющими ся функциями координат, а критические параметры пренебрежимо мало зависят от размеров оболочки и граничных условий на ее контуре. Пусть, далее, отклонения от идеальной формы достаточно малы и имеют достаточно малые масштабы изменяемости и корреляции. При значе ниях нагрузки, не слишком близких к критическим, этими свойствами будут обладать перемещения точек срединной поверхности нагружен
ной оболочки. В основу положим уравнения нелинейной теории |
обо |
|
лочек |
DAM>— эаЛ sfr*(6аР -f- VoVfi w)Vk VMX = <7; |
|
|
|
|
- |
ЛДх + «Рй( Ы + 4 - Vo VPW) V*VMW = |
(40) |
Eh |
l |
|
Здесь ш(л:х, х2) — функция нормальных перемещений; %(к1, х2) — функ ция тангенциальных усилий; D — цилиндрическая жесткость; Е — модуль упругости; h — толщина оболочки; q — интенсивность нор мальной нагрузки; Ьар — тензор начальной кривизны срединной по верхности, s“P — единичный антисимметричный тензор на срединной поверхности. Если отклонения от идеальной формы малы, то для ре шения стохастической краевой задачи можно применить метод малого параметра. Положим, что
ЬаР= Ь $ ~Ь pbafl, |
(41) |
где bad — тензор кривизны идеальной поверхности; р. — малый па раметр. Пренебрегая изменением метрики вследствие безмоментной деформации, ищем решение уравнений (40) в виде
w = nwl + n2w2 + ...; X = Xo+ PXi + f*2X2+ - |
(42) |
Подстановка в уравнения (40) выражений (41) и (42) после сравнения членов, содержащих р, дает
DAAwt —seX sPfl b(ad VxVMXI — N a&Vo VPwi = |
Va VP wo, |
ДДХ1 + sal sto b{ad Щ Vn wi = 0. |
(43) |
При этом учтено, что |
|
- 5 “V * i S W x . = ? .
Кроме того, введено обозначение для тензора начальных безмоментных усилий №», а поправка к тензору кривизны (41) выражена через функ цию начальных отклонений w0(x1, х2):
SaK SPft Vx Vn Xo = Л/“Р; бар’ = Va VP w o-
Так как по предположению масштабы изменения и корреляции функций wg, WX и XI малы по сравнению с масштабами изменения мет рики и кривизны идеальной срединной поверхности, то уравнения (43) можно упростить, переписав их в ортогональных координатах (ли ниях кривизны) г = Хх, х 2 с единичным метрическим тензором и заме нив тензорные производные соответствующими частными производными
DAAwx |
daXi |
L 1 |
|
дг %1 \ |
д2 |
= N ad- д2w0 |
- а |
дх? |
Ri |
' |
дх2 ) |
дха дх$ |
дха дхр |
|
|
,/_ L |
|
д2 Wx |
дг wi \ _ |
(44) |
Eh |
|
|
|
|||
|
( я . |
' |
дх\ + |
Ri ' д х ! Г |
|
Здесь Rx, R 2 — главные радиусы кривизны идеальной срединной по верхности; сохранено правило суммирования по индексам а, |3.
Предположим теперь, что гг/0(г) — случайная функция координат с математическим ожиданием, равным нулю. Рассмотрим область, до-
статочно удаленную от границ и других линий искажения. Можно ожидать, что при сделанных выше предположениях о характере нагруз ки и при быстро изменяющемся поле начальных отклонений w0(г) влия ние границ на поведение оболочки во внутренней области будет доста точно мало. Тогда можно вообще отвлечься от эффекта границ, заменяя граничные условия требованием ограниченности функции на беско нечности (краевые эффекты будут рассмотрены в следующем парагра фе). Если в достаточно большой области срединной поверхности па раметры оболочки и начальные безмоментные усилия можно принять постоянными, а функцию начальных неправильностей да0(г) можно рас сматривать как однородное случайное поле, то стохастическая задача решается известным методом из § 1.13.
Однородное центрированное случайное поле w0(г) допускает спек тральное представление в виде стохастического интеграла Фурье
a»0(r) = J ^ 0( k ) ^ d k , |
(45) |
где к = (klt k 2) — волновой вектор, dk = dkjdk2, lF0(k) — спектр поля а/0(г). Последний связан со спектральной плотностью 5 Шо(к) соотно шением типа (1.186)
< Wo (к) W0(к')> = 5Шо (к) б (к -к '). |
(46) |
где 6(к) — двухмерная дельта-функция. Соответствующая корреля ционная функция Kw0(?)> где Р — г>— г> выражается через S w, (к) согласно теореме Винера—Хинчина (1.192)
* ..(Р )= J S«,(k)e»Pdk. |
(47) |
Представим случайные поля да^г) и Xi(r) в форме интегралов типа (45) и учтем, что поля связаны между собой уравнениями (44). С ис пользованием формул типа (46) получим следующие формулы для спектральных плотностей полей WX(T) и Xi(r ):
5 ., (к) = Я (к) S w<l(к); 5Х, (к) = G2(к) S .. (к). |
(48) |
Здесь введены обозначения
^(к) = |
|
|
________________ . |
(49) |
|
Ч |
|
||
Eh(^_ |
|
|
||
*4я + т г 1 т г + т г ) + *« |
|
|||
'k* \ R 2 + R2 |
|
|
||
а (к) = |
+ |
3 . ) |
р ( к). |
|
k* |
U , + |
Ri ) |
|
|
Кроме того, k 2 = k\ -f- k\.
Спектральные плотности остальных параметров напряженно-де формированного состояния оболочки выражаются через 5 ш,(к) и SXl(k), а также через их взаимную спектральную плотность
S .,x, (k) = f(k )G (k )5 .,(k ).
Так, флуктуационные напряжения аи в точках г = ±/г/2 опреде ляются как
_ 1 52 xi , Eh /а * » ц , 3 * w i\
± i ( T ^ ( l 4 + v д4 )■
Отсюда получаем спектральную плотность
So,, (k) = ^ |
SXi (к) ± |
- ^ |
1 (k! + Vkl) S WlXi (к) + |
|
+ |
'4 о - v*)3 |
+ |
V^ ) 2 5 ®« (к)- |
(50) |
Формулы типа (48) и (50) позволяют сделать некоторые общие выводы об изменении спектрального состава полей Wi(г), Xi(r) и т. д. в Зависи мости от характера и величины начальных безмоментных усилий. Рас смотрим выражение для /"(к). Функция / ’(к) есть по существу Переда точная функция системы, связывающая начальные отклонения средин ной поверхности от ее идеальной формы с дополнительными отклоне ниями ®i(r). Формулы (48) и (50) сохраняют смысл, пока функция /•■(к) не имеет действительных полюсов. Уравнение для нахождения полюсов
Eh ( й? |
й« \ 2 |
|
|
k iD + f M |
+ f j + |
= ° |
(51) |
совпадает с уравнением для нахождения критических усилий в л^йейной теории устойчивости оболочек. Напомним, что растяжению соот ветствует случай N n > 0, N 22> 0. Таким образом, теория приме^иМа пока начальные усилия меньше, чем их критические значения, опреде* ляемые по линейной теории.
Волновые числа, которые соответствуют наиболее быстро растуЩИм отклонениям, найдем из условий
d f ( k ) = 6F (к) __ 0 dkx dk2
Допустим, что нагрузка задана с точностью до параметра q. 3 ^ ^ - няя в уравнении (51) N a$ на qNa$, получим, что критическое значсНИе параметра нагрузки равно:
|
+ |
<А_ , й| |
|
<7* (к) = |
— I |
(53) |
|
А« Н |
к* \; R2 |
С другой стороны, с учетом (53) формула (49) для /'(к) при q < ^(к) записывается в виде
F( к) = |
я |
|
?*(к)-<7 ’ |
||
|
Отсюда видно, что функции <7*(к) и ^(к) принимают стационарные значения при одинаковых волновых числах klt k2. Таким образом, пе редаточная функция /"(к) принимает максимальное значение для откло нений, совпадающих с формами потери устойчивости в линейной тео рии. Именно эти отклонения растут быстрее всего, пока остаются при менимыми линеаризированные уравнения (44).
Определение корреляционных функций по спектральным плотнос тям (48) и (50) сводится к двухмерному преобразованию Фурье типа (47). В общем случае это преобразование может быть проведено только численными методами. Вместе с тем имеется широкий класс задач, для которых аналитические вычисления могут быть доведены до конца. Рассмотрим, например, сферическую оболочку, нагруженную равно мерным давлением. Если начальные неправильности оболочки обра зуют изотропное поле, то интеграл в формулах типа (47) сводится к од нократному интегралу по «радиальному» волновому числу k. В самом деле, с учетом соотношений (1.193) формулы для корреляционных функ ций полей wx(г) и %х(г) принимают вид
Kw, (Р) = 2л J F2 (k) Sw>(k) Jо (kp) kdk:
0 |
|
KXl (p)= 2я J G2(ft) SWt (k) JQ(kp) kdk, |
(54) |
о |
|
где S w£k), F(k) и G(k) зависят только от модуля k.
В § 1.12 был рассмотрен класс изотропных двухмерных случайных полей, для которых спектральная плотность имеет вид (1.194):
s wAk) = |
с |
(55) |
Здесь с, k0 и п — константы; при этом параметр ka характеризует мас штаб корреляции. Случай п = 2 соответствует двухмерному марковс кому полю (аналогу экспоненциально-коррелированной функции од ной независимой переменной). При п > 2 формула описывает диффе ренцируемое случайное поле. В дальнейшем полагаем гг целым числом (п = 3, 4, ...). Корреляционная функция начальных отклонений опре деляется по формуле (1.195).
Вычисление корреляционных функций для аух(г) и Xi(r) в случае изотропного поля отклонений со спектральной плотностью (55) произ ведем методом контурного интегрирования. Рассмотрим, например,
формулу (54) |
для |
корреляционной функции прогиба Wx(r). Запишем |
||||
ее в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kwi (р) — 2itckо cp (k0р) |
(56) |
||
и вычислим интеграл |
|
|
|
|
||
|
sq) (т) = |
С |
|
dy |
(57) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
«8 (хо + х2)', (х< + Раха+ 1)2 |
|||
В формулах (56) и (57) |
введены обозначения |
|
||||
|
|
k_ |
|
h . . |
|
(58) |
|
|
k, |
|
К ' |
|
|
|
|
|
|
|
р4э«0(“—и |
|
|
, |
i Eh |
V /4 |
м |
N |
|
|
k* |
[ DR *] |
V |
k2D ’ |
x ~ k°P- |
|
Рассмотрим |
функцию комплексного переменного |
|||||
|
|
|
|
я р (■=•)*• |
|
|
|
/(*) = |
______\ Х0 |
1 |
(59) |
||
|
■ |
г2) п (г4 + |
|
|||
|
|
|
(хо + |
Ра гг + I)2 |
Здесь Но*(г) — функция Ганкеля нулевого порядка. Если начальное усилие N больше критического^ значения, т. е. ра > —2, то функция /(г) голоморфна всюду в верхней полуплоскости, в том числе и на дей ствительной оси, за исключением конечного числа полюсов и точки ветвления 2 = 0. Подсчитаем сумму вычетов вокруг всех полюсов функции /(г) в верхней полуплоскости. Выражение (57) примет вид
|
s<p(x)=- ( - 1)" |
( - J L - ) - < |
*о К 0 (т) |
|||
|
2"—1 (я — 1) I |
\ Хо dxо 1 |
|
(*о—Рг*2+ 1)2 _ |
||
1 |
d |
|
1 |
d |
; (60) |
|
2yi * dyx L ( 4 ' T ? ) n ( v ^ - v ? )2 J |
2у2 |
dy 2 |
||||
Л хо- У 2) п (у2- ? 2 ) 2 |
В формуле (60) и до конца параграфа К„(т) — цилиндрическая фъ„,- ция мнимого аргумента, т. е. функция Макдональда.
Частным случаем выражения (60) является формула для безразмер ной корреляционной функции перемещений пластины (формула при годна только при растягивающих усилиях в срединной поверхности)
scp (т) = |
-------- ( |
у - 1 |
К „ (т ) |
+ |
|
||||
|
2П— ( я - 1)1 Vx0dx0/ |
( х о— Р2) |
|
|
|
|
1 - 2 р я К , |
( f ) |
|
+ ■ |
|
• |
(6 1 ) |
|
|
|
|
2Р (х0* -Р а)»+1
В соотношении (61) сохранены обозначения (58). При этом параметр R, который входит в коэффициент заменяется некоторой характер ной длиной.
Остановимся подробнее на случае п = 3. Выражение для безразмер ной корреляционной функции (60) примет вид
SV (т) = ai УIх K x f - b iW
ч |
I |
Хо / |
* 0 |
/ V |
|
|
|
|
|
|
|
+ а3 К „ ^ ) + а4 К о ( ^ ) |
|
+ (а5+ авт2)Ко(х) + а7т |
Кх(т). |
(62) |
Коэффициенты aj выражаются через х0, ух и у2 следующим образом:
а, = • |
V? |
|
|
|
|
|
Тг |
|
|
|
|
2 (*o-Y ?)3 (Y f-Y i)2 x0 |
|
|
2 (хо |
Y2)3(YI |
Y2)2XO |
|
|||
а |
Yi ( 3Yi — Y? Y l — 2xg Y ! ) . |
a _ |
V2 ( 3Y2 — Y? Y2 — 2xo Y?) |
|
||||||
3 " |
( x o— Y i ) 4 ( Y § |
Y?)3 |
’ |
4 |
|
( x o — Y2)4 ( Y ? — Y2) 3 ’ |
(63) |
|||
a |
3xg — 8x%у 2 Y ! + |
2xg y? y | ( Y i |
+ |
У2) + Vi Y2 . |
|
|||||
|
|
|||||||||
6 |
~(x o — Y?)4 («о — Y2)4 |
: |
|
|
||||||
„ _ |
1________ . |
|
5 4 -x g (v i! + Y2) - 3Yi Yi |
|
||||||
|
8 ( X O2 - Y ? ) 2K |
- Y |
I f |
|
|
|
4 ( X 02 - |
Y?)3K 2 - Y |
2) 3 |
|
Аналогичная формула для пластины будет |
|
|
|
|||||||
|
|
Рт |
/ |
Рт \ |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
15Г K l [ |
* ) |
. |
( 5 x g - P 2)x K ,(T ) |
|
|
|||
|
|
2Р2 (хо—Р2) 3 |
|
4XQ (хо—Р2) 3 |
|
|
||||
|
|
т’ К. (т) |
, |
3[К,(,)- К,( ^ ) ] |
|
(6 4 ) |
||||
|
Ч |
К |
- рТ |
|
|
(«1 - и Т |
|
|
||
|
|
|
|
|
|