- •механика
- •материалов
- •УРАВНЕНИЯ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕД
- •ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГОСТИ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ ГИБРИДНЫХ КОМПОЗИТОВ
- •КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ ОТ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ ТРЕХКОМПОНЕНТНОГО СЛОИСТОГО КОМПОЗИТА*
- •УЧЕТ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ОПИСАНИИ ДЛИТЕЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ НЕУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ
- •ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ НАМОТОЧНОГО ПОЛИЭФИРНОГО СТЕКЛОПЛАСТИКА
- •dQkt(t)
- •ИССЛЕДОВАНИЕ РАДИАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕГУЛЯРНО-СЛОИСТОГО ПОЛОГО ШАРА
- •ВЛИЯНИЕ ДАВЛЕНИЯ ПРЕССОВАНИЯ НА КОМПЛЕКС ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УГЛЕПЛАСТИКА
- •ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ХАРАКТЕР РАЗРУШЕНИЯ КОМПАКТНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ
- •РЕАКЦИЯ ПЯТИСЛОЙНОЙ СТЕКЛОПОЛИЭТИЛЕНОВОЙ ПАНЕЛИ НА СТАТИЧЕСКУЮ И УДАРНОВОЛНОВУЮ НАГРУЗКИ
- •КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
- •СТАТЬИ, ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ВИНИТИ*
- •НОВЫЕ КНИГИ
- •РАСЧЕТЫ И ПРОЧНОСТЬ
- •ПРОЧНОСТНЫЕ РАСЧЕТЫ ИЗДЕЛИЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ АМОРФНЫХ И ЖИДКИХ ТЕЛ
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, i№, № 1, с.
УДК 539.3:678.067
А. П. Виштак, Н. А. Шульга
ИССЛЕДОВАНИЕ РАДИАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕГУЛЯРНО-СЛОИСТОГО ПОЛОГО ШАРА
Расчет многослойных элементов конструкций из композитных мате риалов, представляющих практический интерес, неосуществим без при влечения прикладных технических теорий [1, 4]. При этом существен ным является вопрос об их точности и пределах применимости. Кор ректные оценки в этом плане можно получить на основании детального анализа задач, имеющих точное решение по трехмерной теории упру гости. По этим соображениям в настоящей статье излагаются резуль таты точного исследования центрально-симметричных колебаний (сво бодных и вынужденных) регулярно-слоистого полого шара.
Рассмотрим изотропный регулярно-слоистый шар с внутренним ра диусом г0 и внешним радиусом r2N+\ = r0 + H (Я — толщина шара), со стоящий из 2Я+1 чередующихся слоев двух типов, со свойствами Х\, рь pi и X2i \i2, Р2 и толщиной hx и h2 соответственно.
При центрально-симметричной деформации отличные от нуля пере
мещения ит и нормальные напряжения or= (k+2\i)drur+2Xr-luri |
аф = |
|
=<jQ = Xdrur+2(X+\x)r-'Ur согласно |
формуле иг = дгФ выражаются |
[3] |
через скалярный потенциал Ф(г) |
(временной множитель ехр( —Ш) |
всюду опущен), который вне поверхностей r= r0 + nh — h2 = r2n- ь г= г0 + +nh = r2n (я=1,...,Я; h = h\ + h2i H = Nh + h\) разрыва механических свойств удовлетворяет уравнению
( 1)
К внутренней г= г0 и внешней |
r= r2N+i = r0+ Nh + h[E=ro+ H поверхно |
||
стям шара приложено гармоническое во времени давление |
|
||
tfr(fО, 0 = ОГо cos 0)/; |
0r(>*2iV+b t) =e2N+\ cos ©f, |
(2). |
|
а на поверхностях r= r2n- 2+q (/2= 1 , . . . , N; <7= 1 , 2 ) |
выполняются |
усло |
|
вия жесткого контакта |
|
|
|
O r{^2n—2+q — 0 ) =О 'г(Г2п-2+д + |
0 ) 5 (>*2 n - 2 +g 0 ) = |
Ur (Г271- 2 + 4 + 0 ) . |
(3 ) |
На основании известного [3] решения уравнения (1 ) перемещение ити напряжение аг в каждом из слоев многослойного шара удобно пред ставить в следующей форме:
(4)
>271-2<^2n-b n —1,..., Я + 1;
|
Ur= |
1 x 2n(1) [sin a2( r - r 2„ ) 4 - ^ c o s a 2( r - r 2n) ] + |
|
|||||
|
+X2n(2) [cosa2(r-/-2„ ) — —sin a2( r - r 2„) 1 }; |
(4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
a2r |
|
|
ar= |
- ^ { z 2no> |
[ ( 1 |
- |
cos a2(r—r2n) — |
sin a2(r —r2n) ] + |
|||
+X2„<2) [ ( |
|
|
sina2( r - r 2„ ) + - ^ r cosa2( r - r 2„) ] } ; |
|
||||
|
|
|
r2n -i< r< r2n, |
n = l,...,N , |
|
|
||
причем |
О) |
о |
О) |
cVA, |
c8,q — скорости |
I |
и |
|
aq= ---- ; |
pg = — ; |
волн расширения |
||||||
сдвига |
Сptq |
|
Cs,q |
|
|
(r=l,2; |
m= 1,..., 2N + 1) |
— |
в q-м слое; |
Яд= (А,д+2р,д)адЛ, |
безразмерные неопределенные постоянные. Если в формулах (4) поло жить г=г0+х и перейти к пределу при г0-^оо, то получим решение одно мерной задачи для регулярно-слоистого слоя толщины Н с плоскими границами раздела механических свойств.
Подставляя (4) в граничное условие (2) и условия сопряжения (3), получаем следующую конечную систему алгебраических уравнений от носительно неизвестных Xm{i):
М\ \ (аь 0ь Г о ) +М\2(а,\, 0I, Го)^1(2) = croi
М(а 1, 0, /*271-1)Х2П-1 = м (d2, 02»/2n-l)X2n;
M ( d 2 , 0, /*2л) Х2п =-/И (d \ y .01, /'27i)X2n+b
М \ \ (fli, 0, |
r2N -\-\)X2K + \^ + M\2{CLu О, ^2N+\) %2N+l(2) ~ ^2N+\* |
|
||||||
Здесь введены векторы Хтп=colon(Х™*1), XmW), матрицы |
M(aq,6q, rm) |
с |
||||||
элементами |
ч |
У |
г |
4 |
\ |
4ag |
|
|
, |
|
|
||||||
Мп (ciq, 0g, |
гт) —aq |
' |
Р,Дт2 |
J COS 0g+ |
■sin 0g |
|
||
|
г |
\ . |
Pg2/"m |
|
|
|||
|
/ 1 |
|
4 |
4(%g |
|
|
||
Mi2(aq,Bq,rm)= aq [ |
|
1Sin 0g— |
•cos 0q |
|
||||
|
|
' |
Pg2/*т |
i |
Pg2/^m |
|
|
|
М2\ (aq,(0g, /*т) = - |
sin 0gH-------- cos 09; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ССдГтп |
|
|
|
|
M22(aq, 0g, /•„,) = |
cos 0g----- -— sin 0, |
|
|
||||
и постоянные Qq = hqaq. |
|
|
|
Cqfm |
|
|
|
|
|
|
на внутренней границе г= г0 смеще |
||||||
Решение задачи при заданном |
||||||||
нии иг(гоУt) =uqh cos со/ находится |
аналогичным образом |
и сводится |
к |
системе (5) при замене ее первого уравнения на следующее:
М2\ (Яь 01, /*o)^l(1)+^22(^, 01, Го)^2(1) = Яо;
если же смещение задано на внешней границе r=r2N+и т. е. ИгС/’гя+ь t) = = W2JV+IACOS со/, то последнее уравнение системы (5) следует заменить уравнением
^21 (аи 0, /'2n+l)^2AT+l(1)+^f22(ab 0, r2N+\)X2N+\(2) =U2N+Ь
Детальный анализ динамических свойств (собственные частоты и формы колебаний, вынужденные колебания при нерезонансном возбуж дении) регулярно-слоистого шара на основании системы алгебраических уравнений (5) возможен лишь с привлечением ЭВМ. Систему уравнений
(5) с матрицей ленточного типа удобно решать методом прогонки [2]. Отметим, что заменой переменных
X2n— |
*(fl), 0, r2n-i)M (a2, 02, г2п—\) |
(а2, 0, r2n)Z2n; |
|
|
|
Х2)1 ~ М 1(а2, О» Г2п)Z2n |
|
система уравнений |
|
(5) приводится к виду |
|
М-и (го, Гг)Z2I4 |
(го, Гг)Х2^) —Ooi Z2n=.M (r2n, г2п+2)^гп+2> |
||
|
|
п = 1 ,..., Я; |
|
ЯГп(Г22у, Г2iV+2) 2 2Л%(-2(1) + .М12(г2 iV, Г2N+2) Х21у+2(2) = &2N + 2, |
|||
где переходная матрица для двух слоев (r2n < r < |
r 2n+l и r2n+i < r < r 2n+2) |
М{ Г 2п> Г2п+2) =
=М(а!, в,, г2п) М (а,, 0, г2п-м)Л1 (а2, 02, л2п+1)М -'(а2, 0, rjn«).
При предельном переходе (г=г0+х, /о-^оо) к плоским слоям пере ходная матрица М (f2n, r2n+2) вырождается в переходную матрицу
N2=N(au Q1) N - l (au 0)N{a2, 02)ЛГ-‘(а2, 0),
не зависящую от номера п [5].
Характерные результаты численного анализа собственных частот и форм колебаний, а также перемещений и напряжений при нерезонан сном нагружении усилиями cro¥=0, <T2JV+I = 0 представлены на рис. 1—5. Механические свойства слоев определены отношениями pi/p2= 2; EI/E2 = =20; vi = 0,3; v2 = 0,35 и используются безразмерные параметры ©*=
=<оЯ.Уц2р2- 1; co = co*/(W+6i); е=2Я/(2г0+ Я ); 6i = fti/ft; а*= (cro/pi)огг; и*= (ni/aoh)ur-, п — количество слоев в многослойном слое (или шаре).
Остановимся прежде всего на анализе частотного спектра для не однородного слоя толщины Я со свободными границами (сго=ог2л-+1 = 0). Характерными его частотами являются частоты колебаний coi* однород ного слоя со свойствами Е\, vi, pi и частоты колебаний ю2* однородного
Рис. 1. Распределение собственных частот колебаний неоднородного слоя в зависимо
сти от относительной толщины слоя _при п = 5 |
(а) и 9 |
(б). |
|
||
Рис. 2. Распределение форм собственных колебаний неоднородного слоя: I форма (а); |
|||||
П форма (б); (------- |
) — однородный слой; (--------- |
) — |
п = 7; |
(------ |
) — я-* 11. |
слоя со свойствами Ё2, v2, рг (для вы бранны х значений этих |
|
|
|
||||||||||||
со2*<©1*). Точные значения со*(/) |
равны со2*(/) пРи, б‘ =Лвисимости |
от |
|||||||||||||
6i= l |
(/ — номер частоты). На |
интервале |
61 = 0-г 1 в 3d |
от0нно уве- |
|||||||||||
количества слоев собственные частоты а *(/') |
могут как |
м |
|
; достигая |
|||||||||||
личиваться от со2*(/) |
до соi* (/), так и изменяться немсмото |
|
|
первая |
|||||||||||
величин |
как |
меньших со2* (/), так и больших coi* (/) - НаПР е трех>а тРи |
|||||||||||||
частота а*(1) не превышает coi*(l) при числе слоев не ме „еНий |
wi*(l), |
||||||||||||||
первых |
частоты |
а*(1), |
а* (2), а*(3) не |
превышают зн |
cey[Ji. Однако |
||||||||||
coi* (2), |
аГ(3) соответственно при числе слоев не меньШ |
|
еНЯЮтся мо. |
||||||||||||
и при этих ограничениях частоты ©*(/) не обязательно |
|
^ |
несколько |
||||||||||||
нотонно от о)2* (/) до |
ai*(/); |
они могут принимать знач |
|
|
|
|
|
||||||||
менее а 2* (/). |
|
|
|
|
|
|
|
собствеН11ых К0‘ |
|||||||
При достаточно большом количестве слоев частоты |
|
.^о^ствен - |
|||||||||||||
лебаний неоднородного слоя толщины Н стремятся к час |
|
^ |
^ |
р кото. |
|||||||||||
ных колебаний однородного слоя, приведенные параметры |
|
|
N |
|
|||||||||||
рого определяются по формулам |
N |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
61 |
ЛГ+1 |
. |
62 |
|
N + 1 |
+ 6IP2N + 6, |
||||||
Я+2|д, |
Я1+2щ N + 61 |
+ Я2+2ц2Л^+б1 |
; Р |
*lPlN + b |
|
|
|
|
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эффективных |
||||
(штриховые кривые на рис. 1) либо по формулам теории |
|
|
|
|
|||||||||||
модулей (следующих из (6) при N~^>1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
61 |
|
б? |
р= б]р! 4"62р2- |
|
|
|
|
(?) |
|
|
|
|
|
|
X i + 2 ( I i |
^2 + 2(12 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Я+ 2jLl |
|
|
по с привлече- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(штрихпунктирные кривые на рис. 1). Результаты расчетов |
^оЛИЧество |
||||||||||||||
нием формул |
(7) |
более близки к точному решению. Так, еслИ*/П |
со* (2) |
||||||||||||
слоев больше 31, то с точностью до 5% первые три частоты а> \ |
с^ета |
пр |
|||||||||||||
со* (3) |
можно |
определять |
по |
приближенной |
теории, а для |
Р |
|
слоев |
|||||||
этой теории первой частоты со*(1) |
с той же точностью количес |
|
|
|
|||||||||||
должно |
быть |
не |
менее семи. Изменение |
отношения Е\/Е2 |
В ПР А |
ах |
20—80 при 6i^U,8 мало влияет на собственные частоты со*(/)> АЛЯ К0Т0‘ рых со* (/) <coi* (/).
Рис. 3. Распределение частот неоднородного полого шара в зависимости |
пт |
я. |
пгш |
е=1. п= 5 (а) и 11 (б). |
ит |
01 |
при |
Рис. 4. Распределение собственных частот колебаний неоднородного полого шара в за висимости от е при 6i=0,3. я= 3 (а) и 9 (б).
Был проведен численный анализ собственных форм колебаний не однородного слоя при разном количестве слоев. Из численных расчетов следует, что с увеличением количества слоев, зависящим от механико геометрических параметров, форма собственных колебаний неоднород ного слоя стремится к форме собственных колебаний однородного слоя, приведенные упругие параметры которого определены по формулам (7).
Перейдем к изучению спектра частот неоднородного шара тол щины Н. Как и в случае плоских неоднородных слоев, характерными частотами являются частоты колебаний шара той же толщины Н со свойствами Е\, vi, рь которые обозначим через (о*ь и частоты колебаний (0*2 однородного шара со свойствами Еъ V2>Р2 (в нашем случае со*2< <co*i). Первая собственная частота со* (1) слоистого шара существенным образом зависит от его кривизны. При изменении относительной тол щины слоя 61 от 0 до 1 и при любом количестве слоев 2N+1 частота со*(1) монотонно увеличивается от со*2(1) До co*i(l), причем при малых значениях 61 увеличение со* (1) более сильное, чем при больших 61. При любом количестве слоев распределение других частот колебаний полого
слоистого шара с малой кривизной 1е= ^ +HI2] такое же> как и в
неоднородном слое. Если е->0, то частоты колебаний неоднородного по лого шара со* (2), со*(3) и т. д. при любом количестве слоев стремятся к частотам колебаний неоднородного слоя со*(1), со*(2) и т. д., а первая частота для шара со* (1) стремится к нулю.
С увеличением кривизны сферических слоев зависимость частот от относительной толщины 61 слоя меняется. Качественное распределение лишь высших собственных частот колебаний шара при малом количе стве слоев (со*(3), со* (4) и т. д. при количестве слоев не больше пяти; а со* (5), со* (6) и т. д. при количестве слоев не больше девяти) такое же, как и в неоднородном слое. Низшие же частоты колебаний шара со* (/) существенным образом реагируют на изменение е, и характер их изме нения от со*2(/) до co*i (/) отличен от случая неоднородного плоского слоя: их изменение становится монотонным и при малых и больших 61 более существенным.
Зависимость собственных частот от е при различных п и фиксирован ном 61 показана на рис. 4. Из него следует, что при малом количестве слоев кривизна влияет только на первые частоты (на со* (1)—со* (3) для трехслойного шара, а с увеличением количества слоев кривизна влияет на более высокие частоты (на со* (1) =<о* (5) для девятислойного шара).
Проведем вне резонанса [со*=^=со*(/)] численный анализ напряженнодеформированного состояния неоднородного слоя и полого шара, возбуж даемых нагрузкой ао=^0, 02iv+i = 0 в зависимости от его кривизны и час-
Рис. 5. |
Распределение напряжений (а) |
и перемещений (б) |
по толщине на частоте со*= 20 |
|||
(соответствует зоне пропускания) для |
среды с плоскими |
слоями (-------- |
) и для полого |
|||
шара ( |
-------) при е = 1; |
для среды с плоскими |
слоями |
на частоте |
со*= 0,60 (соответ |
|
|
ствует |
зоне запирания) (---------- |
). 6i = 0,5; п = 21. |
|